SSLC :SCERT Maths

 

ഭാഗം 1: സമാന്തര ശ്രേണികൾ (Arithmetic Sequences)

പേജ് 11 ചോദ്യങ്ങൾ

1. ബിന്ദുക്കൾ അടുക്കിവച്ച് ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം. ഓരോ ത്രികോണത്തിലുമുള്ള ബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണം എഴുതുക. ഈ രീതിയിൽ അടുത്ത മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ ആവശ്യമായ ബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുക.

   • ഓരോ ത്രികോണത്തിലുമുള്ള ബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണം:
     • ഒന്നാം ത്രികോണം: 1 ബിന്ദു
     • രണ്ടാം ത്രികോണം: 1 + 2 = 3 ബിന്ദുക്കൾ
     • മൂന്നാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 = 6 ബിന്ദുക്കൾ
     • നാലാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ബിന്ദുക്കൾ
   • ഇതൊരു ത്രികോണ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്. n-ാമത്തെ ത്രികോണ സംഖ്യ കണ്ടെത്താനുള്ള നിയമം n(n+1)/2 ആണ്.
   • അടുത്ത മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങൾക്ക് (5, 6, 7 സ്ഥാനങ്ങളിലുള്ളത്) ആവശ്യമായ ബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണം:
     • അഞ്ചാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ബിന്ദുക്കൾ
     • ആറാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ബിന്ദുക്കൾ
     • ഏഴാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 ബിന്ദുക്കൾ

2. സമഭുജ ത്രികോണം, സമചതുരം, ക്രമമായ പഞ്ചഭുജം എന്നിങ്ങനെയുള്ള ക്രമബഹുഭുജങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്ന ശ്രേണികൾ രൂപീകരിക്കുക:

   • വശങ്ങളുടെ എണ്ണം: സമഭുജ ത്രികോണം (3 വശങ്ങൾ), സമചതുരം (4 വശങ്ങൾ), ക്രമമായ പഞ്ചഭുജം (5 വശങ്ങൾ), അങ്ങനെ തുടരുന്നു.
     • ശ്രേണി: 3, 4, 5, 6, ...
   • ആന്തരിക കോണുകളുടെ തുക: n വശങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ തുക (n-2) × 180° ആണ്.
     • സമഭുജ ത്രികോണം (n=3): (3-2) × 180° = 180°
     • സമചതുരം (n=4): (4-2) × 180° = 360°
     • ക്രമമായ പഞ്ചഭുജം (n=5): (5-2) × 180° = 540°
     • ശ്രേണി: 180°, 360°, 540°, ...
   • ബാഹ്യ കോണുകളുടെ തുക: ഏതൊരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെയും ബാഹ്യ കോണുകളുടെ തുക 360° ആണ്.
     • ശ്രേണി: 360°, 360°, 360°, ...
   • ഒരു ആന്തരിക കോൺ: ഒരു ക്രമ n-വശ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഒരു ആന്തരിക കോൺ (n-2) × 180° / n ആണ്.
     • സമഭുജ ത്രികോണം (n=3): 180°/3 = 60°
     • സമചതുരം (n=4): 360°/4 = 90°
     • ക്രമമായ പഞ്ചഭുജം (n=5): 540°/5 = 108°
     • ശ്രേണി: 60°, 90°, 108°, ...
   • ഒരു ബാഹ്യ കോൺ: ഒരു ക്രമ n-വശ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഒരു ബാഹ്യ കോൺ 360° / n ആണ്.
     • സമഭുജ ത്രികോണം (n=3): 360°/3 = 120°
     • സമചതുരം (n=4): 360°/4 = 90°
     • ക്രമമായ പഞ്ചഭുജം (n=5): 360°/5 = 72°
     • ശ്രേണി: 120°, 90°, 72°, ...

3. 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 ശിഷ്ടം വരുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയും, 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ശിഷ്ടം വരുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയും എഴുതുക.

   • 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 ശിഷ്ടം വരുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ:
     • 1-ൽ നിന്ന് തുടങ്ങി, ഇവ 3k + 1 രൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യകളാണ്.
     • ശ്രേണി: 1, 4, 7, 10, ...
   • 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ശിഷ്ടം വരുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ:
     • 2-ൽ നിന്ന് തുടങ്ങി, ഇവ 3k + 2 രൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യകളാണ്.
     • ശ്രേണി: 2, 5, 8, 11, ...

4. അവസാന അക്കം 1 അല്ലെങ്കിൽ 6 ആയ എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ എഴുതുക. ഈ ശ്രേണിയെ മറ്റ് രണ്ട് രീതികളിൽ വിവരിക്കുക.

   • ശ്രേണി: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, ...
   • മറ്റ് വിവരണങ്ങൾ:
     • ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്. ആദ്യ പദം 1-ഉം പൊതു വ്യത്യാസം 5-ഉം ആണ്. (ഓരോ പദവും മുൻപത്തെ പദത്തോട് 5 കൂട്ടിച്ചേർത്താണ് ലഭിക്കുന്നത്).
     • ഈ ശ്രേണിയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 ശിഷ്ടം വരുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എന്നും പറയാം (1, 6, 11, 16, 21, 26, ...) അല്ലെങ്കിൽ 5n + 1 (n = 0, 1, 2, ...) രൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യകൾ എന്നും പറയാം.

5. ഈ ചിത്രങ്ങൾ കാണുക: ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ചെറിയ ത്രികോണം മുറിച്ചുമാറ്റിയിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ, ആദ്യ ചിത്രത്തിലെ മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങളിലും ഇതേ കാര്യം ചെയ്തിരിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ ചെയ്ത അതേ കാര്യം ആവർത്തിച്ചിരിക്കുന്നു.

   • (i) ഓരോ ചിത്രത്തിലും എത്ര ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുണ്ട്?
     • ചിത്രം 1: 3 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ
     • ചിത്രം 2: 3 × 3 = 9 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ
     • ചിത്രം 3: 9 × 3 = 27 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ
     • ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ശ്രേണി: 3, 9, 27, ... (ഇതൊരു ഗുണോത്തര ശ്രേണിയാണ്, 3-ൻ്റെ കൃതികൾ).
   • (ii) മുറിച്ചുമാറ്റാത്ത മുഴുവൻ ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് 1 ആയി എടുത്താൽ, ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
     • മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം 4 ചെറിയ സർവ്വസമമായ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു. മധ്യത്തിലുള്ള ഒന്ന് നീക്കം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.
     • ചിത്രം 1: ചെറിയ ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ ഓരോന്നും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ 1/4 ഭാഗമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു ചെറിയ ചുവന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് = 1/4
     • ചിത്രം 2: ചിത്രം 1-ലെ ഓരോ 3 വലിയ ത്രികോണങ്ങളും (ഓരോന്നിനും 1/4 പരപ്പളവ്) വീണ്ടും വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഇവിടെയുള്ള ഒരു ചെറിയ ചുവന്ന ത്രികോണം 1/4 ത്രികോണത്തിൻ്റെ 1/4 ഭാഗമാണ്. ഒരു ചെറിയ ചുവന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് = (1/4) * (1/4) = 1/16
     • ചിത്രം 3: ഒരു ചെറിയ ചുവന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് = (1/4) * (1/16) = 1/64
     • ഒരു ചെറിയ ചുവന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവിൻ്റെ ശ്രേണി: 1/4, 1/16, 1/64, ... (ഇതൊരു ഗുണോത്തര ശ്രേണിയാണ്, 1/4-ൻ്റെ കൃതികൾ).
   • (iii) ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും എല്ലാ ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെയും ആകെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
     • ചിത്രം 1: 3 (ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം) × 1/4 (ഓരോന്നിൻ്റെയും പരപ്പളവ്) = 3/4
     • ചിത്രം 2: 9 (ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം) × 1/16 (ഓരോന്നിൻ്റെയും പരപ്പളവ്) = 9/16
     • ചിത്രം 3: 27 (ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം) × 1/64 (ഓരോന്നിൻ്റെയും പരപ്പളവ്) = 27/64
     • ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ പരപ്പളവിൻ്റെ ശ്രേണി: 3/4, 9/16, 27/64, ... (ഇതൊരു ഗുണോത്തര ശ്രേണിയാണ്, 3/4-ൻ്റെ കൃതികൾ).
   • (iv) ഈ പ്രക്രിയ തുടർന്നാൽ ലഭിക്കുന്ന മൂന്ന് ശ്രേണികളിലെ ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
     • ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം: 3, 9, 27, 81, 243
     • ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ്: 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, 1/1024
     • ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ പരപ്പളവ്: 3/4, 9/16, 27/64, 81/256, 243/1024

---

പേജ് 25/26 ചോദ്യങ്ങൾ

1. താഴെ നൽകിയിട്ടുള്ള ഓരോ ശ്രേണിയും സമാന്തര ശ്രേണിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക. കാരണവും നൽകുക. സമാന്തര ശ്രേണികളുടെ പൊതു വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക:

   • (i) 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 ശിഷ്ടം വരുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ
     • ശ്രേണി: 1, 5, 9, 13, ...
     • വ്യത്യാസങ്ങൾ: 5-1=4, 9-5=4, 13-9=4.
     • ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്.
     • കാരണം: അടുത്തടുത്ത പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമാണ് (4).
     • പൊതു വ്യത്യാസം: 4
   • (ii) 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 അല്ലെങ്കിൽ 2 ശിഷ്ടം വരുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ
     • ശ്രേണി: 1, 2, 5, 6, 9, 10, ...
     • വ്യത്യാസങ്ങൾ: 2-1=1, 5-2=3, 6-5=1, 9-6=3.
     • ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയല്ല.
     • കാരണം: അടുത്തടുത്ത പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമല്ല.
   • (iii) എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ
     • ശ്രേണി: 1, 4, 9, 16, 25, ...
     • വ്യത്യാസങ്ങൾ: 4-1=3, 9-4=5, 16-9=7.
     • ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയല്ല.
     • കാരണം: അടുത്തടുത്ത പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമല്ല.
   • (iv) എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ
     • ശ്രേണി: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
     • വ്യത്യാസങ്ങൾ: 1/2 - 1 = -1/2, 1/3 - 1/2 = -1/6.
     • ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയല്ല.
     • കാരണം: അടുത്തടുത്ത പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമല്ല.
   • (v) 2-ൻ്റെ കൃതികൾ
     • ശ്രേണി: 2, 4, 8, 16, 32, ...
     • വ്യത്യാസങ്ങൾ: 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8.
     • ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയല്ല.
     • കാരണം: അടുത്തടുത്ത പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമല്ല.
   • (vi) ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ പകുതി
     • ശ്രേണി: 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, ...
     • വ്യത്യാസങ്ങൾ: 3/2 - 1/2 = 1, 5/2 - 3/2 = 1, 7/2 - 5/2 = 1.
     • ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്.
     • കാരണം: അടുത്തടുത്ത പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമാണ് (1).
     • പൊതു വ്യത്യാസം: 1

2. ഈ ചിത്രങ്ങൾ കാണുക: (ചിത്രം ചെറിയ സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ടുള്ള ഒരു സമചതുര പാറ്റേൺ കാണിക്കുന്നു, 1 ചെറിയ സമചതുരം മുതൽ, പിന്നീട് 4 ചെറിയ സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ടുള്ള 2x2 വലിയ സമചതുരം, തുടർന്ന് 9 ചെറിയ സമചതുരങ്ങൾ കൊണ്ടുള്ള 3x3 വലിയ സമചതുരം).

   • (i) ഓരോ ചിത്രത്തിലും എത്ര ചെറിയ സമചതുരങ്ങളുണ്ട്?
     • ചിത്രം 1: 1
     • ചിത്രം 2: 4
     • ചിത്രം 3: 9
     • ശ്രേണി: 1, 4, 9, ... (എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ)
   • (ii) എത്ര വലിയ സമചതുരങ്ങളുണ്ട്? (ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും ഏറ്റവും വലിയ സമചതുരം മാത്രം എന്ന രീതിയിൽ വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നു.)
     • ചിത്രം 1: 1 (1x1 സമചതുരം)
     • ചിത്രം 2: 1 (2x2 സമചതുരം)
     • ചിത്രം 3: 1 (3x3 സമചതുരം)
     • ശ്രേണി: 1, 1, 1, ...
   • (iii) ഓരോ ചിത്രത്തിലും ആകെ എത്ര സമചതുരങ്ങളുണ്ട്? (വിവിധ വലുപ്പങ്ങളിലുള്ള സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെ തുക)
     • ചിത്രം 1: 1 (1x1 സമചതുരം) = 1
     • ചിത്രം 2: 4 (1x1 സമചതുരങ്ങൾ) + 1 (2x2 സമചതുരം) = 5
     • ചിത്രം 3: 9 (1x1 സമചതുരങ്ങൾ) + 4 (2x2 സമചതുരങ്ങൾ) + 1 (3x3 സമചതുരം) = 14
     • ശ്രേണി: 1, 5, 14, ...
   • നമ്മൾ ചിത്രങ്ങളുടെ പാറ്റേൺ തുടരുകയാണെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള ശ്രേണികൾ സമാന്തര ശ്രേണികളാണോ?
     • ശ്രേണി (i) (ചെറിയ സമചതുരങ്ങൾ): 1, 4, 9, ... വ്യത്യാസങ്ങൾ: 3, 5. ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയല്ല.
     • ശ്രേണി (ii) (ഏറ്റവും വലിയ സമചതുരം മാത്രം): 1, 1, 1, ... വ്യത്യാസങ്ങൾ: 0, 0. അതെ, ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്, പൊതു വ്യത്യാസം 0 ആണ്.
     • ശ്രേണി (iii) (ആകെ സമചതുരങ്ങൾ): 1, 5, 14, ... വ്യത്യാസങ്ങൾ: 4, 9. ഇതൊരു സമാന്തര ശ്രേണിയല്ല.

3. താഴെ കൊടുത്ത ചിത്രത്തിൽ, താഴെയുള്ള വരയിൽ നിന്ന് വരച്ച ലംബങ്ങൾ ഒരേ അകലത്തിലാണ്. ഇത് തുടർന്നാൽ, ലംബങ്ങളുടെ ഉയരങ്ങളുടെ ശ്രേണി ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണെന്ന് കാണിക്കുക. (സൂചന: ഓരോ ലംബത്തിൻ്റെയും മുകളിൽ നിന്ന് അടുത്ത ലംബത്തിലേക്ക് ലംബങ്ങൾ വരയ്ക്കുക)

   • തെളിവ്:
     • ആദ്യ ലംബത്തിൻ്റെ ഉയരം h1, തുടർന്നുള്ള ലംബങ്ങൾ h2, h3, ... എന്നിരിക്കട്ടെ. ലംബങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം 'd' ആണെന്ന് കരുതുക.
     • ലംബങ്ങളുടെ മുകൾഭാഗം ഒരു നേർരേഖയിലാണ് എന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക (ചിത്രത്തിൽ അങ്ങനെയായിരിക്കണം). ലംബങ്ങൾ ഒരേ അകലത്തിൽ താഴത്തെ വരയിൽ നിന്ന് വരച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, അടുത്തടുത്ത ലംബങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ഉയരത്തിലെ വർദ്ധനവ് (അല്ലെങ്കിൽ കുറവ്) സ്ഥിരമായിരിക്കും.
     • ലംബങ്ങളുടെ അടിഭാഗം x-അക്ഷത്തിലും ഉയരം y-അക്ഷത്തിലും വരയ്ക്കുന്നു എന്ന് കരുതുക. ലംബങ്ങൾ x0, x0+d, x0+2d, ... എന്നീ x-നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളിലാണ്. അവയുടെ മുകൾഭാഗം y = mx + c എന്ന നേർരേഖയിലാണെങ്കിൽ, ഉയരങ്ങൾ yn = m(x0 + nd) + c = (mx0 + c) + mn*d എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കും.
     • ഇത് A + nB എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപമാണ്. ഇവിടെ ആദ്യ പദം A = (mx0 + c) ഉം പൊതു വ്യത്യാസം B = md ഉം ആണ്.
     • അതുകൊണ്ട്, ഉയരങ്ങളുടെ ശ്രേണി ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണ്.
     • പൊതു വ്യത്യാസം: ലംബങ്ങളുടെ മുകൾഭാഗം യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയുടെ ചരിവ് (slope) ഗുണനം ലംബങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം (d) ആയിരിക്കും ഈ ശ്രേണിയുടെ പൊതു വ്യത്യാസം.

---

പേജ് 30/31 ചോദ്യങ്ങൾ

താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില സമാന്തര ശ്രേണികളിലെ രണ്ട് പദങ്ങളുടെ സ്ഥാനവും അവയുടെ വിലകളും നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഓരോന്നിൻ്റെയും ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക:

• ആദ്യ പദം 'f' ഉം പൊതു വ്യത്യാസം 'd' ഉം ആണെങ്കിൽ, n-ാമത്തെ പദം f + (n-1)d എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം.

  • (i) 3-ാം പദം 34, 6-ാം പദം 67

    • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 67 - 34 = 33.
    • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 6 - 3 = 3.
    • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 33 / 3 = 11.
    • ആദ്യ പദം (f) കണ്ടെത്താൻ: 3-ാം പദം = f + (3-1)d = f + 2d.
    • 34 = f + 2(11) => 34 = f + 22 => f = 34 - 22 = 12.
    • ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ: 12, 12+11, 23+11, 34+11, 45+11
    • ശ്രേണി: 12, 23, 34, 45, 56

  • (ii) 3-ാം പദം 43, 6-ാം പദം 76

    • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 76 - 43 = 33.
    • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 6 - 3 = 3.
    • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 33 / 3 = 11.
    • ആദ്യ പദം (f): 43 = f + 2(11) => 43 = f + 22 => f = 43 - 22 = 21.
    • ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ: 21, 32, 43, 54, 65
    • ശ്രേണി: 21, 32, 43, 54, 65

  • (iii) 3-ാം പദം 2, 5-ാം പദം 3

    • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 3 - 2 = 1.
    • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 5 - 3 = 2.
    • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 1 / 2 = 1/2.
    • ആദ്യ പദം (f): 2 = f + 2(1/2) => 2 = f + 1 => f = 2 - 1 = 1.
    • ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ: 1, 1+1/2, 1 1/2+1/2, 2+1/2, 2 1/2+1/2
    • ശ്രേണി: 1, 1 1/2, 2, 2 1/2, 3

  • (iv) 5-ാം പദം 8, 9-ാം പദം 10

    • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 10 - 8 = 2.
    • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 9 - 5 = 4.
    • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 2 / 4 = 1/2.
    • ആദ്യ പദം (f): 8 = f + 4(1/2) => 8 = f + 2 => f = 8 - 2 = 6.
    • ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ: 6, 6+1/2, 7+1/2, 8+1/2, 9+1/2
    • ശ്രേണി: 6, 6 1/2, 7, 7 1/2, 8

  • (v) 5-ാം പദം 7, 7-ാം പദം 5

    • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 5 - 7 = -2.
    • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 7 - 5 = 2.
    • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = -2 / 2 = -1.
    • ആദ്യ പദം (f): 7 = f + 4(-1) => 7 = f - 4 => f = 7 + 4 = 11.
    • ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ: 11, 11-1, 10-1, 9-1, 8-1
    • ശ്രേണി: 11, 10, 9, 8, 7

---

പേജ് 36 ചോദ്യങ്ങൾ

1. 1, 11, 21, ... എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 25-ാം പദം എന്താണ്?

   • ആദ്യ പദം (f) = 1.
   • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 11 - 1 = 10.
   • ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ n-ാം പദം xn = f + (n-1)d ആണ്.
   • 25-ാം പദം = 1 + (25-1) * 10 = 1 + 24 * 10 = 1 + 240 = 241.

2. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 10-ാം പദം 46-ഉം 11-ാം പദം 51-ഉം ആണ്.

   • (i) ഇതിൻ്റെ ആദ്യ പദം എന്താണ്?
     • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 11-ാം പദം - 10-ാം പദം = 51 - 46 = 5.
     • 10-ാം പദം = f + (10-1)d = f + 9d.
     • 46 = f + 9(5) => 46 = f + 45 => f = 46 - 45 = 1.
   • (ii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
     • ശ്രേണി: 1, 1+5, 6+5, 11+5, 16+5
     • ശ്രേണി: 1, 6, 11, 16, 21

3. 100, 95, 90, ... എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 21-ാം പദം എന്താണ്?

   • ആദ്യ പദം (f) = 100.
   • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 95 - 100 = -5.
   • 21-ാം പദം = f + (21-1)d = 100 + 20 * (-5) = 100 - 100 = 0.

4. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 10-ാം പദം 56-ഉം 11-ാം പദം 51-ഉം ആണ്.

   • (i) ഇതിൻ്റെ ആദ്യ പദം എന്താണ്?
     • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 11-ാം പദം - 10-ാം പദം = 51 - 56 = -5.
     • 10-ാം പദം = f + 9d.
     • 56 = f + 9(-5) => 56 = f - 45 => f = 56 + 45 = 101.
   • (ii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
     • ശ്രേണി: 101, 101-5, 96-5, 91-5, 86-5
     • ശ്രേണി: 101, 96, 91, 86, 81

---

പേജ് 43/44 ചോദ്യങ്ങൾ

1. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 3-ാം പദം 15-ഉം 8-ാം പദം 35-ഉം ആണ്.

   • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 35 - 15 = 20.
   • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 8 - 3 = 5.
   • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 20 / 5 = 4.
   • (i) ഇതിൻ്റെ 13-ാം പദം എന്താണ്?
     • 8-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് 13-ാം പദത്തിലേക്കുള്ള സ്ഥാന മാറ്റം = 13 - 8 = 5 സ്ഥാനങ്ങൾ.
     • പദത്തിലെ വർദ്ധനവ് = 5 * d = 5 * 4 = 20.
     • 13-ാം പദം = 8-ാം പദം + 20 = 35 + 20 = 55.
   • (ii) ഇതിൻ്റെ 23-ാം പദം എന്താണ്?
     • 13-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് 23-ാം പദത്തിലേക്കുള്ള സ്ഥാന മാറ്റം = 23 - 13 = 10 സ്ഥാനങ്ങൾ.
     • പദത്തിലെ വർദ്ധനവ് = 10 * d = 10 * 4 = 40.
     • 23-ാം പദം = 13-ാം പദം + 40 = 55 + 40 = 95.

2. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 5-ാം പദം 21-ഉം 9-ാം പദം 41-ഉം ആണ്.

   • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 41 - 21 = 20.
   • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 9 - 5 = 4.
   • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 20 / 4 = 5.
   • (i) ഇതിൻ്റെ ആദ്യ പദം എന്താണ്?
     • 5-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് 1-ാം പദത്തിലേക്കുള്ള സ്ഥാന മാറ്റം = 5 - 1 = 4 സ്ഥാനങ്ങൾ (പിന്നോട്ട്).
     • പദത്തിലെ കുറവ് = 4 * d = 4 * 5 = 20.
     • ആദ്യ പദം = 5-ാം പദം - 20 = 21 - 20 = 1.
   • (ii) ഇതിൻ്റെ 3-ാം പദം എന്താണ്?
     • 1-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് 3-ാം പദത്തിലേക്കുള്ള സ്ഥാന മാറ്റം = 3 - 1 = 2 സ്ഥാനങ്ങൾ.
     • പദത്തിലെ വർദ്ധനവ് = 2 * d = 2 * 5 = 10.
     • 3-ാം പദം = 1-ാം പദം + 10 = 1 + 10 = 11.

3. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 4-ാം പദം 61-ഉം 7-ാം പദം 31-ഉം ആണ്.

   • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 31 - 61 = -30.
   • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 7 - 4 = 3.
   • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = -30 / 3 = -10.
   • (i) ഇതിൻ്റെ 10-ാം പദം എന്താണ്?
     • 7-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് 10-ാം പദത്തിലേക്കുള്ള സ്ഥാന മാറ്റം = 10 - 7 = 3 സ്ഥാനങ്ങൾ.
     • പദത്തിലെ മാറ്റം = 3 * d = 3 * (-10) = -30.
     • 10-ാം പദം = 7-ാം പദം - 30 = 31 - 30 = 1.
   • (ii) ഇതിൻ്റെ ആദ്യ പദം എന്താണ്?
     • 4-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് 1-ാം പദത്തിലേക്കുള്ള സ്ഥാന മാറ്റം = 4 - 1 = 3 സ്ഥാനങ്ങൾ (പിന്നോട്ട്).
     • പദത്തിലെ മാറ്റം = 3 * d = 3 * (-10) = -30.
     • ആദ്യ പദം = 4-ാം പദം - (-30) = 61 + 30 = 91.

4. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 5-ാം പദം 10-ഉം 10-ാം പദം 5-ഉം ആണ്.

   • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 5 - 10 = -5.
   • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 10 - 5 = 5.
   • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = -5 / 5 = -1.
   • (i) ഇതിൻ്റെ 15-ാം പദം എന്താണ്?
     • 10-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് 15-ാം പദത്തിലേക്കുള്ള സ്ഥാന മാറ്റം = 15 - 10 = 5 സ്ഥാനങ്ങൾ.
     • പദത്തിലെ മാറ്റം = 5 * d = 5 * (-1) = -5.
     • 15-ാം പദം = 10-ാം പദം - 5 = 5 - 5 = 0.
   • (ii) ഇതിൻ്റെ 25-ാം പദം എന്താണ്?
     • 15-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് 25-ാം പദത്തിലേക്കുള്ള സ്ഥാന മാറ്റം = 25 - 15 = 10 സ്ഥാനങ്ങൾ.
     • പദത്തിലെ മാറ്റം = 10 * d = 10 * (-1) = -10.
     • 25-ാം പദം = 15-ാം പദം - 10 = 0 - 10 = -10.

---

പേജ് 45/46/47 ചോദ്യങ്ങൾ (പദങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു)

റഫറൻസ് ശ്രേണി: 19, 28, 37, ... പൊതു വ്യത്യാസം 9 ആണ്. ബീജഗണിത രൂപം: xn = 9n + 10.

• ഇനി 10000 ഈ ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക, ആണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ സ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക.
  • ഒരു സംഖ്യ ഒരു പദമാണെങ്കിൽ, ആദ്യ പദവും ആ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പൊതു വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം.
  • വ്യത്യാസം = 10000 - 19 = 9981.
  • 9981, 9-ൻ്റെ ഗുണിതമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക: 9981 / 9 = 1109.
  • ഇതൊരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയായതിനാൽ, 10000 ഈ ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണ്.
  • സ്ഥാനം (n): 10000 = 9n + 10 => 9n = 9990 => n = 9990 / 9 = 1110.

1. 13, 24, 35, ... എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണോ 101? 1001-ഓ?

   • ആദ്യ പദം (f) = 13. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 24 - 13 = 11.
   • 101-ന്:
     • വ്യത്യാസം = 101 - 13 = 88.
     • 88, 11-ൻ്റെ ഗുണിതമാണോ? അതെ, 88 / 11 = 8.
     • 101 ഈ ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണ്. (സ്ഥാനം = 8 + 1 = 9-ാം പദം)
   • 1001-ന്:
     • വ്യത്യാസം = 1001 - 13 = 988.
     • 988, 11-ൻ്റെ ഗുണിതമാണോ? 988 / 11 = 89.81... (പൂർണ്ണ സംഖ്യയല്ല).
     • 1001 ഈ ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമല്ല.

2. താഴെ കൊടുത്ത പട്ടികയിൽ, ചില സമാന്തര ശ്രേണികളും അവയോരോന്നിനും എതിരായി രണ്ട് സംഖ്യകളും നൽകിയിരിക്കുന്നു. സംഖ്യകൾ അതാത് ശ്രേണികളിലെ പദങ്ങളാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക:

   • ശ്രേണി: 11, 22, 33, ... (f=11, d=11)
     • 123: 123 - 11 = 112. 112 / 11 = 10.18... അല്ല.
     • 132: 132 - 11 = 121. 121 / 11 = 11. അതെ.
   • ശ്രേണി: 12, 23, 34, ... (f=12, d=11)
     • 100: 100 - 12 = 88. 88 / 11 = 8. അതെ.
     • 1000: 1000 - 12 = 988. 988 / 11 = 89.81... അല്ല.
   • ശ്രേണി: 21, 32, 43, ... (f=21, d=11)
     • 100: 100 - 21 = 79. 79 / 11 = 7.18... അല്ല.
     • 1000: 1000 - 21 = 979. 979 / 11 = 89. അതെ.
   • ശ്രേണി: 1/4, 1/2, 3/4, ... (f=1/4, d=1/4)
     • 3/4: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2. (1/2) / (1/4) = 2. അതെ.
     • 1: 1 - 1/4 = 3/4. (3/4) / (1/4) = 3. അതെ.
   • ശ്രേണി: 3/4, 1, 1 1/4, ... (f=3/4, d=1/4)
     • 3/4: 3/4 - 3/4 = 0. 0 / (1/4) = 0. അതെ. (ഇതൊരു ആദ്യ പദം തന്നെയാണ്)
     • 2 1/2: 2 1/2 - 3/4 = 5/2 - 3/4 = 10/4 - 3/4 = 7/4. (7/4) / (1/4) = 7. അതെ.

3. മുകളിലുള്ള പട്ടികയിൽ, അതാത് ശ്രേണികളിലെ പദങ്ങളായ സംഖ്യകളുടെ സ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക.

   • സ്ഥാനം (n) = (സംഖ്യ - ആദ്യ പദം) / പൊതു വ്യത്യാസം + 1.
   • ശ്രേണി: 11, 22, 33, ... (f=11, d=11)
     • 132: (132 - 11) / 11 + 1 = 121 / 11 + 1 = 11 + 1 = 12-ാം പദം.
   • ശ്രേണി: 12, 23, 34, ... (f=12, d=11)
     • 100: (100 - 12) / 11 + 1 = 88 / 11 + 1 = 8 + 1 = 9-ാം പദം.
   • ശ്രേണി: 21, 32, 43, ... (f=21, d=11)
     • 1000: (1000 - 21) / 11 + 1 = 979 / 11 + 1 = 89 + 1 = 90-ാം പദം.
   • ശ്രേണി: 1/4, 1/2, 3/4, ... (f=1/4, d=1/4)
     • 3/4: (3/4 - 1/4) / (1/4) + 1 = (2/4) / (1/4) + 1 = 2 + 1 = 3-ാം പദം.
     • 1: (1 - 1/4) / (1/4) + 1 = (3/4) / (1/4) + 1 = 3 + 1 = 4-ാം പദം.
   • ശ്രേണി: 3/4, 1, 1 1/4, ... (f=3/4, d=1/4)
     • 3/4: (3/4 - 3/4) / (1/4) + 1 = 0 + 1 = 1-ാം പദം.
     • 2 1/2: (2 1/2 - 3/4) / (1/4) + 1 = (7/4) / (1/4) + 1 = 7 + 1 = 8-ാം പദം.

---

പേജ് 56/57 ചോദ്യങ്ങൾ (പദബന്ധങ്ങൾ)

1. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 4-ാം പദം 8 ആണ്.

   • (i) താഴെ നൽകിയിട്ടുള്ള പദ ജോഡികളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക:
     • ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ, ഒരു മധ്യപദത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള രണ്ട് പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
     • (a) 3-ഉം 5-ഉം
       • 4-ാം പദമാണ് 3-ഉം 5-ഉം പദങ്ങളുടെ മധ്യപദം.
       • തുക = 2 × 4-ാം പദം = 2 × 8 = 16.
     • (b) 2-ഉം 6-ഉം
       • 4-ാം പദം 2-ാം പദത്തിൽ നിന്നും (2 സ്ഥാനം മുൻപ്), 6-ാം പദത്തിൽ നിന്നും (2 സ്ഥാനം ശേഷം) തുല്യ അകലത്തിലാണ്.
       • തുക = 2 × 4-ാം പദം = 2 × 8 = 16.
     • (c) 1-ഉം 7-ഉം
       • 4-ാം പദം 1-ാം പദത്തിൽ നിന്നും (3 സ്ഥാനം മുൻപ്), 7-ാം പദത്തിൽ നിന്നും (3 സ്ഥാനം ശേഷം) തുല്യ അകലത്തിലാണ്.
       • തുക = 2 × 4-ാം പദം = 2 × 8 = 16.
   • (ii) 3, 4, 5 പദങ്ങളുടെ തുക എന്താണ്?
     • ഇവിടെ 3 തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുണ്ട് (ഒറ്റ സംഖ്യ). തുക മധ്യപദത്തിൻ്റെയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.
     • തുക = 4-ാം പദം × 3 = 8 × 3 = 24.
   • (iii) 2 മുതൽ 6 വരെയുള്ള 5 പദങ്ങളുടെ തുക എന്താണ്?
     • പദങ്ങൾ: 2, 3, 4, 5, 6. ഇത് തുടർച്ചയായ 5 പദങ്ങളാണ് (ഒറ്റ സംഖ്യ). മധ്യപദം 4-ാം പദമാണ്.
     • തുക = 4-ാം പദം × 5 = 8 × 5 = 40.
   • (iv) 1 മുതൽ 7 വരെയുള്ള 7 പദങ്ങളുടെ തുക എന്താണ്?
     • പദങ്ങൾ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ഇത് തുടർച്ചയായ 7 പദങ്ങളാണ് (ഒറ്റ സംഖ്യ). മധ്യപദം 4-ാം പദമാണ്.
     • തുക = 4-ാം പദം × 7 = 8 × 7 = 56.

2. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പൊതു വ്യത്യാസം 2-ഉം 9, 10, 11 പദങ്ങളുടെ തുക 90-ഉം ആണ്. ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.

   • തുടർച്ചയായ 3 പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിൻ്റെ 3 ഇരട്ടിയാണ്.
   • 10-ാം പദം (മധ്യപദം) = 90 / 3 = 30.
   • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 2.
   • 9-ാം പദം കണ്ടെത്താൻ: 10-ാം പദം - d = 30 - 2 = 28.
   • 11-ാം പദം കണ്ടെത്താൻ: 10-ാം പദം + d = 30 + 2 = 32.
   • 1-ാം പദം കണ്ടെത്താൻ: 10-ാം പദം = f + (10-1)d = f + 9d.
   • 30 = f + 9(2) => 30 = f + 18 => f = 30 - 18 = 12.
   • ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ:
     • 1-ാം പദം: 12
     • 2-ാം പദം: 12 + 2 = 14
     • 3-ാം പദം: 14 + 2 = 16
   • ശ്രേണി: 12, 14, 16

---

പേജ് 58/59 ചോദ്യങ്ങൾ (തുകകൾ)

1. ആദ്യ 7 പദങ്ങളുടെ തുക 70 ആയ മൂന്ന് സമാന്തര ശ്രേണികൾ എഴുതുക.

   • ഒറ്റ സംഖ്യ പദങ്ങളുള്ള ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ തുക മധ്യപദത്തിൻ്റെയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.
   • 7 പദങ്ങൾക്ക്, മധ്യപദം 4-ാം പദമാണ്.
   • 4-ാം പദം = തുക / പദങ്ങളുടെ എണ്ണം = 70 / 7 = 10.
   • ഇനി, 4-ാം പദം 10 ആയി വരുന്ന വ്യത്യസ്ത പൊതു വ്യത്യാസങ്ങൾ (d) തിരഞ്ഞെടുത്ത് ശ്രേണികൾ ഉണ്ടാക്കാം.
   • ആദ്യ പദം (f) = 4-ാം പദം - (4-1)d = 10 - 3d.
   • ശ്രേണി 1 (d=0 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു):
     • f = 10 - 3(0) = 10.
     • ശ്രേണി: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10
   • ശ്രേണി 2 (d=1 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു):
     • f = 10 - 3(1) = 7.
     • ശ്രേണി: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
   • ശ്രേണി 3 (d=2 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു):
     • f = 10 - 3(2) = 4.
     • ശ്രേണി: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

2. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ 3 പദങ്ങളുടെ തുക 30-ഉം ആദ്യ 7 പദങ്ങളുടെ തുക 140-ഉം ആണ്.

   • (i) ശ്രേണിയുടെ 2-ാം പദം എന്താണ്?
     • ആദ്യ 3 പദങ്ങളുടെ തുക = x1 + x2 + x3 = 30.
     • 3 പദങ്ങളുള്ളതിനാൽ (ഒറ്റ സംഖ്യ), മധ്യപദം 2-ാം പദമാണ്.
     • 2-ാം പദം (x2) = 30 / 3 = 10.
   • (ii) ശ്രേണിയുടെ 4-ാം പദം എന്താണ്?
     • ആദ്യ 7 പദങ്ങളുടെ തുക = x1 + ... + x7 = 140.
     • 7 പദങ്ങളുള്ളതിനാൽ (ഒറ്റ സംഖ്യ), മധ്യപദം 4-ാം പദമാണ്.
     • 4-ാം പദം (x4) = 140 / 7 = 20.
   • (iii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?
     • നമുക്ക് x2 = 10, x4 = 20 എന്നിവയുണ്ട്.
     • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 20 - 10 = 10.
     • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 4 - 2 = 2.
     • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 10 / 2 = 5.
     • 1-ാം പദം (x1) = x2 - d = 10 - 5 = 5.
     • 3-ാം പദം (x3) = x2 + d = 10 + 5 = 15.
     • ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 5, 10, 15.

3. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങളുടെ തുക 150-ഉം ആദ്യ പത്ത് പദങ്ങളുടെ തുക 550-ഉം ആണ്.

   • (i) ശ്രേണിയുടെ മൂന്നാം പദം എന്താണ്?
     • ആദ്യ 5 പദങ്ങളുടെ തുക (S5) = 150.
     • മധ്യപദം 3-ാം പദമാണ് (x3).
     • x3 = S5 / 5 = 150 / 5 = 30.
   • (ii) ശ്രേണിയുടെ എട്ടാം പദം എന്താണ്?
     • ആദ്യ 10 പദങ്ങളുടെ തുക (S10) = 550.
     • S10 = (10/2) * (x1 + x10) = 5(x1 + x10) = 550.
     • അതുകൊണ്ട്, x1 + x10 = 110.
     • ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ, മധ്യത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള പദങ്ങളുടെ തുക സ്ഥിരമാണ്. അതുകൊണ്ട് x1 + x10 = x2 + x9 = x3 + x8 = 110.
     • x3 = 30 ആയതിനാൽ, x3 + x8 = 110 => 30 + x8 = 110 => x8 = 110 - 30 = 80.
   • (iii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
     • നമുക്ക് x3 = 30, x8 = 80 എന്നിവയുണ്ട്.
     • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 80 - 30 = 50.
     • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 8 - 3 = 5.
     • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 50 / 5 = 10.
     • x1 കണ്ടെത്താൻ: x3 = x1 + 2d => 30 = x1 + 2(10) => 30 = x1 + 20 => x1 = 10.
     • ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 10, 20, 30.

4. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 11-ാം പദത്തിൻ്റെയും 21-ാം പദത്തിൻ്റെയും തുക 80 ആണ്. 16-ാം പദം എന്താണ്?

   • ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ, ഒരു മധ്യപദത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള രണ്ട് പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
   • 11-ാം പദത്തിൻ്റെയും 21-ാം പദത്തിൻ്റെയും കൃത്യം മധ്യത്തിലാണ് 16-ാം പദം (കാരണം (11 + 21) / 2 = 32 / 2 = 16).
   • അതുകൊണ്ട്, 16-ാം പദം = (11-ാം പദത്തിൻ്റെയും 21-ാം പദത്തിൻ്റെയും തുക) / 2 = 80 / 2 = 40.

5. ഒരു പഞ്ചഭുജത്തിൻ്റെ കോണുകൾ സമാന്തര ശ്രേണിയിലാണ്.

   • ഒരു n-വശ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ തുക (n-2) × 180° ആണ്. ഒരു പഞ്ചഭുജത്തിന് (n=5): (5-2) × 180° = 3 × 180° = 540°.
   • (i) കോണുകൾ അവയുടെ അളവനുസരിച്ച് എഴുതിയാൽ, മൂന്നാമത്തെ കോൺ എന്തായിരിക്കും?
     • ഒരു പഞ്ചഭുജത്തിന് 5 കോണുകളുണ്ട്. അവ സമാന്തര ശ്രേണിയിലാണെങ്കിൽ, അവയെ ക്രമത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ മൂന്നാമത്തെ കോൺ മധ്യപദമായിരിക്കും.
     • തുടർച്ചയായ 5 പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിൻ്റെ 5 ഇരട്ടിയാണ്.
     • മൂന്നാമത്തെ കോൺ = കോണുകളുടെ ആകെ തുക / 5 = 540° / 5 = 108°.
   • (ii) ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ 40° ആണെങ്കിൽ, മറ്റ് കോണുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്?
     • കോണുകൾ x1, x2, x3, x4, x5 എന്നിരിക്കട്ടെ. x1 = 40°, x3 = 108° എന്ന് നമുക്കറിയാം.
     • x3 = x1 + 2d => 108 = 40 + 2d => 2d = 68 => d = 34°.
     • കോണുകൾ ഇവയാണ്:
       • 1-ാമത്തെ: 40°
       • 2-ാമത്തെ: 40° + 34° = 74°
       • 3-ാമത്തെ: 74° + 34° = 108°
       • 4-ാമത്തെ: 108° + 34° = 142°
       • 5-ാമത്തെ: 142° + 34° = 176°
     • (തുക പരിശോധിക്കുക: 40 + 74 + 108 + 142 + 176 = 540°).
   • (iii) ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ 36° ആകാൻ കഴിയുമോ?
     • ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ (x1) = 36° ആണെന്നും, മൂന്നാമത്തെ കോൺ (x3) എല്ലായ്പ്പോഴും 108° ആണെന്നും (ഭാഗം i-ൽ നിന്ന്) നമുക്കറിയാം.
     • x3 = x1 + 2d => 108 = 36 + 2d => 2d = 72 => d = 36°.
     • കോണുകൾ ഇതായിരിക്കും:
       • 1-ാമത്തെ: 36°
       • 2-ാമത്തെ: 36° + 36° = 72°
       • 3-ാമത്തെ: 72° + 36° = 108°
       • 4-ാമത്തെ: 108° + 36° = 144°
       • 5-ാമത്തെ: 144° + 36° = 180°
     • ഒരു ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ കോൺ 180° അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതലാകാൻ പാടില്ല, കാരണം അത് ഒരു ഡീജനറേറ്റ് (നിരപ്പായ അല്ലെങ്കിൽ കോൺകേവ്) വെർട്ടെക്സിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഒരു കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഒരു ആന്തരിക കോൺ 180°-ൽ കുറവായിരിക്കണം.
     • അതുകൊണ്ട്, ഇല്ല, ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ 36° ആകാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അത് ആന്തരിക കോണുകളിലൊന്ന് 180° ആകുന്നതിന് കാരണമാകും.

---

പേജ് 65 ചോദ്യങ്ങൾ (തുകകൾ കൂടുതൽ)

1. ആദ്യ നാല് പദങ്ങളുടെ തുക 100 ആയ നാല് സമാന്തര ശ്രേണികൾ എഴുതുക.

   • ആദ്യ നാല് പദങ്ങളുടെ തുക (S4) = 100.
   • S4 = (4/2) * (x1 + x4) = 2(x1 + x4) = 100.
   • അതുകൊണ്ട്, x1 + x4 = 50.
   • കൂടാതെ, x2 + x3 = 50.
   • ആദ്യ പദം f ഉം പൊതു വ്യത്യാസം d ഉം ആണെങ്കിൽ: x1 = f, x4 = f+3d.
   • f + (f+3d) = 50 => 2f + 3d = 50.
   • d-ക്ക് വ്യത്യസ്ത വിലകൾ നൽകി f കണ്ടെത്താം.
   • ശ്രേണി 1 (d=10 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു):
     • 2f + 3(10) = 50 => 2f + 30 = 50 => 2f = 20 => f = 10.
     • ശ്രേണി: 10, 20, 30, 40, ...
   • ശ്രേണി 2 (d=0 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു):
     • 2f + 3(0) = 50 => 2f = 50 => f = 25.
     • ശ്രേണി: 25, 25, 25, 25, ...
   • ശ്രേണി 3 (d=5 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു):
     • 2f + 3(5) = 50 => 2f + 15 = 50 => 2f = 35 => f = 17.5.
     • ശ്രേണി: 17.5, 22.5, 27.5, 32.5, ...
   • ശ്രേണി 4 (d=-2 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു):
     • 2f + 3(-2) = 50 => 2f - 6 = 50 => 2f = 56 => f = 28.
     • ശ്രേണി: 28, 26, 24, 22, ...

2. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 1-ാം പദം 5-ഉം ആദ്യ 6 പദങ്ങളുടെ തുക 105-ഉം ആണ്. ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ ആറ് പദങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.

   • ആദ്യ പദം (f) = 5.
   • ആദ്യ 6 പദങ്ങളുടെ തുക (S6) = 105.
   • S6 = (6/2) * (x1 + x6) = 3(x1 + x6) = 105.
   • x1 + x6 = 105 / 3 = 35.
   • x1 = 5 ആയതിനാൽ, 5 + x6 = 35 => x6 = 30.
   • ഇനി x6 = x1 + (6-1)d = x1 + 5d ഉപയോഗിക്കുക.
   • 30 = 5 + 5d => 25 = 5d => d = 5.
   • ആദ്യ ആറ് പദങ്ങൾ:
     • x1 = 5
     • x2 = 5 + 5 = 10
     • x3 = 10 + 5 = 15
     • x4 = 15 + 5 = 20
     • x5 = 20 + 5 = 25
     • x6 = 25 + 5 = 30
   • ശ്രേണി: 5, 10, 15, 20, 25, 30.

3. ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ 7-ാം പദത്തിൻ്റെയും 8-ാം പദത്തിൻ്റെയും തുക 50 ആണ്. ആദ്യ 14 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.

   • ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ, സ്ഥാനങ്ങളുടെ തുക തുല്യമാണെങ്കിൽ, ആ സ്ഥാനങ്ങളിലെ പദങ്ങളുടെ തുകയും തുല്യമായിരിക്കും.
   • x7 + x8 = 50 എന്ന് നമുക്കറിയാം.
   • ആദ്യ 14 പദങ്ങളുടെ തുക (S14). S14 = (14/2) * (x1 + x14) = 7(x1 + x14).
   • (x1, x14) എന്നീ സ്ഥാനങ്ങളുടെ തുക 1+14=15 ആണ്.
   • (x7, x8) എന്നീ സ്ഥാനങ്ങളുടെ തുക 7+8=15 ആണ്.
   • അതുകൊണ്ട്, x1 + x14 = x7 + x8 = 50.
   • S14 = 7 * (x1 + x14) = 7 * 50 = 350.

4. താഴെ നൽകിയിട്ടുള്ള ഓരോ സമാന്തര ശ്രേണിയുടെയും ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക:

   • n പദങ്ങളുടെ തുക, Sn = (n/2)(2f + (n-1)d) അല്ലെങ്കിൽ Sn = n * മധ്യപദം (n ഒറ്റ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ).
   • (i) 1-ാം പദം 30-ഉം ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങളുടെ തുക 300-ഉം
     • f = 30.
     • S3 = 300. n=3 (ഒറ്റ സംഖ്യ) ആയതിനാൽ, മധ്യപദം 2-ാം പദമാണ് (x2).
     • x2 = S3 / 3 = 300 / 3 = 100.
     • പൊതു വ്യത്യാസം (d) = x2 - x1 = 100 - 30 = 70.
     • ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 30, 100, 170.
   • (ii) 1-ാം പദം 30-ഉം ആദ്യ നാല് പദങ്ങളുടെ തുക 300-ഉം
     • f = 30.
     • S4 = 300. S4 = (4/2)(x1 + x4) = 2(x1 + x4) = 300.
     • x1 + x4 = 150.
     • 30 + x4 = 150 => x4 = 120.
     • x4 = x1 + (4-1)d = x1 + 3d.
     • 120 = 30 + 3d => 90 = 3d => d = 30.
     • ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 30, 60, 90.
   • (iii) 1-ാം പദം 30-ഉം ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങളുടെ തുക 300-ഉം
     • f = 30.
     • S5 = 300. n=5 (ഒറ്റ സംഖ്യ) ആയതിനാൽ, മധ്യപദം 3-ാം പദമാണ് (x3).
     • x3 = S5 / 5 = 300 / 5 = 60.
     • x3 = x1 + 2d.
     • 60 = 30 + 2d => 30 = 2d => d = 15.
     • ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 30, 45, 60.
   • (iv) 1-ാം പദം 30-ഉം ആദ്യ ആറ് പദങ്ങളുടെ തുക 300-ഉം
     • f = 30.
     • S6 = 300. S6 = (6/2)(x1 + x6) = 3(x1 + x6) = 300.
     • x1 + x6 = 100.
     • 30 + x6 = 100 => x6 = 70.
     • x6 = x1 + 5d.
     • 70 = 30 + 5d => 40 = 5d => d = 8.
     • ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 30, 38, 46.

---

ഭാഗം 2: വൃത്തങ്ങളും കോണുകളും (Circles and Angles)

പേജ് 72 ചോദ്യങ്ങൾ

1. താഴെ കൊടുത്ത ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയ ചാപം വൃത്തത്തിൻ്റെ എത്ര ഭാഗമാണ്? (ചിത്രം പരിധിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ 45° കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഒരു ചാപം കാണിക്കുന്നു).

   • ഒരു ചാപത്തിൻ്റെ അഗ്രങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ, കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതിയായിരിക്കും.
   • പരിധിയിലെ കോൺ 45° ആയതിനാൽ, കേന്ദ്ര കോൺ ഇതിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്, അതായത് 2 × 45° = 90°.
   • 90° കേന്ദ്ര കോണിന് തുല്യമായ വൃത്തത്തിൻ്റെ ഭാഗം 90°/360° = 1/4 ആണ്.

2. ഒരു വളഞ്ഞ കമ്പിയുടെ മൂല ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ വെച്ചപ്പോൾ, വൃത്തത്തിൻ്റെ 1/10 ഭാഗം അതിനുള്ളിൽ ഒതുങ്ങി. ഈ കമ്പിയുടെ മൂല രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെ പോലെ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചാൽ, വൃത്തത്തിൻ്റെ എത്ര ഭാഗം അതിനുള്ളിൽ ഒതുങ്ങും? മൂന്നാമത്തെ ചിത്രത്തിലെ പോലെ മറ്റൊരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചാലോ?

   • ഘട്ടം 1: വളഞ്ഞ കമ്പിയുടെ കോൺ കണ്ടെത്തുക.
     • കമ്പിയുടെ മൂല കേന്ദ്രത്തിൽ വെച്ചപ്പോൾ വൃത്തത്തിൻ്റെ 1/10 ഭാഗം ഉൾക്കൊണ്ടുവെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ കോൺ (കേന്ദ്ര കോൺ) (1/10) × 360° = 36° ആണ്.
   • ഘട്ടം 2: കമ്പി ഈ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചാൽ (രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം).
     • കമ്പിയുടെ കോൺ (36°) ഇപ്പോൾ പരിധിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചതിനാൽ, അത് കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതിയായിരിക്കും.
     • അതുകൊണ്ട്, കമ്പിക്കുള്ളിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ 2 × 36° = 72° ആയിരിക്കും.
     • ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ഭാഗം = 72°/360° = 1/5.
   • ഘട്ടം 3: കമ്പി മറ്റൊരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചാൽ (മൂന്നാമത്തെ ചിത്രം).
     • കമ്പിയുടെ കോൺ 36° തന്നെയായിരിക്കും. "വൃത്തത്തിൻ്റെ എത്ര ഭാഗം അതിനുള്ളിൽ ഒതുങ്ങും" എന്ന ചോദ്യം രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെ സമാനമായ ബന്ധമാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
     • ഒരു ചാപത്തിൻ്റെ അഗ്രങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതിയായിരിക്കും എന്ന തത്വം ഏതൊരു വൃത്തത്തിലും ബാധകമാണ്.
     • അതുകൊണ്ട്, 36° കോൺ മറ്റൊരു വൃത്തത്തിൻ്റെ പരിധിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഉണ്ടാക്കിയാൽ, ആ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ 2 × 36° = 72° തന്നെയായിരിക്കും.
     • ആ വൃത്തത്തിൻ്റെ ഭാഗവും 72°/360° = 1/5 ആയിരിക്കും.

---

പേജ് 75 ചോദ്യങ്ങൾ (കേന്ദ്ര കോണുകളും പരിധിയിലെ കോണുകളും)

ഓരോ ചിത്രത്തിലും, ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു: ഓരോന്നിലും, ചാപം മറ്റ് രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകൾ കണക്കാക്കുക.

• തത്വം 1: ഒരു ചാപത്തിൻ്റെ അഗ്രങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ, കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതിയായിരിക്കും.
• തത്വം 2: ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ, ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലും അതിൻ്റെ മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. (ഒരേ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ തുല്യമാണ്).

1. ചിത്രം 1: കേന്ദ്ര കോൺ 80°

   • P എന്ന ബിന്ദുവിലെ കോൺ (വലിയ ചാപത്തിൽ): കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതി = 80° / 2 = 40°.
   • Q എന്ന ബിന്ദുവിലെ കോൺ (ചെറിയ ചാപത്തിൽ): മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക 180° ആയതിനാൽ, 180° - 40° = 140°.

2. ചിത്രം 2: കേന്ദ്ര കോൺ 220° (റിഫ്ലക്സ് കോൺ)

   • ഇതൊരു വലിയ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോണാണ്.
   • P എന്ന ബിന്ദുവിലെ കോൺ (ചെറിയ ചാപത്തിൽ): കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതി = 220° / 2 = 110°.
   • Q എന്ന ബിന്ദുവിലെ കോൺ (വലിയ ചാപത്തിൽ, പക്ഷേ മറുചാപത്തെ നിർവചിക്കുന്നത്): ചെറിയ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ 360° - 220° = 140° ആണ്.
   • Q-യിലെ കോൺ ഈ കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതി = 140° / 2 = 70°.
   • (പരിശോധിക്കുക: 110° + 70° = 180°, മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകളുടെ തുകയ്ക്ക് അനുയോജ്യമാണ്).

3. ചിത്രം 3: കേന്ദ്ര കോൺ 180° (അർദ്ധവൃത്തം)

   • P എന്ന ബിന്ദുവിലെ കോൺ (അർദ്ധ വൃത്തത്തിൽ): കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതി = 180° / 2 = 90°.
   • Q എന്ന ബിന്ദുവിലെ കോൺ (വ്യാസത്തിൻ്റെ മറുവശത്ത്): 180° / 2 = 90° തന്നെ.
   • (ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ ഒരു മട്ടകോണാണ്).

---

പേജ് 80/81/82/83 ചോദ്യങ്ങൾ (വൃത്ത theorems-ൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങൾ)

1. ഒരു ക്ലോക്ക് മുഖത്ത് 1, 4, 8 എന്നീ അക്കങ്ങൾ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ത്രികോണം വരച്ചിരിക്കുന്നു:

   • ഒരു ക്ലോക്ക് മുഖത്ത് 12 അക്കങ്ങളുണ്ട്, അവ 360°-നെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അടുത്തടുത്ത അക്കങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കേന്ദ്ര കോൺ 360°/12 = 30° ആണ്.
   • (i) ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണുകൾ കണക്കാക്കുക.
     • ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂലകൾ 1, 4, 8 എന്നീ അക്കങ്ങളിലാണ്. ഈ ബിന്ദുക്കൾ വൃത്തത്തിൻ്റെ ഞാണുകളാണ്. ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണുകൾ വൃത്ത പരിധിയിലെ കോണുകളാണ്. ഒരു കോൺ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രകോണിൻ്റെ പകുതിയായിരിക്കും.
     • 1-ലെ കോൺ (കോൺ 4-1-8): 4 മുതൽ 8 വരെയുള്ള ചാപത്തെ നിർവചിക്കുന്നു. ഇതിൽ 4, 5, 6, 7, 8 എന്നീ അക്കങ്ങൾ (4 മുതൽ 8 വരെ 4 മണിക്കൂർ ദൂരം, അതായത് 4 * 30 = 120 ഡിഗ്രി കോൺ) ഉണ്ട്. (ശ്രദ്ധിക്കുക: 4 മുതൽ 8 വരെയുള്ള അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം: 8-4=4. അതുകൊണ്ട് 4*30=120 ഡിഗ്രി).
       • കേന്ദ്ര കോൺ = 4 × 30° = 120°.
       • 1-ലെ കോൺ = 120° / 2 = 60°.
     • 4-ലെ കോൺ (കോൺ 1-4-8): 8 മുതൽ 1 വരെയുള്ള ചാപത്തെ നിർവചിക്കുന്നു (ഘടികാരദിശയിൽ). ഇതിൽ 8, 9, 10, 11, 12, 1 എന്നീ അക്കങ്ങൾ (5 മണിക്കൂർ ദൂരം) ഉണ്ട്.
       • കേന്ദ്ര കോൺ = 5 × 30° = 150°.
       • 4-ലെ കോൺ = 150° / 2 = 75°.
     • 8-ലെ കോൺ (കോൺ 1-8-4): 1 മുതൽ 4 വരെയുള്ള ചാപത്തെ നിർവചിക്കുന്നു (ഘടികാരദിശയിൽ). ഇതിൽ 1, 2, 3, 4 എന്നീ അക്കങ്ങൾ (3 മണിക്കൂർ ദൂരം) ഉണ്ട്.
       • കേന്ദ്ര കോൺ = 3 × 30° = 90°.
       • 8-ലെ കോൺ = 90° / 2 = 45°.
     • (പരിശോധിക്കുക: 60° + 75° + 45° = 180°. ഇത് ശരിയാണ്.)
     • ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണുകൾ: 60°, 75°, 45°.
   • (ii) ഒരു ക്ലോക്ക് മുഖത്തെ അക്കങ്ങൾ യോജിപ്പിച്ച് എത്ര സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം?
     • ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ കോണുകളും 60° ആണ്.
     • പരിധിയിലെ കോൺ 60° ആകണമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ എതിർവശത്തെ കേന്ദ്ര കോൺ 120° ആയിരിക്കണം (60° × 2 = 120°).
     • 120° കേന്ദ്ര കോൺ 120°/30° = 4 ക്ലോക്ക് യൂണിറ്റുകൾക്ക് തുല്യമാണ്.
     • അതുകൊണ്ട്, ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂലകൾ 4 യൂണിറ്റ് അകലത്തിലായിരിക്കണം.
     • സാധ്യമായ ആരംഭ സ്ഥാനങ്ങൾ:
       • 1-ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്: (1, 1+4=5, 5+4=9). ത്രികോണം (1, 5, 9).
       • 2-ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്: (2, 2+4=6, 6+4=10). ത്രികോണം (2, 6, 10).
       • 3-ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്: (3, 3+4=7, 7+4=11). ത്രികോണം (3, 7, 11).
       • 4-ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്: (4, 4+4=8, 8+4=12). ത്രികോണം (4, 8, 12).
     • മറ്റേതൊരു കോമ്പിനേഷനും (ഉദാഹരണത്തിന്, 5-ൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്) ഈ ത്രികോണങ്ങളിലൊന്ന് ആവർത്തിക്കും (ഉദാ: 5, 9, 1 എന്നത് 1, 5, 9 തന്നെയാണ്).
     • ഒരു ക്ലോക്ക് മുഖത്തിലെ അക്കങ്ങൾ യോജിപ്പിച്ച് 4 സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം.

2. പരിവൃത്ത ആരം 3.5 സെൻ്റീമീറ്റർ ആയ ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.

   • നിർമ്മാണ ഘട്ടങ്ങൾ:
     1. 3.5 സെൻ്റീമീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. (ഇതാണ് പരിവൃത്തം).
     2. വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം O അടയാളപ്പെടുത്തുക.
     3. ഏതെങ്കിലും ഒരു ആരം OA വരയ്ക്കുക.
     4. ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം പരിവൃത്തത്തെ മൂന്ന് 120° ചാപങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നതിനാൽ (ഓരോ വശവും 360°/3 = 120° കേന്ദ്ര കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നു), ∠AOB = 120° ഉം ∠BOC = 120° ഉം ആകുന്ന രീതിയിൽ മറ്റ് രണ്ട് ആരങ്ങൾ OB, OC വരയ്ക്കുക.
     5. A, B, C എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുക. ABC ത്രികോണം ആവശ്യമായ സമഭുജ ത്രികോണമാണ്.
   • ന്യായം: സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ വൃത്തത്തിൻ്റെ ഞാണുകളായിരിക്കും. ഒരു വൃത്തത്തിൽ വരച്ച ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഓരോ വശത്തിനും (ഞാണിനും) അനുയോജ്യമായ കേന്ദ്ര കോൺ 120° ആയിരിക്കും. ഈ ഞാണിന് എതിർവശത്തുള്ള പരിധിയിലെ കോൺ 60° ആയിരിക്കും, ഇത് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണാണ്.

3. പരിവൃത്ത ആരം 3 സെൻ്റീമീറ്റർ ആയതും രണ്ട് കോണുകൾ 32 1/2° ഉം 37 1/2° ഉം ആയ ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.

   • ഘട്ടം 1: മൂന്നാമത്തെ കോൺ കണ്ടെത്തുക.
     • ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക = 180°.
     • മൂന്നാമത്തെ കോൺ = 180° - 32.5° - 37.5° = 180° - 70° = 110°.
   • നിർമ്മാണ ഘട്ടങ്ങൾ:
     1. 3 സെൻ്റീമീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. ഇതാണ് പരിവൃത്തം.
     2. പരിധിയിലെ ഓരോ കോണിനും അനുയോജ്യമായ കേന്ദ്ര കോൺ ആ കോണിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
        • 32.5° ന്: കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 32.5° = 65°.
        • 37.5° ന്: കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 37.5° = 75°.
        • 110° ന്: കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 110° = 220°.
     3. കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് ആരങ്ങൾ OA, OB, OC വരയ്ക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, വൃത്തത്തിൽ ഒരു ബിന്ദു A അടയാളപ്പെടുത്തുക. O-ൽ നിന്ന് OB വരയ്ക്കുക, അങ്ങനെ ∠AOB = 65° ആകണം. പിന്നീട് OC വരയ്ക്കുക, അങ്ങനെ ∠BOC = 75° ആകണം. ശേഷിക്കുന്ന കോൺ ∠COA 360° - 65° - 75° = 220° ആയിരിക്കും.
     4. A, B, C എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക. ABC ത്രികോണം ആവശ്യമായ ത്രികോണമാണ്.

4. ചിത്രത്തിൽ, ഒരു വര വ്യാസമായി ഒരു അർദ്ധവൃത്തം വരച്ചിരിക്കുന്നു, ഈ വരയുടെ പകുതി വ്യാസമായി ഒരു ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തവും വരച്ചിരിക്കുന്നു. അർദ്ധവൃത്തങ്ങൾ ചേരുന്ന ബിന്ദുവിനെ, വലിയ അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയെ ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തം സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ചിത്രം നൽകിയിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ ചോദ്യം കൃത്യമായി വ്യാഖ്യാനിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രധാന ജ്യാമിതീയ തത്വങ്ങൾ താഴെ പറയുന്നു:
   • പ്രധാന തത്വങ്ങൾ:
     • ഒരു അർദ്ധ വൃത്തത്തിലെ കോൺ (വ്യാസം ഒരു വശമായി വരുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരിധിയിലെ കോൺ) എപ്പോഴും 90° ആയിരിക്കും. (ഇതിനെ തേൽസ് തത്വം എന്ന് പറയുന്നു).
     • സമാന ത്രികോണങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങൾ.
     • ഒരു ത്രികോണത്തിലെ ഒരു വശത്തിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റേ വശത്തിന് സമാന്തരമായി വരയ്ക്കുന്ന വര മൂന്നാമത്തെ വശത്തെ മധ്യബിന്ദുവിൽ മുറിക്കുന്നു (മധ്യബിന്ദു തത്വം).
   • ഈ തത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, വരകളെയും വൃത്തങ്ങളെയും സംബന്ധിച്ച ഒരു പ്രത്യേക ചിത്രീകരണത്തിലൂടെയായിരിക്കും ഈ തെളിവ് സാധ്യമാകുന്നത്. ചിത്രമില്ലാതെ കൃത്യമായ തെളിവ് നൽകാൻ കഴിയില്ല.

5. ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിൻ്റെ തുല്യ വശങ്ങൾ വ്യാസങ്ങളായി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വശത്തിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ത്രികോണം ABC, AB = AC. BC യുടെ മധ്യബിന്ദു D ആണെന്ന് കരുതുക. AB, AC എന്നിവ വ്യാസങ്ങളായി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തങ്ങൾ D-യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കണം.
   • തെളിവ്:
     1. ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിൽ, തുല്യ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള മൂലയിൽ നിന്ന് പാദത്തിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന മധ്യമം പാദത്തിന് ലംബമായിരിക്കും. അതിനാൽ, AD, BC-ക്ക് ലംബമാണ്. അതുകൊണ്ട്, ∠ADB = 90° ഉം ∠ADC = 90° ഉം ആണ്.
     2. AB വ്യാസമായി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക. ഈ വൃത്തത്തിൻ്റെ പരിധിയിലെ ഏതൊരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും വ്യാസം ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ (∠APB) 90° ആയിരിക്കും.
     3. ∠ADB = 90° ആയതിനാൽ, D എന്ന ബിന്ദു AB വ്യാസമായി വരച്ച വൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു (കാരണം D-യിലെ കോൺ 90° ആണ്, അത് AB-ക്ക് അഭിമുഖമാണ്).
     4. അതുപോലെ, AC വ്യാസമായി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക. ഈ വൃത്തത്തിൻ്റെ പരിധിയിലെ ഏതൊരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും വ്യാസം ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ (∠AQC) 90° ആയിരിക്കും.
     5. ∠ADC = 90° ആയതിനാൽ, D എന്ന ബിന്ദു AC വ്യാസമായി വരച്ച വൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
     6. അതുകൊണ്ട്, രണ്ട് വൃത്തങ്ങളും മൂന്നാമത്തെ വശമായ BC-യുടെ മധ്യബിന്ദുവായ D-യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

6. ഒരു സമചതുർഭുജത്തിൻ്റെ നാല് വശങ്ങളും വ്യാസങ്ങളായി വരയ്ക്കുന്ന എല്ലാ വൃത്തങ്ങളും ഒരു പൊതുവായ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • സമചതുർഭുജം ABCD. അതിൻ്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ AC-യും BD-യും O എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിക്കുന്നു എന്ന് കരുതുക. ഒരു സമചതുർഭുജത്തിൽ, വികർണ്ണങ്ങൾ പരസ്പരം ലംബ സമഭാജികളായിരിക്കും. അതുകൊണ്ട്, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°.
   • തെളിവ്:
     1. AB വശത്തെ വ്യാസമായി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക. ∠AOB = 90° ആയതിനാൽ, O എന്ന ബിന്ദു ഈ വൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
     2. BC വശത്തെ വ്യാസമായി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക. ∠BOC = 90° ആയതിനാൽ, O എന്ന ബിന്ദു ഈ വൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
     3. CD വശത്തെ വ്യാസമായി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക. ∠COD = 90° ആയതിനാൽ, O എന്ന ബിന്ദു ഈ വൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
     4. DA വശത്തെ വ്യാസമായി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക. ∠DOA = 90° ആയതിനാൽ, O എന്ന ബിന്ദു ഈ വൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
     5. അതുകൊണ്ട്, നാല് വൃത്തങ്ങളും വികർണ്ണങ്ങൾ സന്ധിക്കുന്ന O എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, ഇത് ഒരു പൊതുവായ ബിന്ദുവാണ്.

7. ചിത്രത്തിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ വ്യാസത്തിൻ്റെ അഗ്രങ്ങളും പരിധിയിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവും യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ത്രികോണം വരച്ചിരിക്കുന്നു; എന്നിട്ട് ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റ് വശങ്ങളിൽ അർദ്ധവൃത്തങ്ങൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു: രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെ നീലയും ചുവപ്പും ആയ ചന്ദ്രക്കലകളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുക ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക (സൂചന: 9-ാം ക്ലാസ്സിലെ വൃത്തത്തിൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ എന്ന പാഠത്തിലെ അവസാന പ്രശ്നം കാണുക).

   • വലിയ വൃത്തത്തിൻ്റെ വ്യാസം AB, പരിധിയിലെ മൂന്നാമത്തെ ബിന്ദു C എന്നിരിക്കട്ടെ. അതിനാൽ, ത്രികോണം ABC ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്, C-യിൽ മട്ടകോണാണ് (അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ 90° ആണ്).
   • ത്രികോണം ABC യുടെ പരപ്പളവ് Area(ABC) എന്നിരിക്കട്ടെ.
   • AB വ്യാസമായ അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് Area(S_AB) എന്നിരിക്കട്ടെ.
   • AC വ്യാസമായ അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് Area(S_AC) എന്നിരിക്കട്ടെ.
   • BC വ്യാസമായ അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് Area(S_BC) എന്നിരിക്കട്ടെ.
   • ചന്ദ്രക്കലകളുടെ പരപ്പളവ് (lunulae) ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തങ്ങളിൽ നിന്ന് വലിയ അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ കുറച്ചാണ് ലഭിക്കുന്നത്.
   • നീല ചന്ദ്രക്കലയുടെ പരപ്പളവ് = Area(S_AC) - (വലിയ വൃത്തത്തിലെ AC ഞാൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന വൃത്തഖണ്ഡം)
   • ചുവന്ന ചന്ദ്രക്കലയുടെ പരപ്പളവ് = Area(S_BC) - (വലിയ വൃത്തത്തിലെ BC ഞാൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന വൃത്തഖണ്ഡം)
   • ABC ഒരു മട്ടത്രികോണമായതുകൊണ്ട്, AC = a, BC = b, AB = c. പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് a^2 + b^2 = c^2.
   • ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് (1/2)π(r^2) ആണ്.
     • Area(S_AC) = (1/2)π(a/2)^2 = (1/8)πa^2.
     • Area(S_BC) = (1/2)π(b/2)^2 = (1/8)πb^2.
     • Area(S_AB) = (1/2)π(c/2)^2 = (1/8)πc^2.
   • a^2 + b^2 = c^2 ആയതുകൊണ്ട്, (1/8)πa^2 + (1/8)πb^2 = (1/8)πc^2.
   • അതുകൊണ്ട്, Area(S_AC) + Area(S_BC) = Area(S_AB).
   • ഇനി, വലിയ അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ AC, BC ഞാണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന വൃത്തഖണ്ഡങ്ങളെ Area(Seg_AC), Area(Seg_BC) എന്ന് വിളിക്കുക.
   • Area(S_AB) = Area(ABC) + Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC). (വലിയ അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് = ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് + രണ്ട് വൃത്തഖണ്ഡങ്ങളുടെ പരപ്പളവ്).
   • ചന്ദ്രക്കലകളുടെ തുക = (Area(S_AC) - Area(Seg_AC)) + (Area(S_BC) - Area(Seg_BC))
   • = (Area(S_AC) + Area(S_BC)) - (Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC)).
   • നമുക്കറിയാം Area(S_AC) + Area(S_BC) = Area(S_AB).
   • അതുകൊണ്ട്, ചന്ദ്രക്കലകളുടെ തുക = Area(S_AB) - (Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC)).
   • Area(S_AB) യുടെ വില മുകളിൽ നിന്ന് നൽകുക:
   • ചന്ദ്രക്കലകളുടെ തുക = (Area(ABC) + Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC)) - (Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC)).
   • ചന്ദ്രക്കലകളുടെ തുക = Area(ABC).
   • അതുകൊണ്ട്, നീലയും ചുവപ്പും ചന്ദ്രക്കലകളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുക ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരപ്പളവിന് തുല്യമാണ്.

8. ചിത്രത്തിൽ, AB-യും CD-യും വൃത്തത്തിൻ്റെ ലംബ ഞാണുകളാണ്: ചാപങ്ങളായ APC-യും BQD-യും ഒരുമിച്ച് ഒരു അർദ്ധവൃത്തം ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ഞാണുകൾ AB-യും CD-യും P എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിക്കുന്നു, AB, CD-ക്ക് ലംബമാണ്.
   • ചാപം(AC) + ചാപം(BD) = അർദ്ധവൃത്തം (180°) എന്ന് തെളിയിക്കണം.
   • തെളിവ്:
     1. വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ഞാണുകൾ പരസ്പരം ലംബമായി മുറിച്ചാൽ, ലംബ കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന ചാപങ്ങളുടെ കേന്ദ്ര കോണുകളുടെ തുക 180° ആയിരിക്കും.
     2. അതായത്, ∠APC = 90° ആയതുകൊണ്ട്, ചാപം AC-യുടെ കേന്ദ്ര കോണും ചാപം BD-യുടെ കേന്ദ്ര കോണും ചേർന്നാൽ 180° ആയിരിക്കും.
     3. മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, m(ചാപം AC) + m(ചാപം BD) = 180°.
     4. ഒരു വൃത്തത്തിലെ ചാപങ്ങളുടെ അളവ് അവയുടെ കേന്ദ്ര കോണുകൾക്ക് തുല്യമാണ്.
     5. അതുകൊണ്ട്, ചാപം AC-യും ചാപം BD-യും ഒരുമിച്ച് ഒരു അർദ്ധവൃത്തം ഉണ്ടാക്കുന്നു.
     6. ചോദ്യത്തിൽ "arcs APC and BQD" എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഞാണുകൾ AB, CD എന്നിവ വൃത്തത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന പ്രധാന ചാപങ്ങളെയാണ് (AC, BD). P, Q എന്നിവ ചാപങ്ങളിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുക്കളായിരിക്കും.

---

പേജ് 86/87 ചോദ്യങ്ങൾ (വൃത്തഖണ്ഡങ്ങൾ)

1. താഴെ കൊടുത്ത മൂന്ന് ചിത്രങ്ങളിലും, O വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രവും A, B, C എന്നിവ വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുമാണ്. ഓരോന്നിലും, ത്രികോണങ്ങളായ ABC-യുടെയും OBC-യുടെയും എല്ലാ കോണുകളും കണക്കാക്കുക:

   • തത്വങ്ങൾ:

     • ഒരു ചാപം കേന്ദ്രത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ, അതേ ചാപം വൃത്തത്തിൻ്റെ മറ്റു ഭാഗങ്ങളിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
     • OBC ത്രികോണം ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണമാണ്, കാരണം OB-യും OC-യും ആരങ്ങളാണ് (OB = OC). അതിനാൽ, ഈ വശങ്ങൾക്ക് എതിരെയുള്ള കോണുകൾ (∠OCB, ∠OBC) തുല്യമാണ്.
     • ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.

   • ചിത്രം 1: കേന്ദ്ര കോൺ ∠BOC = 120°

     • ത്രികോണം OBC:
       • OB = OC (ആരങ്ങൾ) => ∠OBC = ∠OCB.
       • ΔOBC യിലെ കോണുകളുടെ തുക = 180°.
       • 120° + 2(∠OBC) = 180° => 2(∠OBC) = 60° => ∠OBC = ∠OCB = 30°.
       • ΔOBC യുടെ കോണുകൾ: 120°, 30°, 30°.
     • ത്രികോണം ABC:
       • A-യിലെ കോൺ (∠BAC) അതേ ചാപം BC-ക്ക് അഭിമുഖമാണ്, കേന്ദ്ര കോൺ ∠BOC-ക്ക് തുല്യമാണ്.
       • ∠BAC = ∠BOC / 2 = 120° / 2 = 60°.
       • ∠ABC, ∠BCA എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. ചിത്രങ്ങൾ വ്യക്തമല്ലാത്തതിനാലും A-യുടെ സ്ഥാനം നിർവചിക്കാത്തതിനാലും ഈ കോണുകൾ കണ്ടെത്താൻ സാധ്യമല്ല.

   • ചിത്രം 2: കേന്ദ്ര കോൺ ∠BOC = 80°

     • ത്രികോണം OBC:
       • OB = OC (ആരങ്ങൾ) => ∠OBC = ∠OCB.
       • 80° + 2(∠OBC) = 180° => 2(∠OBC) = 100° => ∠OBC = ∠OCB = 50°.
       • ΔOBC യുടെ കോണുകൾ: 80°, 50°, 50°.
     • ത്രികോണം ABC:
       • ∠BAC = ∠BOC / 2 = 80° / 2 = 40°.
       • (∠ABC, ∠BCA എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്).

   • ചിത്രം 3: കേന്ദ്ര കോൺ ∠BOC = 260° (റിഫ്ലക്സ് കോൺ)

     • ഇതൊരു റിഫ്ലക്സ് കോണാണ്, അതിനാൽ ചെറിയ കേന്ദ്ര കോൺ 360° - 260° = 100° ആണ്.
     • ത്രികോണം OBC: (ത്രികോണത്തിന് ചെറിയ കോൺ ഉപയോഗിക്കുന്നു)
       • OB = OC (ആരങ്ങൾ) => ∠OBC = ∠OCB.
       • 100° + 2(∠OBC) = 180° => 2(∠OBC) = 80° => ∠OBC = ∠OCB = 40°.
       • ΔOBC യുടെ കോണുകൾ: 100°, 40°, 40°.
     • ത്രികോണം ABC:
       • ∠BAC ചെറിയ ചാപം BC-ക്ക് അഭിമുഖമാണ്. അതിനാൽ, ∠BAC = (360° - 260°) / 2 = 100° / 2 = 50°.
       • (∠ABC, ∠BCA എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്).

2. താഴെ കൊടുത്ത ഓരോ പ്രശ്നത്തിലും, ഒരു വൃത്തവും അതിനെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ഞാണും വരയ്ക്കണം. ഭാഗങ്ങൾ താഴെ പറയുന്നവ പോലെയായിരിക്കണം:

   • തത്വം: ഒരു വൃത്തത്തിൽ, ഒരേ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ തുല്യമാണ്; മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോൺ അതിൻ്റെ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ പകുതിയാണ്.
   • (i) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും 80° ആയിരിക്കണം.
     • ഇത് വലിയ വൃത്തഖണ്ഡം ആയിരിക്കട്ടെ. ഈ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ = 80°.
     • ചെറിയ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 80° = 160°.
     • വലിയ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 360° - 160° = 200°.
     • മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ (ചെറിയ വൃത്തഖണ്ഡം) കോണുകൾ = 180° - 80° = 100°.
     • ചെറിയ ചാപം 160° കേന്ദ്ര കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഒരു ഞാൺ വരയ്ക്കുക.
   • (ii) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും 110° ആയിരിക്കണം.
     • ഇത് വലിയ വൃത്തഖണ്ഡം ആയിരിക്കട്ടെ. ഈ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ = 110°.
     • ചെറിയ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 110° = 220°. (ഈ കോൺ 180°-ൽ കൂടുതലായതിനാൽ, 110° കോൺ ചെറിയ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണാണ്, അത് വലിയ ചാപത്തെയാണ് നിർവചിക്കുന്നത്).
     • അതുകൊണ്ട്, ചെറിയ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ 110° ആണ്.
     • വലിയ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 110° = 220°.
     • ചെറിയ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 360° - 220° = 140°.
     • മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ (വലിയ വൃത്തഖണ്ഡം) കോണുകൾ = 180° - 110° = 70°.
     • ചെറിയ ചാപം 140° കേന്ദ്ര കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഒരു ഞാൺ വരയ്ക്കുക.
   • (iii) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും മറ്റേ ഭാഗത്തിലെ കോണുകളുടെ പകുതിയായിരിക്കണം.
     • ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ x ഉം, മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ 2x ഉം ആയിരിക്കട്ടെ.
     • x + 2x = 180° എന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, 3x = 180° => x = 60°.
     • അതുകൊണ്ട്, ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ 60° ഉം, മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ 120° ഉം ആയിരിക്കും.
     • 60° കോണുകളുള്ള വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്: അതിൻ്റെ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 60° = 120°.
     • 120° കോണുകളുള്ള വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്: അതിൻ്റെ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 120° = 240°.
     • (പരിശോധിക്കുക: 120° + 240° = 360°).
     • ചെറിയ ചാപം 120° കേന്ദ്ര കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഒരു ഞാൺ വരയ്ക്കുക.
   • (iv) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും മറ്റേ ഭാഗത്തിലെ കോണുകളുടെ ഒന്നര മടങ്ങ് ആയിരിക്കണം.
     • ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ x ഉം, മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ 1.5x ഉം ആയിരിക്കട്ടെ.
     • x + 1.5x = 180° എന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, 2.5x = 180° => x = 180 / 2.5 = 72°.
     • അതുകൊണ്ട്, ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ 72° ഉം, മറു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ 1.5 × 72° = 108° ഉം ആയിരിക്കും.
     • 72° കോണുകളുള്ള വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്: അതിൻ്റെ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 72° = 144°.
     • 108° കോണുകളുള്ള വൃത്തഖണ്ഡത്തിന്: അതിൻ്റെ ചാപത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = 2 × 108° = 216°.
     • (പരിശോധിക്കുക: 144° + 216° = 360°).
     • ചെറിയ ചാപം 144° കേന്ദ്ര കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഒരു ഞാൺ വരയ്ക്കുക.

---

പേജ് 94/95/96/97 ചോദ്യങ്ങൾ (വൃത്തവും ചതുർഭുജവും)

1. താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചതുർഭുജത്തിൻ്റെ കോണുകളും അതിൻ്റെ വികർണ്ണങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണുകളും കണക്കാക്കുക.

   • ചിത്രം നൽകിയിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ, ഈ പ്രത്യേക ചതുർഭുജത്തിൻ്റെ കോണുകൾ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ പൊതുവായ ഗുണങ്ങൾ താഴെ പറയുന്നു:
   • തത്വം: ഒരു ചതുർഭുജത്തിൻ്റെ എല്ലാ മൂലകളും ഒരു വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആയിരിക്കും.
   • ചിത്രമില്ലാതെ, ചതുർഭുജത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകതകളോ കോണുകളോ നിർവചിക്കാൻ സാധ്യമല്ലാത്തതിനാൽ ഉത്തരവും സാധ്യമല്ല.

2. ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തിൽ, ഏതൊരു മൂലയിലെയും ബാഹ്യകോൺ അതിൻ്റെ എതിർ മൂലയിലെ ആന്തരിക കോണിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ABCD ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെന്ന് കരുതുക. BA എന്ന വശം E എന്ന ബിന്ദുവിലേക്ക് നീട്ടി, A എന്ന മൂലയിലെ ബാഹ്യകോൺ പരിഗണിക്കുക. ∠EAD = ∠BCD എന്ന് തെളിയിക്കണം.
   • തെളിവ്:
     1. ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തിൽ, എതിർ ആന്തരിക കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. അതിനാൽ, ∠BAD + ∠BCD = 180°.
     2. ∠EAD, ∠BAD എന്നിവ ഒരു രേഖീയ ജോഡിയാണ് (ഒരു നേർരേഖയിലെ കോണുകൾ). അതിനാൽ, ∠EAD + ∠BAD = 180°.
     3. (1) ഉം (2) ഉം താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ: ∠BAD + ∠BCD = ∠EAD + ∠BAD.
     4. രണ്ട് വശത്തുനിന്നും ∠BAD കുറയ്ക്കുമ്പോൾ: ∠BCD = ∠EAD.
     5. ഇത് ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തിൽ, ഏതൊരു മൂലയിലെയും ബാഹ്യകോൺ അതിൻ്റെ എതിർ മൂലയിലെ ആന്തരിക കോണിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു.

3. ഒരു ചതുരം അല്ലാത്ത ഒരു സാമാന്തരികം ചക്രീയമല്ല എന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • തെളിവ്:
     1. ഏതൊരു സാമാന്തരികത്തിലും, എതിർ കോണുകൾ തുല്യമാണ് (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).
     2. ഒരു ചതുർഭുജം ചക്രീയമാകണമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആയിരിക്കണം. അതിനാൽ, ഒരു സാമാന്തരികം ചക്രീയമാകണമെങ്കിൽ, ∠A + ∠C = 180° ഉം ∠B + ∠D = 180° ഉം ആയിരിക്കണം.
     3. ∠A = ∠C ആയതുകൊണ്ട്, 2∠A = 180° => ∠A = 90°.
     4. അതുപോലെ, ∠B = ∠D ആയതുകൊണ്ട്, 2∠B = 180° => ∠B = 90°.
     5. ഒരു സാമാന്തരികത്തിൻ്റെ ഒരു കോൺ (അല്ലെങ്കിൽ എല്ലാ കോണുകളും) 90° ആണെങ്കിൽ, അത് ഒരു ചതുരമാണ്.
     6. അതുകൊണ്ട്, ഒരു ചക്രീയ സാമാന്തരികം ഒരു ചതുരമായിരിക്കണം.
     7. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ചതുരം അല്ലാത്ത ഒരു സാമാന്തരികത്തിന് എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആകാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ അത് ചക്രീയമല്ല.

4. ഒരു സമപാർശ്വ ലംബകം അല്ലാത്ത ലംബകം ചക്രീയമല്ല എന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • തെളിവ്:
     1. ഒരു ലംബകത്തിൽ (trapezium), എതിർവശങ്ങളിൽ ഒരു ജോടി വശങ്ങൾ സമാന്തരമായിരിക്കും. ABCD ഒരു ലംബകം ആണെന്നും AB || CD ആണെന്നും കരുതുക.
     2. ഇതിനർത്ഥം സമാന്തര വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള അടുത്തടുത്ത കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. അതിനാൽ, ∠A + ∠D = 180° ഉം ∠B + ∠C = 180° ഉം ആണ്.
     3. ഒരു ലംബകം ചക്രീയമാകണമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആയിരിക്കണം. അതിനാൽ, ∠A + ∠C = 180° ഉം ∠B + ∠D = 180° ഉം ആയിരിക്കണം.
     4. (2) ഉം (3) ഉം താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ:
        • ∠A + ∠D = 180° ഉം ∠A + ∠C = 180° ഉം => ∠D = ∠C.
        • ∠B + ∠C = 180° ഉം ∠B + ∠D = 180° ഉം => ∠C = ∠D.
     5. ∠C = ∠D ആണെങ്കിൽ, സമാന്തരമല്ലാത്ത വശങ്ങളായ AD-യും BC-യും തുല്യമായിരിക്കണം (സമാന്തരമല്ലാത്ത വശങ്ങളുടെ പാദ കോണുകൾ തുല്യമാവുന്നത് സമപാർശ്വ ലംബകത്തിൽ മാത്രമാണ്).
     6. അതുകൊണ്ട്, ഒരു ലംബകം ചക്രീയമാകണമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ സമാന്തരമല്ലാത്ത വശങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത് അത് ഒരു സമപാർശ്വ ലംബകം ആയിരിക്കണം.
     7. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സമപാർശ്വ ലംബകം അല്ലാത്ത ലംബകം ചക്രീയമല്ല.

5. ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ, മൂലകൾ ഒരു വൃത്തത്തിലുള്ള ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം വരച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ രണ്ട് മൂലകൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ, മൂലകൾ ഒരു വൃത്തത്തിലുള്ള ഒരു സമചതുരം വരച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ രണ്ട് മൂലകൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ കണക്കാക്കുക.

   • ചിത്രം 1 (സമഭുജ ത്രികോണം):
     • ഒരു വൃത്തത്തിൽ വരച്ച ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം വൃത്തത്തെ മൂന്ന് തുല്യ ചാപങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, ഓരോന്നും 360°/3 = 120° കേന്ദ്ര കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നു.
     • അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ പരിധിയിലെ ഒരു കോണാണ്, അത് 120° ചാപത്തെ നിർവചിക്കുന്നു.
     • അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ = 120° / 2 = 60°.
   • ചിത്രം 2 (സമചതുരം):
     • ഒരു വൃത്തത്തിൽ വരച്ച ഒരു സമചതുരം വൃത്തത്തെ നാല് തുല്യ ചാപങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, ഓരോന്നും 360°/4 = 90° കേന്ദ്ര കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നു.
     • അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ പരിധിയിലെ ഒരു കോണാണ്, അത് 90° ചാപത്തെ നിർവചിക്കുന്നു.
     • അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ = 90° / 2 = 45°.

6. (i) താഴെ കൊടുത്ത ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ, P-യിലും Q-യിലും രണ്ട് വൃത്തങ്ങൾ സന്ധിക്കുന്നു. ഈ ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള വരകൾ വൃത്തങ്ങളെ A, B, C, D എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. വരകളായ AC-യും BD-യും സമാന്തരമല്ല. ഈ വരകൾക്ക് തുല്യ നീളമുണ്ടെങ്കിൽ, ABDC ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ചിത്രം വ്യക്തമല്ലാത്തതിനാൽ ഈ തെളിവ് കൃത്യമായി നൽകാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജം തെളിയിക്കാൻ, അതിൻ്റെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണെന്ന് കാണിക്കുകയാണ് വേണ്ടത്. "ഈ വരകൾക്ക് തുല്യ നീളമുണ്ടെങ്കിൽ (AC = BD)" എന്ന വ്യവസ്ഥ, ചക്രീയ സ്വഭാവത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക സമമിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുണ്ടാകാം.

   (ii) ചിത്രത്തിൽ, ഇടത്തും വലത്തുമുള്ള വൃത്തങ്ങൾ മധ്യഭാഗത്തെ വൃത്തത്തെ P, Q, R, S എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. ഇവയെ യോജിപ്പിക്കുന്ന വരകൾ ഇടത്തും വലത്തുമുള്ള വൃത്തങ്ങളെ A, B, C, D എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. ABDC ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ചിത്രമില്ലാതെ ഈ തെളിവ് കൃത്യമായി നൽകാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഈ പ്രശ്നം സാധാരണയായി മൂന്ന് വൃത്തങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നമാണ്. ഓരോ ചെറിയ വൃത്തത്തിലെയും ചക്രീയ ചതുർഭുജങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന ചതുർഭുജത്തെ ചക്രീയമാണെന്ന് തെളിയിക്കുകയാണ് ഇവിടെ ചെയ്യുന്നത്.

7. ചിത്രത്തിൽ, ABCD ചതുർഭുജത്തിൻ്റെ കോൺ സമഭാജികൾ P, Q, R, S എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. PQRS ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക. (സൂചന: ത്രികോണങ്ങളായ PCD-യുടെയും RAB-യുടെയും കോണുകളുടെ തുക ശ്രദ്ധിക്കുക).

   • ABCD ചതുർഭുജത്തിൻ്റെ കോണുകൾ A, B, C, D എന്നിരിക്കട്ടെ.
   • തെളിവ്:
     1. ABCD ചതുർഭുജത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക 360° ആണ്: A + B + C + D = 360°.
     2. ΔPCD പരിഗണിക്കുക. DP, ∠D-യുടെയും CP, ∠C-യുടെയും സമഭാജികളായതിനാൽ:
        • ∠PDC = D/2
        • ∠PCD = C/2
        • ∠CPD (അതായത് ∠P) = 180° - (D/2 + C/2) = 180° - (C+D)/2.
     3. ΔRAB പരിഗണിക്കുക. AR, ∠A-യുടെയും BR, ∠B-യുടെയും സമഭാജികളായതിനാൽ:
        • ∠RAB = A/2
        • ∠RBA = B/2
        • ∠ARB (അതായത് ∠R) = 180° - (A/2 + B/2) = 180° - (A+B)/2.
     4. PQRS ചതുർഭുജത്തിലെ എതിർ കോണുകളായ ∠P, ∠R എന്നിവയുടെ തുക കണ്ടെത്തുക:
        • ∠P + ∠R = (180° - (C+D)/2) + (180° - (A+B)/2)
        • = 360° - (A+B+C+D)/2.
        • A+B+C+D = 360° ആയതുകൊണ്ട്:
        • ∠P + ∠R = 360° - 360°/2 = 360° - 180° = 180°.
     5. അതുകൊണ്ട്, PQRS ചതുർഭുജത്തിലെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആയതിനാൽ, PQRS ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണ്.

8. ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ, ത്രികോണം ABC-യുടെ വശങ്ങളായ BC, CA, AB എന്നിവയിൽ യഥാക്രമം P, Q, R എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ത്രികോണങ്ങളായ AQR-ൻ്റെയും BRP-യുടെയും പരിവൃത്തങ്ങൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു. അവ ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ S എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിക്കുന്നു: ത്രികോണം CPQ-യുടെ പരിവൃത്തവും S-ലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എന്ന് രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെ പോലെ തെളിയിക്കുക. (സൂചന: ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ, PS, QS, RS എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക. എന്നിട്ട് S എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഉണ്ടാകുന്ന കോണുകളും ∠A, ∠B, ∠C എന്നിവയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക).

   • ഇതൊരു ക്ലാസിക് മിക്കൽ പോയിൻ്റ് (Miquel Point) സിദ്ധാന്തമാണ്.
   • തെളിവ്:
     1. AQR ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരിവൃത്തം A, Q, S, R എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ, AQSR ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണ്.
     2. അതുപോലെ, BRP ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരിവൃത്തം B, R, S, P എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ, BRSP ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണ്.
     3. ഇനി, നമുക്ക് CPQS ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കണം. അതിനായി ∠C + ∠PSQ = 180° എന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതി.
     4. ചക്രീയ ചതുർഭുജം AQSR-ൽ, എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. അതിനാൽ, ∠RSQ + ∠RAQ = 180°. അഥവാ ∠RSQ = 180° - ∠RAQ = 180° - ∠A (∠RAQ എന്നത് ത്രികോണം ABC യിലെ ∠A ആണ്).
     5. ചക്രീയ ചതുർഭുജം BRSP-ൽ, എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. അതിനാൽ, ∠RSP + ∠RBP = 180°. അഥവാ ∠RSP = 180° - ∠RBP = 180° - ∠B (∠RBP എന്നത് ത്രികോണം ABC യിലെ ∠B ആണ്).
     6. S എന്ന ബിന്ദുവിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണുകൾ പരിഗണിക്കുക: ∠PSQ + ∠RSP + ∠RSQ = 360° (ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണുകൾ).
     7. അതുകൊണ്ട്, ∠PSQ = 360° - (∠RSP + ∠RSQ)
        • ∠PSQ = 360° - ((180° - ∠B) + (180° - ∠A))
        • ∠PSQ = 360° - (180° - ∠B + 180° - ∠A)
        • ∠PSQ = 360° - (360° - ∠A - ∠B)
        • ∠PSQ = ∠A + ∠B.
     8. ഇനി, ചതുർഭുജം CPQS-ൽ എതിർ കോണുകളായ ∠C-യും ∠PSQ-യും പരിഗണിക്കുക.
        • ∠C + ∠PSQ = ∠C + (∠A + ∠B).
        • നമുക്കറിയാം, ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
        • അതുകൊണ്ട്, ∠C + ∠PSQ = 180°.
     9. ഒരു ചതുർഭുജത്തിലെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണെങ്കിൽ, അത് ചക്രീയ ചതുർഭുജമായിരിക്കും.
     10. അതിനാൽ, CPQS ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണ്. ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ത്രികോണം CPQ-യുടെ പരിവൃത്തവും S-ലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എന്നാണ്.

---

ഭാഗം 3: സമാന്തര ശ്രേണികളും ബീജഗണിതവും (Arithmetic Sequences and Algebra)

പേജ് 109/110 ചോദ്യങ്ങൾ (ബീജഗണിത രൂപം)

1. താഴെ കൊടുത്ത സമാന്തര ശ്രേണികളുടെ ബീജഗണിത രൂപം കണ്ടെത്തുക:

   • ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം xn = an + b ആണ്, ഇവിടെ 'a' പൊതു വ്യത്യാസവും 'b' = f - d (ആദ്യ പദം മൈനസ് പൊതു വ്യത്യാസം) ഉം ആണ്.
   • (i) 1, 6, 11, 16, ...
     • ആദ്യ പദം (f) = 1. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 6 - 1 = 5.
     • xn = 5n + (1 - 5) = 5n - 4.
   • (ii) 2, 7, 12, 17, ...
     • ആദ്യ പദം (f) = 2. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 7 - 2 = 5.
     • xn = 5n + (2 - 5) = 5n - 3.
   • (iii) 21, 32, 43, 54, ...
     • ആദ്യ പദം (f) = 21. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 32 - 21 = 11.
     • xn = 11n + (21 - 11) = 11n + 10.
   • (iv) 19, 28, 37, ...
     • ആദ്യ പദം (f) = 19. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 28 - 19 = 9.
     • xn = 9n + (19 - 9) = 9n + 10.
   • (v) 1/2, 1, 1 1/2, 2, 2 1/2, ...
     • ആദ്യ പദം (f) = 1/2. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 1 - 1/2 = 1/2.
     • xn = (1/2)n + (1/2 - 1/2) = (1/2)n.
   • (vi) 1/6, 1/3, 1/2, ... (പൊതുവായ ഛേദത്തിലേക്ക് മാറ്റുക: 1/6, 2/6, 3/6, ...)
     • ആദ്യ പദം (f) = 1/6. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 1/3 - 1/6 = 2/6 - 1/6 = 1/6.
     • xn = (1/6)n + (1/6 - 1/6) = (1/6)n.

2. താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില സമാന്തര ശ്രേണികളിലെ രണ്ട് പ്രത്യേക സ്ഥാനങ്ങളിലെ പദങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഓരോന്നിൻ്റെയും ബീജഗണിത രൂപം കണ്ടെത്തുക:

   • (i) 1-ാം പദം 5, 10-ാം പദം 23
     • f = 5.
     • 10-ാം പദം = f + 9d = 23.
     • 5 + 9d = 23 => 9d = 18 => d = 2.
     • xn = dn + (f - d) = 2n + (5 - 2) = 2n + 3.
   • (ii) 1-ാം പദം 5, 7-ാം പദം 23
     • f = 5.
     • 7-ാം പദം = f + 6d = 23.
     • 5 + 6d = 23 => 6d = 18 => d = 3.
     • xn = dn + (f - d) = 3n + (5 - 3) = 3n + 2.
   • (iii) 5-ാം പദം 10, 10-ാം പദം 5
     • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 5 - 10 = -5.
     • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 10 - 5 = 5.
     • d = -5 / 5 = -1.
     • 5-ാം പദം = f + 4d = 10.
     • f + 4(-1) = 10 => f - 4 = 10 => f = 14.
     • xn = dn + (f - d) = -1n + (14 - (-1)) = -n + 15.
   • (iv) 8-ാം പദം 2, 12-ാം പദം 8
     • പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 8 - 2 = 6.
     • സ്ഥാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 12 - 8 = 4.
     • d = 6 / 4 = 3/2.
     • 8-ാം പദം = f + 7d = 2.
     • f + 7(3/2) = 2 => f + 21/2 = 2 => f = 4/2 - 21/2 = -17/2.
     • xn = dn + (f - d) = (3/2)n + (-17/2 - 3/2) = (3/2)n - 20/2 = (3/2)n - 10.

3. ആദ്യ പദം 1/3-ഉം പൊതു വ്യത്യാസം 1/6-ഉം ആയ സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ എണ്ണൽ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ആദ്യ പദം (f) = 1/3. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 1/6.
   • ബീജഗണിത രൂപം: xn = dn + (f - d) = (1/6)n + (1/3 - 1/6) = (1/6)n + (2/6 - 1/6) = (1/6)n + 1/6.
   • അതുകൊണ്ട്, xn = (n+1)/6.
   • xn ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യ (k) ആകണമെങ്കിൽ, (n+1)/6 = k ആയിരിക്കണം.
   • ഇതിനർത്ഥം n+1 = 6k, അല്ലെങ്കിൽ n = 6k - 1.
   • k ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയാകാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ (1, 2, 3, ...), ഓരോ k-ക്കും ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയായ n കണ്ടെത്താൻ കഴിയും (n=5, 11, 17, ...).
   • ഉദാഹരണത്തിന്:
     • k=1 ആണെങ്കിൽ, n=5, x5 = (5+1)/6 = 1.
     • k=2 ആണെങ്കിൽ, n=11, x11 = (11+1)/6 = 2.
   • അതുകൊണ്ട്, ഈ ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ എണ്ണൽ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

4. ആദ്യ പദം 1/3-ഉം പൊതു വ്യത്യാസം 2/3-ഉം ആയ സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ ഒറ്റ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്നും, എന്നാൽ ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ഇല്ലെന്നും തെളിയിക്കുക.

   • ആദ്യ പദം (f) = 1/3. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 2/3.
   • ബീജഗണിത രൂപം: xn = dn + (f - d) = (2/3)n + (1/3 - 2/3) = (2/3)n - 1/3 = (2n-1)/3.
   • എല്ലാ ഒറ്റ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കാൻ: xn = k, ഇവിടെ k ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ.
     • (2n-1)/3 = k => 2n-1 = 3k.
     • k ഒറ്റ സംഖ്യയായതുകൊണ്ട്, 3k ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയായിരിക്കും (ഉദാ: k=1, 3k=3; k=3, 3k=9).
     • 2n ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയായതുകൊണ്ട്, 2n-1 എപ്പോഴും ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയായിരിക്കും.
     • അതുകൊണ്ട്, ഏതൊരു ഒറ്റ സംഖ്യ k ക്കും 2n-1 = 3k ആകാൻ എപ്പോഴും കഴിയും.
     • ഉദാഹരണത്തിന്: k=1 (ഒറ്റ), 2n-1 = 3 => 2n=4 => n=2. (x2 = (2*2-1)/3 = 3/3 = 1).
     • k=3 (ഒറ്റ), 2n-1 = 9 => 2n=10 => n=5. (x5 = (2*5-1)/3 = 9/3 = 3).
     • അതുകൊണ്ട്, ഈ ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ ഒറ്റ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
   • ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ഇല്ല എന്ന് തെളിയിക്കാൻ: xn = k, ഇവിടെ k ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ.
     • (2n-1)/3 = k => 2n-1 = 3k.
     • k ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, 3k ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കും (ഉദാ: k=2, 3k=6; k=4, 3k=12).
     • എന്നിരുന്നാലും, 2n-1 എപ്പോഴും ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്. ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യക്ക് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യക്ക് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല.
     • അതുകൊണ്ട്, ഈ ശ്രേണിയിൽ ഇരട്ട സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

5. 4, 7, 10, ... എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും വർഗ്ഗങ്ങൾ ആ ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ആദ്യ പദം (f) = 4. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 7 - 4 = 3.
   • ബീജഗണിത രൂപം: xn = dn + (f - d) = 3n + (4 - 3) = 3n + 1.
   • അതുകൊണ്ട്, ശ്രേണിയിലെ ഏതൊരു പദവും 3k + 1 രൂപത്തിലാണ് (ഇവിടെ k എന്നത് n ആണ്).
   • ഇനി ഏതൊരു പദത്തിൻ്റെയും വർഗ്ഗം പരിഗണിക്കുക: (3n + 1)^2.
   • (3n + 1)^2 = (3n)^2 + 2(3n)(1) + 1^2 = 9n^2 + 6n + 1.
   • ഇത് 3m + 1 രൂപത്തിലാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക (ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യ m-ന്).
   • 9n^2 + 6n + 1 = 3(3n^2 + 2n) + 1.
   • m = 3n^2 + 2n എന്ന് എടുക്കുക. n ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയായതുകൊണ്ട് (1, 2, 3, ...), 3n^2 + 2n-ഉം ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയായിരിക്കും.
   • n=1 ആണെങ്കിൽ, m=3(1)^2+2(1)=5. ആദ്യ പദത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം 4^2=16. 16 = 3(5)+1.
   • n=2 ആണെങ്കിൽ, m=3(2)^2+2(2)=12+4=16. രണ്ടാം പദത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം 7^2=49. 49 = 3(16)+1.
   • അതുകൊണ്ട്, ശ്രേണിയിലെ ഏതൊരു പദത്തിൻ്റെയും വർഗ്ഗം (3k+1 രൂപത്തിലുള്ളത്) 3m+1 രൂപത്തിലായിരിക്കും, അങ്ങനെ അത് ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദം കൂടിയാണ്.

6. 5, 8, 11, ... എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയിൽ ഒരു പൂർണ്ണ വർഗ്ഗവും അടങ്ങിയിട്ടില്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.

   • ആദ്യ പദം (f) = 5. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 8 - 5 = 3.
   • ബീജഗണിത രൂപം: xn = dn + (f - d) = 3n + (5 - 3) = 3n + 2.
   • അതുകൊണ്ട്, ഈ ശ്രേണിയിലെ ഏതൊരു പദവും 3k + 2 രൂപത്തിലാണ് (അതായത്, 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ശിഷ്ടം വരുന്നു).
   • ഇനി പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. ഏതൊരു പൂർണ്ണ സംഖ്യ m-നെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ മൂന്ന് രൂപങ്ങളിൽ ഒന്നായിരിക്കും ശിഷ്ടം:
     • m = 3q (ശിഷ്ടം 0)
     • m = 3q + 1 (ശിഷ്ടം 1)
     • m = 3q + 2 (ശിഷ്ടം 2)
   • ഈ രൂപങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ നോക്കുക:
     • m = 3q ആണെങ്കിൽ, m^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2). ഇതിന് 3k രൂപമാണ് (ശിഷ്ടം 0).
     • m = 3q + 1 ആണെങ്കിൽ, m^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1. ഇതിന് 3k + 1 രൂപമാണ് (ശിഷ്ടം 1).
     • m = 3q + 2 ആണെങ്കിൽ, m^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1. ഇതിന് 3k + 1 രൂപമാണ് (ശിഷ്ടം 1).
   • ഉപസംഹാരം: ഏതൊരു പൂർണ്ണ വർഗ്ഗത്തെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 0 അല്ലെങ്കിൽ 1 മാത്രമേ വരൂ.
   • 5, 8, 11, ... എന്ന ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ പദങ്ങളും 3k + 2 രൂപത്തിലായതുകൊണ്ട് (അവയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ശിഷ്ടം വരുന്നു), അവയ്ക്ക് പൂർണ്ണ വർഗ്ഗങ്ങളാകാൻ കഴിയില്ല.

---

പേജ് 112 ചോദ്യം (ക്രമരഹിതം, ചർച്ച)

എല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെയും ശ്രേണിയിൽ, ഓരോ പദത്തിൻ്റെയും വർഗ്ഗം ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദം കൂടിയാണ്. മറ്റ് കൃതികളുടെ കാര്യത്തിലോ? ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിലോ? ഓരോ പദത്തിൻ്റെയും കൃതികൾ ശ്രേണിയിലെ പദമാകുന്ന മറ്റ് സമാന്തര ശ്രേണികൾ ഉണ്ടോ?

• ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി: 2, 4, 6, ...
  • ബീജഗണിത രൂപം: xn = 2n.
  • ഒരു പദത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം (xn)^2 = (2n)^2 = 4n^2. ഇത് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ ഇത് ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദം കൂടിയാണ് (2n^2-ാം പദം). അതുകൊണ്ട്, ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാണ്.
  • മറ്റ് കൃതികൾ: (2n)^k. k >= 1 ആണെങ്കിൽ, ഇത് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കും. അതിനാൽ, ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ പൂർണ്ണ സംഖ്യാ കൃതികളും ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാണ്.
• ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി: 1, 3, 5, ...
  • ബീജഗണിത രൂപം: xn = 2n - 1.
  • ഒരു പദത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം (xn)^2 = (2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1 = 2(2n^2 - 2n) + 1. ഇതൊരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്. അതുകൊണ്ട്, ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാണ്.
  • മറ്റ് കൃതികൾ: (2n - 1)^k. k >= 1 ആണെങ്കിൽ, ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയുടെ ഏതൊരു പൂർണ്ണ സംഖ്യാ കൃതിയും ഒറ്റ സംഖ്യയായിരിക്കും. അതിനാൽ, ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ പൂർണ്ണ സംഖ്യാ കൃതികളും ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാണ്.
• ഓരോ പദത്തിൻ്റെയും കൃതികൾ ശ്രേണിയിലെ പദമാകുന്ന മറ്റ് സമാന്തര ശ്രേണികൾ ഉണ്ടോ?
  • പൊതുവായ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി xn = dn + (f-d) എന്ന് പരിഗണിക്കുക.
  • d=0 ആണെങ്കിൽ (സ്ഥിര ശ്രേണി, ഉദാ: 5, 5, 5, ...), അപ്പോൾ xn=f. f-ൻ്റെ ഏതൊരു കൃതിയും f തന്നെയാണെങ്കിൽ (f^k = f), f=0 അല്ലെങ്കിൽ f=1 ആയിരിക്കണം. (ഉദാ: 1, 1, 1, ...).
  • 4, 7, 10, ... (3n+1 രൂപം) എന്ന ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക. ഇതിലെ പദങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ പദങ്ങളാണെന്ന് നമ്മൾ തെളിയിച്ചു. ഘനങ്ങളുടെ (cubes) കാര്യത്തിലോ? (3n+1)^3 = 27n^3 + 27n^2 + 9n + 1 = 3(9n^3 + 9n^2 + 3n) + 1. ഇതും 3k+1 രൂപത്തിലാണ്. അതിനാൽ, ഘനങ്ങളും പദങ്ങളാണ്.
  • പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങൾ dn+r രൂപത്തിലാണെങ്കിൽ, r = 0 (ഉദാ: 2n, 3n) അല്ലെങ്കിൽ r = 1 (ഉദാ: 2n-1, 3n+1) ആണെങ്കിൽ, പദങ്ങളുടെ കൃതികളും ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാകാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. ഇതിന് കാരണം, (dk+r)^p mod d എന്നത് r^p mod d-ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും. r^p mod d = r ആണെങ്കിൽ, കൃതികളും പദങ്ങളായിരിക്കും. r=0 ആണെങ്കിൽ, 0^p mod d = 0. r=1 ആണെങ്കിൽ, 1^p mod d = 1. ഇവ സാധാരണ സാഹചര്യങ്ങളാണ്.

---

പേജ് 127/128/129 ചോദ്യങ്ങൾ (സമാന്തര ശ്രേണികളുടെ തുക)

1. താഴെ കൊടുത്ത സമാന്തര ശ്രേണികളുടെ തുക മനസ്സിൽ കണക്കാക്കുക:
   • തത്വം: n പദങ്ങളുടെ തുക = (n/2) * (ആദ്യ പദം + അവസാന പദം).
   • (i) 51 + 52 + 53 + ... + 70
     • ഇതൊരു തുടർച്ചയായ എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്.
     • പദങ്ങളുടെ എണ്ണം (n) = 70 - 51 + 1 = 20.
     • ആദ്യ പദം = 51, അവസാന പദം = 70.
     • തുക = (20/2) * (51 + 70) = 10 * 121 = 1210.
   • (ii) 1/2 + 1 + 1 1/2 + ... + 12 1/2
     • ശ്രേണി: 0.5, 1, 1.5, ..., 12.5.
     • ആദ്യ പദം (f) = 0.5. പൊതു വ്യത്യാസം (d) = 0.5.
     • അവസാന പദം (xn) = 12.5.
     • xn = f + (n-1)d => 12.5 = 0.5 + (n-1)0.5 => 12 = (n-1)0.5 => n-1 = 24 => n = 25.
     • പദങ്ങളുടെ എണ്ണം = 25.
     • തുക = (25/2) * (0.5 + 12.5) = (25/2) * 13 = 25 * 6.5 = 162.5.
   • (iii) 1/2 + 1 + 1 1/2 + 2 + 2 1/2 + ... + 12 1/2 (ഇത് (ii)-ന് സമാനമാണ്)
     • തുക: 162.5.
   • (iv) 1/101 + 3/101 + 5/101 + ... + 201/101
     • ഇത് (1/101) * (1 + 3 + 5 + ... + 201) ആണ്.
     • ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളിലെ ശ്രേണി (1, 3, 5, ..., 201) ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്.
     • n-ാമത്തെ ഒറ്റ സംഖ്യ 2n - 1 ആണ്. അതിനാൽ, 2n - 1 = 201 => 2n = 202 => n = 101.
     • ആദ്യ n ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുക n^2 ആണ്.
     • 1 + 3 + ... + 201 = 101^2 = 10201.
     • ആകെ തുക = (1/101) * 10201 = 101.

Part 1: Arithmetic Sequences

Page 11 Questions

1. We can make triangles by stacking dots: Write the number of dots in each triangle. Calculate the number of dots needed to make the next three triangles in this pattern.

    ◦ Number of dots in each triangle (as observed from the implied pattern):

        ▪ 1st triangle: 1 dot

        ▪ 2nd triangle: 1 + 2 = 3 dots

        ▪ 3rd triangle: 1 + 2 + 3 = 6 dots

        ▪ 4th triangle: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 dots

    ◦ This is the sequence of triangular numbers. The rule for the nth triangular number is n(n+1)/2.

    ◦ To calculate the number of dots for the next three triangles (5th, 6th, and 7th):

        ▪ 5th triangle: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 dots

        ▪ 6th triangle: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 dots

        ▪ 7th triangle: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 dots

2. From the sequence equilateral triangle, square, regular pentagon and so on of regular polygons, form the following sequences:

    ◦ Number of sides: The sequence starts with an equilateral triangle (3 sides), then a square (4 sides), then a regular pentagon (5 sides), and so on.

        ▪ Sequence: 3, 4, 5, 6, ...

    ◦ Sum of inner angles: The sum of inner angles of an n-sided polygon is (n-2) × 180°.

        ▪ Equilateral triangle (n=3): (3-2) × 180° = 180°

        ▪ Square (n=4): (4-2) × 180° = 360°

        ▪ Regular pentagon (n=5): (5-2) × 180° = 540°

        ▪ Sequence: 180, 360, 540, ...

    ◦ Sum of outer angles: For any polygon, the sum of its outer angles is 360°.

        ▪ Sequence: 360, 360, 360, ...

    ◦ An inner angle: For a regular n-sided polygon, an inner angle is (n-2) × 180° / n.

        ▪ Equilateral triangle (n=3): 180°/3 = 60°

        ▪ Square (n=4): 360°/4 = 90°

        ▪ Regular pentagon (n=5): 540°/5 = 108°

        ▪ Sequence: 60, 90, 108, ...

    ◦ An outer angle: For a regular n-sided polygon, an outer angle is 360° / n.

        ▪ Equilateral triangle (n=3): 360°/3 = 120°

        ▪ Square (n=4): 360°/4 = 90°

        ▪ Regular pentagon (n=5): 360°/5 = 72°

        ▪ Sequence: 120, 90, 72, ...

3. Write the sequence of natural numbers which leave remainder 1 on division by 3, and the sequence of natural numbers which leave remainder 2 on division by 3.

    ◦ Natural numbers which leave remainder 1 on division by 3:

        ▪ Starting from 1, these are numbers of the form 3k + 1.

        ▪ Sequence: 1, 4, 7, 10, ...

    ◦ Natural numbers which leave remainder 2 on division by 3:

        ▪ Starting from 2, these are numbers of the form 3k + 2.

        ▪ Sequence: 2, 5, 8, 11, ...

4. Write in ascending order, the sequence of natural numbers with last digit 1 or 6. Describe this sequence in two other ways.

    ◦ Sequence: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, ...

    ◦ Other descriptions:

        ▪ This sequence can be described as an arithmetic sequence starting with 1 and having a common difference of 5. (Each term is obtained by adding 5 to the previous term).

        ▪ This sequence can also be described as natural numbers which leave a remainder of 1 when divided by 5 (1, 6, 11, 16, 21, 26, ...) if considering numbers from 1, or numbers of the form 5n + 1 (for n = 0, 1, 2, ...).

5. See these figures: The first picture shows an equilateral triangle with the smaller triangle got by joining the midpoints of sides cut off. The second picture shows the same thing done on each of the three triangles in the first picture. The third picture shows the same thing done on the second picture. (i) How many red triangles are there in each picture? (ii) Taking the area of whole uncut triangle as 1, compute the area of a small triangle in each picture. (iii) What is the total area of all the red triangles in each picture? (iv) Write the first five terms of each of the three sequences got by continuing this process.

    ◦ (i) How many red triangles are there in each picture?

        ▪ Picture 1: 3 red triangles

        ▪ Picture 2: 3 × 3 = 9 red triangles

        ▪ Picture 3: 9 × 3 = 27 red triangles

        ▪ Sequence of number of red triangles: 3, 9, 27, 81, 243, ... (This is a geometric progression, powers of 3)

    ◦ (ii) Taking the area of whole uncut triangle as 1, compute the area of a small triangle in each picture.

        ▪ When midpoints are joined, an equilateral triangle is divided into 4 smaller congruent equilateral triangles. The central one is removed, leaving 3.

        ▪ Picture 1: The small red triangles are each 1/4 of the original triangle's area. So, area of one small red triangle = 1/4

        ▪ Picture 2: Each of the 3 large triangles from Picture 1 (each with area 1/4) is further divided. So, a small red triangle here is 1/4 of a 1/4 triangle. Area of one small red triangle = (1/4) * (1/4) = 1/16

        ▪ Picture 3: Area of one small red triangle = (1/4) * (1/16) = 1/64

        ▪ Sequence of area of one small red triangle: 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, 1/1024, ... (This is a geometric progression, powers of 1/4)

    ◦ (iii) What is the total area of all the red triangles in each picture?

        ▪ Picture 1: 3 (number of triangles) × 1/4 (area of each) = 3/4

        ▪ Picture 2: 9 (number of triangles) × 1/16 (area of each) = 9/16

        ▪ Picture 3: 27 (number of triangles) × 1/64 (area of each) = 27/64

        ▪ Sequence of total area of red triangles: 3/4, 9/16, 27/64, 81/256, 243/1024, ... (This is a geometric progression, powers of 3/4)

    ◦ (iv) Write the first five terms of each of the three sequences got by continuing this process.

        ▪ Number of red triangles: 3, 9, 27, 81, 243

        ▪ Area of a small triangle: 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, 1/1024

        ▪ Total area of red triangles: 3/4, 9/16, 27/64, 81/256, 243/1024

--------------------------------------------------------------------------------

Page 25/26 Questions

1. Check whether each of the sequences given below are arithmetic sequences. Give reasons also. Find the common differences of the arithmetic sequences:

    ◦ (i) Natural numbers leaving remainder 1 on division by 4

        ▪ Sequence: 1, 5, 9, 13, ...

        ▪ Differences: 5-1=4, 9-5=4, 13-9=4.

        ▪ It is an arithmetic sequence.

        ▪ Reason: The difference between consecutive terms is constant (4).

        ▪ Common difference: 4

    ◦ (ii) Natural numbers leaving remainder 1 or 2 on division by 4

        ▪ Sequence: 1, 2, 5, 6, 9, 10, ...

        ▪ Differences: 2-1=1, 5-2=3, 6-5=1, 9-6=3.

        ▪ It is not an arithmetic sequence.

        ▪ Reason: The difference between consecutive terms is not constant.

    ◦ (iii) Squares of natural numbers

        ▪ Sequence: 1, 4, 9, 16, 25, ...

        ▪ Differences: 4-1=3, 9-4=5, 16-9=7.

        ▪ It is not an arithmetic sequence.

        ▪ Reason: The difference between consecutive terms is not constant.

    ◦ (iv) Reciprocals of natural numbers

        ▪ Sequence: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

        ▪ Differences: 1/2 - 1 = -1/2, 1/3 - 1/2 = -1/6.

        ▪ It is not an arithmetic sequence.

        ▪ Reason: The difference between consecutive terms is not constant.

    ◦ (v) Powers of 2

        ▪ Sequence: 2, 4, 8, 16, 32, ...

        ▪ Differences: 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8.

        ▪ It is not an arithmetic sequence.

        ▪ Reason: The difference between consecutive terms is not constant.

    ◦ (vi) Half of the odd numbers

        ▪ Sequence: 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, ...

        ▪ Differences: 3/2 - 1/2 = 1, 5/2 - 3/2 = 1, 7/2 - 5/2 = 1.

        ▪ It is an arithmetic sequence.

        ▪ Reason: The difference between consecutive terms is constant (1).

        ▪ Common difference: 1

2. See these pictures: (Picture shows a pattern of squares, starting with 1 small square, then 2x2 large square made of 4 small squares, then 3x3 large square made of 9 small squares, with some red coloring that highlights smaller squares.) (i) How many small squares are there in each picture? (ii) How many large squares? (iii) How many squares in all in each picture? If we continue the pattern of pictures, are the sequences above arithmetic sequences?

    ◦ Interpretation of the figures: The problem likely refers to patterns where a larger square is formed by smaller unit squares, and then some "large squares" are identified within that grid.

        ▪ Picture 1 (1x1 grid): 1 small square. 1 large square (itself). Total = 1.

        ▪ Picture 2 (2x2 grid): 4 small squares. 1 large square (the 2x2 grid itself). Total = 4+1=5.

        ▪ Picture 3 (3x3 grid): 9 small squares. 4 large squares (four 2x2 squares) + 1 large square (the 3x3 grid itself). Total = 9+4+1=14.

        ▪ The red colouring in the source actually seems to indicate parts of a Sierpinski-like pattern, which doesn't fit the 'small squares', 'large squares' question easily. However, assuming it follows the standard "sum of squares" pattern (1, 1+4=5, 1+4+9=14 for "squares in all"), then:

    ◦ (i) How many small squares are there in each picture?

        ▪ Picture 1: 1

        ▪ Picture 2: 4

        ▪ Picture 3: 9

        ▪ Sequence: 1, 4, 9, ... (Squares of natural numbers)

    ◦ (ii) How many large squares? (This is ambiguous; interpreting as the total unique squares of side length > 1, or just the largest square) If it means only the largest possible square in the image:

        ▪ Picture 1: 1 (The 1x1 square)

        ▪ Picture 2: 1 (The 2x2 square)

        ▪ Picture 3: 1 (The 3x3 square)

        ▪ Sequence: 1, 1, 1, ...

    ◦ (iii) How many squares in all in each picture? (Sum of squares of different sizes)

        ▪ Picture 1: 1 (1x1 square) = 1

        ▪ Picture 2: 4 (1x1 squares) + 1 (2x2 square) = 5

        ▪ Picture 3: 9 (1x1 squares) + 4 (2x2 squares) + 1 (3x3 square) = 14

        ▪ Sequence: 1, 5, 14, ...

    ◦ If we continue the pattern of pictures, are the sequences above arithmetic sequences?

        ▪ Sequence (i) (Small squares): 1, 4, 9, ... Differences: 3, 5. Not an arithmetic sequence.

        ▪ Sequence (ii) (Largest square only): 1, 1, 1, ... Differences: 0, 0. Yes, it is an arithmetic sequence with common difference 0.

        ▪ Sequence (iii) (Squares in all): 1, 5, 14, ... Differences: 4, 9. Not an arithmetic sequence.

3. In the picture below, the perpendiculars drawn from the bottom line are equally spaced. Show that the sequence of the heights of the perpendiculars, on continuing this, form an arithmetic sequence. (Hint: Draw perpendiculars from the top of each perpendicular to the next perpendicular)

    ◦ Proof: Let the first perpendicular have height h1 and subsequent perpendiculars be h2, h3, .... Let the equal spacing between the perpendiculars be d.

    ◦ Consider the right triangles formed by the perpendiculars and the horizontal line segments connecting their tops, as suggested by the hint. Since the bottom line and the top line (which connects the tops of the perpendiculars, likely forming a straight line) are straight, and the perpendiculars are parallel, the smaller triangles formed by consecutive perpendiculars and the line connecting their tops will be similar triangles.

    ◦ Alternatively, consider the geometry: if the perpendiculars are equally spaced along the base, and they extend to a straight line (the top boundary), then the increase (or decrease) in height from one perpendicular to the next will be constant. This is because the overall shape formed by the perpendiculars and the top line is a trapezium (or a rectangle/triangle if the top line is horizontal or passes through the base).

    ◦ Let the base be along the x-axis, and the heights be y-coordinates. If the perpendiculars are at x-coordinates x0, x0+d, x0+2d, ..., and their tops lie on a line y = mx + c. Then the heights are y0, y1, y2, ... where yn = m(x0 + nd) + c = (mx0 + c) + mn*d. This is of the form A + nB, which is the algebraic form of an arithmetic sequence with first term A and common difference B.

    ◦ Therefore, the heights form an arithmetic sequence.

    ◦ Common difference: The common difference will be the vertical change for each horizontal step, which is constant because the perpendiculars are equally spaced and their tops form a line segment. This difference is determined by the slope of the line connecting the tops of the perpendiculars multiplied by the equal spacing d.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 30/31 Questions

The two terms in specific positions of some arithmetic sequences are given below. Write the first five terms of each:

• Let the first term be f and the common difference be d. The nth term is given by f + (n-1)d.

    ◦ (i) 3rd term 34, 6th term 67

        ▪ The difference in terms is 67 - 34 = 33.

        ▪ The difference in positions is 6 - 3 = 3.

        ▪ Common difference (d) = 33 / 3 = 11.

        ▪ To find the first term (f): 3rd term = f + (3-1)d = f + 2d.

        ▪ 34 = f + 2(11) => 34 = f + 22 => f = 34 - 22 = 12.

        ▪ First five terms: 12, 12+11, 23+11, 34+11, 45+11

        ▪ Sequence: 12, 23, 34, 45, 56

    ◦ (ii) 3rd term 43, 6th term 76

        ▪ Difference in terms: 76 - 43 = 33.

        ▪ Difference in positions: 6 - 3 = 3.

        ▪ Common difference (d) = 33 / 3 = 11.

        ▪ First term (f): 43 = f + 2(11) => 43 = f + 22 => f = 43 - 22 = 21.

        ▪ First five terms: 21, 32, 43, 54, 65

        ▪ Sequence: 21, 32, 43, 54, 65

    ◦ (iii) 3rd term 2, 5th term 3

        ▪ Difference in terms: 3 - 2 = 1.

        ▪ Difference in positions: 5 - 3 = 2.

        ▪ Common difference (d) = 1 / 2 = 1/2.

        ▪ First term (f): 2 = f + 2(1/2) => 2 = f + 1 => f = 2 - 1 = 1.

        ▪ First five terms: 1, 1+1/2, 1.5+1/2, 2+1/2, 2.5+1/2

        ▪ Sequence: 1, 1 1/2, 2, 2 1/2, 3

    ◦ (iv) 5th term 8, 9th term 10

        ▪ Difference in terms: 10 - 8 = 2.

        ▪ Difference in positions: 9 - 5 = 4.

        ▪ Common difference (d) = 2 / 4 = 1/2.

        ▪ First term (f): 8 = f + 4(1/2) => 8 = f + 2 => f = 8 - 2 = 6.

        ▪ First five terms: 6, 6+1/2, 7+1/2, 8+1/2, 9+1/2

        ▪ Sequence: 6, 6 1/2, 7, 7 1/2, 8

    ◦ (v) 5th term 7, 7th term 5

        ▪ Difference in terms: 5 - 7 = -2.

        ▪ Difference in positions: 7 - 5 = 2.

        ▪ Common difference (d) = -2 / 2 = -1.

        ▪ First term (f): 7 = f + 4(-1) => 7 = f - 4 => f = 7 + 4 = 11.

        ▪ First five terms: 11, 11-1, 10-1, 9-1, 8-1

        ▪ Sequence: 11, 10, 9, 8, 7

--------------------------------------------------------------------------------

Page 36 Questions

1. What is the 25th term of the arithmetic sequence 1, 11, 21, ... ?

    ◦ First term (f) = 1.

    ◦ Common difference (d) = 11 - 1 = 10.

    ◦ The nth term of an arithmetic sequence is given by xn = f + (n-1)d.

    ◦ 25th term = 1 + (25-1) * 10 = 1 + 24 * 10 = 1 + 240 = 241.

2. The 10th term of an arithmetic sequence is 46 and its 11th term is 51. (i) What is its first term? (ii) Write the first five terms of the sequence.

    ◦ (i) What is its first term?

        ▪ Common difference (d) = 11th term - 10th term = 51 - 46 = 5.

        ▪ 10th term = f + (10-1)d = f + 9d.

        ▪ 46 = f + 9(5) => 46 = f + 45 => f = 46 - 45 = 1.

    ◦ (ii) Write the first five terms of the sequence.

        ▪ Sequence: 1, 1+5, 6+5, 11+5, 16+5

        ▪ Sequence: 1, 6, 11, 16, 21

3. What is the 21st term of the arithmetic sequence 100, 95, 90, ...?

    ◦ First term (f) = 100.

    ◦ Common difference (d) = 95 - 100 = -5.

    ◦ 21st term = f + (21-1)d = 100 + 20 * (-5) = 100 - 100 = 0.

4. The 10th term of an arithmetic sequence is 56 and its 11th term is 51. (i) What is its first term ? (ii) Write the first five terms of the sequence.

    ◦ (i) What is its first term?

        ▪ Common difference (d) = 11th term - 10th term = 51 - 56 = -5.

        ▪ 10th term = f + 9d.

        ▪ 56 = f + 9(-5) => 56 = f - 45 => f = 56 + 45 = 101.

    ◦ (ii) Write the first five terms of the sequence.

        ▪ Sequence: 101, 101-5, 96-5, 91-5, 86-5

        ▪ Sequence: 101, 96, 91, 86, 81

--------------------------------------------------------------------------------

Page 43/44 Questions

1. The 3rd term of an arithmetic sequence is 15 and the 8th term is 35. (i) What is its 13th term? (ii) What is its 23rd term?

    ◦ Difference in terms = 35 - 15 = 20.

    ◦ Difference in positions = 8 - 3 = 5.

    ◦ Common difference (d) = 20 / 5 = 4.

    ◦ (i) What is its 13th term?

        ▪ Position change from 8th to 13th = 13 - 8 = 5 positions.

        ▪ Increase in term = 5 * d = 5 * 4 = 20.

        ▪ 13th term = 8th term + 20 = 35 + 20 = 55.

    ◦ (ii) What is its 23rd term?

        ▪ Position change from 13th to 23rd = 23 - 13 = 10 positions.

        ▪ Increase in term = 10 * d = 10 * 4 = 40.

        ▪ 23rd term = 13th term + 40 = 55 + 40 = 95.

2. The 5th term of an arithmetic sequence is 21 and the 9th term is 41. (i) What is its first term? (ii) What is its 3rd term?

    ◦ Difference in terms = 41 - 21 = 20.

    ◦ Difference in positions = 9 - 5 = 4.

    ◦ Common difference (d) = 20 / 4 = 5.

    ◦ (i) What is its first term?

        ▪ Position change from 5th to 1st = 5 - 1 = 4 positions (backward).

        ▪ Decrease in term = 4 * d = 4 * 5 = 20.

        ▪ 1st term = 5th term - 20 = 21 - 20 = 1.

    ◦ (ii) What is its 3rd term?

        ▪ Position change from 1st to 3rd = 3 - 1 = 2 positions.

        ▪ Increase in term = 2 * d = 2 * 5 = 10.

        ▪ 3rd term = 1st term + 10 = 1 + 10 = 11.

3. The 4th term of an arithmetic sequence is 61 and the 7th term is 31. (i) What is its 10th term? (ii) What is its first term?

    ◦ Difference in terms = 31 - 61 = -30.

    ◦ Difference in positions = 7 - 4 = 3.

    ◦ Common difference (d) = -30 / 3 = -10.

    ◦ (i) What is its 10th term?

        ▪ Position change from 7th to 10th = 10 - 7 = 3 positions.

        ▪ Change in term = 3 * d = 3 * (-10) = -30.

        ▪ 10th term = 7th term - 30 = 31 - 30 = 1.

    ◦ (ii) What is its first term?

        ▪ Position change from 4th to 1st = 4 - 1 = 3 positions (backward).

        ▪ Change in term = 3 * d = 3 * (-10) = -30.

        ▪ 1st term = 4th term - (-30) = 61 + 30 = 91.

4. The 5th term of an arithmetic sequence is 10 and the 10th term is 5. (i) What is its 15th term? (ii) What is its 25th term?

    ◦ Difference in terms = 5 - 10 = -5.

    ◦ Difference in positions = 10 - 5 = 5.

    ◦ Common difference (d) = -5 / 5 = -1.

    ◦ (i) What is its 15th term?

        ▪ Position change from 10th to 15th = 15 - 10 = 5 positions.

        ▪ Change in term = 5 * d = 5 * (-1) = -5.

        ▪ 15th term = 10th term - 5 = 5 - 5 = 0.

    ◦ (ii) What is its 25th term?

        ▪ Position change from 15th to 25th = 25 - 15 = 10 positions.

        ▪ Change in term = 10 * d = 10 * (-1) = -10.

        ▪ 25th term = 15th term - 10 = 0 - 10 = -10.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 45/46/47 Questions (Term Checking)

Original sequence referenced: 19, 28, 37, ... Common difference is 9. Algebraic form: xn = 9n + 10.

• Now check whether 10000 is a term of this sequence [19, 28, 37, ...], and if so find its position.

    ◦ For a number to be a term, the difference between it and the first term must be a multiple of the common difference.

    ◦ Difference = 10000 - 19 = 9981.

    ◦ Check if 9981 is a multiple of 9: 9981 / 9 = 1109.

    ◦ Since it is a multiple, 10000 is a term of the sequence.

    ◦ Position (n): 10000 = 9n + 10 => 9n = 9990 => n = 9990 / 9 = 1110.

1. Is 101 a term of the arithmetic sequence 13, 24, 35, ...? What about 1001?

    ◦ First term (f) = 13. Common difference (d) = 24 - 13 = 11.

    ◦ For 101:

        ▪ Difference = 101 - 13 = 88.

        ▪ Is 88 a multiple of 11? Yes, 88 / 11 = 8.

        ▪ 101 is a term of the sequence. (Position = 8 + 1 = 9th term)

    ◦ For 1001:

        ▪ Difference = 1001 - 13 = 988.

        ▪ Is 988 a multiple of 11? 988 / 11 = 89.81... (not a whole number).

        ▪ 1001 is not a term of the sequence.

2. In the table below, some arithmetic sequences are given and two numbers against each. Check whether the numbers are terms of the respective sequences:

    ◦ Sequence: 11, 22, 33, ... (f=11, d=11)

        ▪ 123: 123 - 11 = 112. 112 / 11 = 10.18... No.

        ▪ 132: 132 - 11 = 121. 121 / 11 = 11. Yes.

    ◦ Sequence: 12, 23, 34, ... (f=12, d=11)

        ▪ 100: 100 - 12 = 88. 88 / 11 = 8. Yes.

        ▪ 1000: 1000 - 12 = 988. 988 / 11 = 89.81... No.

    ◦ Sequence: 21, 32, 43, ... (f=21, d=11)

        ▪ 100: 100 - 21 = 79. 79 / 11 = 7.18... No.

        ▪ 1000: 1000 - 21 = 979. 979 / 11 = 89. Yes.

    ◦ Sequence: 1/4, 1/2, 3/4, ... (f=1/4, d=1/4)

        ▪ 3/4: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2. (1/2) / (1/4) = 2. Yes.

        ▪ 1: 1 - 1/4 = 3/4. (3/4) / (1/4) = 3. Yes.

    ◦ Sequence: 3/4, 1, 1 1/4, ... (f=3/4, d=1/4)

        ▪ 3/4: 3/4 - 3/4 = 0. 0 / (1/4) = 0. Yes. (It's the first term)

        ▪ 2 1/2: 2 1/2 - 3/4 = 5/2 - 3/4 = 10/4 - 3/4 = 7/4. (7/4) / (1/4) = 7. Yes.

3. In the table above, find the position of the numbers that are terms of the respective sequences.

    ◦ Position (n) = (Number - First term) / Common difference + 1.

    ◦ Sequence: 11, 22, 33, ... (f=11, d=11)

        ▪ 132: (132 - 11) / 11 + 1 = 121 / 11 + 1 = 11 + 1 = 12th term.

    ◦ Sequence: 12, 23, 34, ... (f=12, d=11)

        ▪ 100: (100 - 12) / 11 + 1 = 88 / 11 + 1 = 8 + 1 = 9th term.

    ◦ Sequence: 21, 32, 43, ... (f=21, d=11)

        ▪ 1000: (1000 - 21) / 11 + 1 = 979 / 11 + 1 = 89 + 1 = 90th term.

    ◦ Sequence: 1/4, 1/2, 3/4, ... (f=1/4, d=1/4)

        ▪ 3/4: (3/4 - 1/4) / (1/4) + 1 = (2/4) / (1/4) + 1 = 2 + 1 = 3rd term.

        ▪ 1: (1 - 1/4) / (1/4) + 1 = (3/4) / (1/4) + 1 = 3 + 1 = 4th term.

    ◦ Sequence: 3/4, 1, 1 1/4, ... (f=3/4, d=1/4)

        ▪ 3/4: (3/4 - 3/4) / (1/4) + 1 = 0 + 1 = 1st term.

        ▪ 2 1/2: (2 1/2 - 3/4) / (1/4) + 1 = (7/4) / (1/4) + 1 = 7 + 1 = 8th term.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 56/57 Questions (Term Connections)

1. The 4th term of an arithmetic sequence is 8. (i) Find the sum of the pairs of terms given below: (a) 3rd and 5th (b) 2nd and 6th (c) 1st and 7th (ii) What is the sum of the 3rd, 4th and the 5th terms? (iii) What is the sum of the 5 terms from the 2nd to the 6th? (iv) What is the sum of the 7 terms from the 1st to the 7th?

    ◦ (i) Find the sum of the pairs of terms given below:

        ▪ In an arithmetic sequence, the sum of two terms equidistant from a central term is twice the central term.

        ▪ (a) 3rd and 5th: The 4th term is the middle term of the 3rd, 4th, 5th terms.

            • Sum = 2 × 4th term = 2 × 8 = 16.

        ▪ (b) 2nd and 6th: The 4th term is equidistant from the 2nd (2 positions before) and 6th (2 positions after).

            • Sum = 2 × 4th term = 2 × 8 = 16.

        ▪ (c) 1st and 7th: The 4th term is equidistant from the 1st (3 positions before) and 7th (3 positions after).

            • Sum = 2 × 4th term = 2 × 8 = 16.

    ◦ (ii) What is the sum of the 3rd, 4th and the 5th terms?

        ▪ This is an odd number of consecutive terms (3 terms). The sum is the product of the middle term (4th term) and the number of terms.

        ▪ Sum = 4th term × 3 = 8 × 3 = 24.

    ◦ (iii) What is the sum of the 5 terms from the 2nd to the 6th?

        ▪ The terms are 2nd, 3rd, 4th, 5th, 6th. This is an odd number of consecutive terms (5 terms). The middle term is the 4th term.

        ▪ Sum = 4th term × 5 = 8 × 5 = 40.

    ◦ (iv) What is the sum of the 7 terms from the 1st to the 7th?

        ▪ The terms are 1st, 2nd, 3rd, 4th, 5th, 6th, 7th. This is an odd number of consecutive terms (7 terms). The middle term is the 4th term.

        ▪ Sum = 4th term × 7 = 8 × 7 = 56.

2. The common difference of an arithmetic sequence is 2 and the sum of the 9th, 10th and 11th terms is 90. Calculate the first three terms of the sequence.

    ◦ The sum of 3 consecutive terms is 3 times the middle term.

    ◦ 10th term (middle term) = 90 / 3 = 30.

    ◦ Common difference (d) = 2.

    ◦ To find the 9th term: 10th term - d = 30 - 2 = 28.

    ◦ To find the 11th term: 10th term + d = 30 + 2 = 32.

    ◦ To find the 1st term: 10th term = f + (10-1)d = f + 9d.

    ◦ 30 = f + 9(2) => 30 = f + 18 => f = 30 - 18 = 12.

    ◦ The first three terms are:

        ▪ 1st term: 12

        ▪ 2nd term: 12 + 2 = 14

        ▪ 3rd term: 14 + 2 = 16

    ◦ Sequence: 12, 14, 16

--------------------------------------------------------------------------------

Page 58/59 Questions (Sums)

1. Write three arithmetic sequences with the sum of the first 7 terms as 70.

    ◦ The sum of an odd number of consecutive terms is the product of the middle term and the number of terms.

    ◦ For 7 terms, the middle term is the 4th term.

    ◦ 4th term = Sum / Number of terms = 70 / 7 = 10.

    ◦ Now, we need to choose different common differences (d) to create different sequences, ensuring the 4th term is 10.

    ◦ The 1st term (f) = 4th term - (4-1)d = 10 - 3d.

    ◦ Sequence 1 (Choose d=0):

        ▪ f = 10 - 3(0) = 10.

        ▪ Sequence: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10

    ◦ Sequence 2 (Choose d=1):

        ▪ f = 10 - 3(1) = 7.

        ▪ Sequence: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

    ◦ Sequence 3 (Choose d=2):

        ▪ f = 10 - 3(2) = 4.

        ▪ Sequence: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

2. The sum of the first 3 terms of an arithmetic sequence is 30 and the sum of the first 7 terms is 140. (i) What is the 2nd term of the sequence? (ii) What is the 4th term of the sequence? (iii) What are the first three terms of the sequence?

    ◦ Let the sequence be x1, x2, x3, ...

    ◦ (i) What is the 2nd term of the sequence?

        ▪ Sum of first 3 terms = x1 + x2 + x3 = 30.

        ▪ Since there are 3 terms (odd number), the middle term is the 2nd term.

        ▪ 2nd term (x2) = 30 / 3 = 10.

    ◦ (ii) What is the 4th term of the sequence?

        ▪ Sum of first 7 terms = x1 + ... + x7 = 140.

        ▪ Since there are 7 terms (odd number), the middle term is the 4th term.

        ▪ 4th term (x4) = 140 / 7 = 20.

    ◦ (iii) What are the first three terms of the sequence?

        ▪ We have x2 = 10 and x4 = 20.

        ▪ Difference in terms = 20 - 10 = 10.

        ▪ Difference in positions = 4 - 2 = 2.

        ▪ Common difference (d) = 10 / 2 = 5.

        ▪ 1st term (x1) = x2 - d = 10 - 5 = 5.

        ▪ 3rd term (x3) = x2 + d = 10 + 5 = 15.

        ▪ The first three terms are: 5, 10, 15.

3. The sum of the first five terms of an arithmetic sequence is 150, and the sum of the first ten terms is 550. (i) What is the third term of the sequence? (ii) What is the eighth term of the sequence? (iii) Write the first three terms of the sequence.

    ◦ (i) What is the third term of the sequence?

        ▪ Sum of first 5 terms (S5) = 150.

        ▪ Middle term is the 3rd term (x3).

        ▪ x3 = S5 / 5 = 150 / 5 = 30.

    ◦ (ii) What is the eighth term of the sequence?

        ▪ Let S10 be the sum of the first 10 terms. S10 = 550.

        ▪ S10 = (10/2) * (x1 + x10) = 5(x1 + x10) = 550.

        ▪ So, x1 + x10 = 110.

        ▪ We know x1 + x10 = x2 + x9 = x3 + x8 = x4 + x7 = x5 + x6 = 110 (property of sums of terms equidistant from center in an arithmetic sequence).

        ▪ Since x3 = 30, then x3 + x8 = 110 => 30 + x8 = 110 => x8 = 110 - 30 = 80.

    ◦ (iii) Write the first three terms of the sequence.

        ▪ We have x3 = 30 and x8 = 80.

        ▪ Difference in terms = 80 - 30 = 50.

        ▪ Difference in positions = 8 - 3 = 5.

        ▪ Common difference (d) = 50 / 5 = 10.

        ▪ To find x1: x3 = x1 + 2d => 30 = x1 + 2(10) => 30 = x1 + 20 => x1 = 10.

        ▪ The first three terms are: 10, 10+10, 20+10

        ▪ Sequence: 10, 20, 30.

4. The sum of the 11th and 21st terms of an arithmetic sequence is 80. What is the 16th term?

    ◦ In an arithmetic sequence, the sum of two terms equidistant from a central term is twice the central term.

    ◦ The 16th term is exactly in the middle of the 11th and 21st terms because (11 + 21) / 2 = 32 / 2 = 16.

    ◦ So, the 16th term = (Sum of 11th and 21st terms) / 2 = 80 / 2 = 40.

5. The angles of a pentagon are in arithmetic sequence. (i) If the angles are written according to their magnitude, what would be the third angle? (ii) If the smallest angle is 40°, what are the other angles? (iii) Can the smallest angle be 36°?

    ◦ The sum of the interior angles of an n-sided polygon is (n-2) × 180°. For a pentagon (n=5): (5-2) × 180° = 3 × 180° = 540°.

    ◦ (i) If the angles are written according to their magnitude, what would be the third angle?

        ▪ A pentagon has 5 angles. If they are in an arithmetic sequence, and written in order, the third angle is the middle term.

        ▪ The sum of 5 consecutive terms is 5 times the middle term.

        ▪ Third angle = Total sum of angles / 5 = 540° / 5 = 108°.

    ◦ (ii) If the smallest angle is 40°, what are the other angles?

        ▪ Let the angles be x1, x2, x3, x4, x5. We know x1 = 40° and x3 = 108°.

        ▪ x3 = x1 + 2d => 108 = 40 + 2d => 2d = 68 => d = 34°.

        ▪ The angles are:

            • 1st: 40°

            • 2nd: 40° + 34° = 74°

            • 3rd: 74° + 34° = 108°

            • 4th: 108° + 34° = 142°

            • 5th: 142° + 34° = 176°

        ▪ The angles are 40°, 74°, 108°, 142°, 176°.

        ▪ (Check sum: 40 + 74 + 108 + 142 + 176 = 540°).

    ◦ (iii) Can the smallest angle be 36°?

        ▪ If the smallest angle (x1) = 36°, and the third angle (x3) is always 108° (from part i).

        ▪ x3 = x1 + 2d => 108 = 36 + 2d => 2d = 72 => d = 36°.

        ▪ The angles would be:

            • 1st: 36°

            • 2nd: 36° + 36° = 72°

            • 3rd: 72° + 36° = 108°

            • 4th: 108° + 36° = 144°

            • 5th: 144° + 36° = 180°

        ▪ A polygon angle cannot be 180° or more, as it implies a degenerate (flat or concave) vertex. An interior angle of a convex polygon must be less than 180°.

        ▪ No, the smallest angle cannot be 36° because it would lead to one of the interior angles being 180°.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 65 Questions (More on Sums)

1. Write four arithmetic sequence with sum of the first four terms 100.

    ◦ The sum of the first four terms (S4) = 100.

    ◦ S4 = (4/2) * (x1 + x4) = 2(x1 + x4) = 100.

    ◦ So, x1 + x4 = 50.

    ◦ Also, x2 + x3 = 50.

    ◦ Let the first term be f and common difference be d. x1 = f, x2 = f+d, x3 = f+2d, x4 = f+3d.

    ◦ f + (f+3d) = 50 => 2f + 3d = 50.

    ◦ We can choose values for d and find f.

    ◦ Sequence 1 (Choose d=10):

        ▪ 2f + 3(10) = 50 => 2f + 30 = 50 => 2f = 20 => f = 10.

        ▪ Sequence: 10, 20, 30, 40, ...

    ◦ Sequence 2 (Choose d=0):

        ▪ 2f + 3(0) = 50 => 2f = 50 => f = 25.

        ▪ Sequence: 25, 25, 25, 25, ...

    ◦ Sequence 3 (Choose d=5):

        ▪ 2f + 3(5) = 50 => 2f + 15 = 50 => 2f = 35 => f = 17.5.

        ▪ Sequence: 17.5, 22.5, 27.5, 32.5, ...

    ◦ Sequence 4 (Choose d=-2):

        ▪ 2f + 3(-2) = 50 => 2f - 6 = 50 => 2f = 56 => f = 28.

        ▪ Sequence: 28, 26, 24, 22, ...

2. The 1st term of an arithmetic sequence is 5 and the sum of the first 6 terms is 105. Calculate the first six terms of the sequence.

    ◦ First term (f) = 5.

    ◦ Sum of first 6 terms (S6) = 105.

    ◦ S6 = (6/2) * (x1 + x6) = 3(x1 + x6) = 105.

    ◦ x1 + x6 = 105 / 3 = 35.

    ◦ Since x1 = 5, then 5 + x6 = 35 => x6 = 30.

    ◦ Now use x6 = x1 + (6-1)d = x1 + 5d.

    ◦ 30 = 5 + 5d => 25 = 5d => d = 5.

    ◦ The first six terms are:

        ▪ x1 = 5

        ▪ x2 = 5 + 5 = 10

        ▪ x3 = 10 + 5 = 15

        ▪ x4 = 15 + 5 = 20

        ▪ x5 = 20 + 5 = 25

        ▪ x6 = 25 + 5 = 30

    ◦ Sequence: 5, 10, 15, 20, 25, 30.

3. The sum of the 7th and the 8th terms of an arithmetic sequence is 50. Calculate the sum of the first 14 terms.

    ◦ Property: If the sum of two positions is equal to the sum of other two positions, then the sum of the terms at each pair is the same.

    ◦ We have x7 + x8 = 50.

    ◦ Consider the sum of the first 14 terms (S14). S14 = (14/2) * (x1 + x14) = 7(x1 + x14).

    ◦ Notice that the sum of positions for (x1, x14) is 1+14=15.

    ◦ The sum of positions for (x7, x8) is 7+8=15.

    ◦ Therefore, x1 + x14 = x7 + x8 = 50.

    ◦ S14 = 7 * (x1 + x14) = 7 * 50 = 350.

4. Write the first three terms of each of the arithmetic sequences given below:

    ◦ The sum of n terms, Sn = (n/2)(2f + (n-1)d) or Sn = n * middle term (if n is odd).

    ◦ (i) The 1st term is 30 and the sum of the first three terms is 300

        ▪ f = 30.

        ▪ S3 = 300. Since n=3 (odd), the middle term is the 2nd term (x2).

        ▪ x2 = S3 / 3 = 300 / 3 = 100.

        ▪ Common difference (d) = x2 - x1 = 100 - 30 = 70.

        ▪ First three terms: 30, 100, 170.

    ◦ (ii) The 1st term is 30 and the sum of the first four terms is 300

        ▪ f = 30.

        ▪ S4 = 300. S4 = (4/2)(x1 + x4) = 2(x1 + x4) = 300.

        ▪ x1 + x4 = 150.

        ▪ 30 + x4 = 150 => x4 = 120.

        ▪ x4 = x1 + (4-1)d = x1 + 3d.

        ▪ 120 = 30 + 3d => 90 = 3d => d = 30.

        ▪ First three terms: 30, 60, 90.

    ◦ (iii) The 1st term is 30 and the sum of the first five terms is 300

        ▪ f = 30.

        ▪ S5 = 300. Since n=5 (odd), the middle term is the 3rd term (x3).

        ▪ x3 = S5 / 5 = 300 / 5 = 60.

        ▪ x3 = x1 + 2d.

        ▪ 60 = 30 + 2d => 30 = 2d => d = 15.

        ▪ First three terms: 30, 45, 60.

    ◦ (iv) The 1st term is 30 and the sum of the first six terms is 300

        ▪ f = 30.

        ▪ S6 = 300. S6 = (6/2)(x1 + x6) = 3(x1 + x6) = 300.

        ▪ x1 + x6 = 100.

        ▪ 30 + x6 = 100 => x6 = 70.

        ▪ x6 = x1 + 5d.

        ▪ 70 = 30 + 5d => 40 = 5d => d = 8.

        ▪ First three terms: 30, 38, 46.

--------------------------------------------------------------------------------

Part 2: Circles and Angles

Page 72 Questions

1. What fraction of the circle is the arc marked in the picture below? (Picture shows an angle of 45° at a point on the circumference subtended by an arc.)

    ◦ The angle made by the ends of an arc at a point on the circle (on the alternate arc) is half the central angle of the arc.

    ◦ If the angle on the circumference is 45°, then the central angle is twice this, i.e., 2 × 45° = 90°.

    ◦ The fraction of the circle corresponding to a central angle of 90° is 90°/360° = 1/4.

2. When the corner of a bent wire was placed at the centre of a circle, 1/10 of the circle was contained within it. If the corner of this wire is placed on a point of this circle as in the second picture, what fraction of the circle would it contain? What if it is placed at a point on another circle as in the third picture?

    ◦ Step 1: Determine the angle of the bent wire.

        ▪ If the wire forms 1/10 of the circle when placed at the center, its angle (central angle) is (1/10) × 360° = 36°.

    ◦ Step 2: Wire placed at a point on this circle (second picture).

        ▪ If the wire's angle (36°) is now subtended at a point on the circumference, it represents half of the central angle it would correspond to.

        ▪ So, the arc contained within the wire would have a central angle of 2 × 36° = 72°.

        ▪ The fraction of the circle contained = 72°/360° = 1/5.

    ◦ Step 3: Wire placed at a point on another circle (third picture).

        ▪ The angle of the wire itself remains 36°. The question implies the wire's angle is the angle at the circumference. The fraction of another circle it would contain depends on the size of that circle. However, the wording 'what fraction of the circle would it contain' implies a similar relationship to the second picture, just on a circle of unspecified size.

        ▪ The property "the angle made by joining the ends of an arc to a point on the circle is half the central angle" holds for any circle.

        ▪ So, if the 36° angle is at a point on the circumference of another circle, the corresponding central angle for the arc would still be 2 × 36° = 72°.

        ▪ The fraction of that circle would also be 72°/360° = 1/5.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 75 Questions (Central Angles and Angles on Circumference)

In each picture below, the central angle of an arc of a circle is shown: In each, calculate the angles which the arc makes at the other two points

• Principle: If the ends of an arc are joined to a point on the circle, which is not a point on the arc itself, then the angle so made is half the central angle of the arc.

• Principle: The sum of the angles made by two points on a circle, at points on one of the arcs and the alternate arc, is 180°. This means, angles in the same segment are equal, and the sum of angles in alternate segments is 180°.

1. Picture 1: Central angle 80°

    ◦ Angle at point P (on the major arc): Half the central angle = 80° / 2 = 40°.

    ◦ Angle at point Q (on the minor arc): Sum of angles in alternate segments is 180°. So, 180° - 40° = 140°.

2. Picture 2: Central angle 220° (reflex angle)

    ◦ This is the central angle of the major arc.

    ◦ Angle at point P (on the minor arc): Half the central angle = 220° / 2 = 110°.

    ◦ Angle at point Q (on the major arc, but subtending the other arc): The central angle of the minor arc is 360° - 220° = 140°.

    ◦ Angle at Q is half this central angle = 140° / 2 = 70°.

    ◦ (Check: 110° + 70° = 180°, consistent with sum of angles in alternate segments).

3. Picture 3: Central angle 180° (semicircle)

    ◦ Angle at point P (on the semicircle): Half the central angle = 180° / 2 = 90°.

    ◦ Angle at point Q (on the other side of diameter): Also 180° / 2 = 90°.

    ◦ (The angle in a semicircle is a right angle).

--------------------------------------------------------------------------------

Page 80/81/82/83 Questions (Applications of Circle Theorems)

1. A triangle is drawn joining the numbers 1, 4 and 8 on a clock face: (i) Calculate the angles of this triangle. (ii) How many equilateral triangles can we make by joining the numbers on a clock face ?

    ◦ There are 12 numbers on a clock face, representing 360°. So, the angle between consecutive numbers at the center is 360°/12 = 30°.

    ◦ (i) Calculate the angles of this triangle.

        ▪ The vertices of the triangle are at numbers 1, 4, and 8. These points form chords of the circle. The angles of the triangle are angles on the circumference.

        ▪ Angle at 1 (Angle 4-1-8): Subtends the arc from 4 to 8. The numbers covered are 4, 5, 6, 7, 8 (5 marks). This arc has a central angle of 5 × 30° = 150°.

            • Angle at 1 = 150° / 2 = 75°.

        ▪ Angle at 4 (Angle 1-4-8): Subtends the arc from 1 to 8. The numbers covered are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (8 marks). This arc has a central angle of 8 × 30° = 240°. (Wait, this is the major arc. The minor arc is 1 to 4 (3 marks) + 8 to 1 (5 marks) = 8 marks. Let's be precise. The shortest arc between 1 and 8 passes through 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. The arc from 1 (clockwise) to 8 covers 7 hours: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. This is 7 segments. Central angle = 7 * 30 = 210 degrees. The angle subtended at the circumference by the minor arc between 1 and 8 (via 12) is (5*30)/2 = 75. No, this is tricky. Angle 1-4-8 subtends arc 1-8 not containing 4. This means arc 1-12-11-10-9-8. That's 5 'hours'. So, central angle = 5 * 30° = 150°.

            • Angle at 4 = 150° / 2 = 75°.

        ▪ Angle at 8 (Angle 1-8-4): Subtends the arc from 1 to 4. The numbers covered are 1, 2, 3, 4 (3 marks). This arc has a central angle of 3 × 30° = 90°.

            • Angle at 8 = 90° / 2 = 45°.

        ▪ Check sum: 75° + 75° + 45° = 195°. This is incorrect. The sum of angles in a triangle must be 180°. Let's re-evaluate the arcs carefully.

        ▪ Redo (arc lengths):

            • Arc 1 to 4 (clockwise) = 3 units = 3 * 30° = 90° central angle.

            • Arc 4 to 8 (clockwise) = 4 units = 4 * 30° = 120° central angle.

            • Arc 8 to 1 (clockwise) = 5 units = 5 * 30° = 150° central angle.

            • Sum of central angles = 90° + 120° + 150° = 360°. This is correct.

            • The angle in a triangle on the circumference is half the central angle of the opposite arc.

            • Angle at vertex 1: Opposite arc is 4-8. Central angle 120°. So, angle at 1 = 120°/2 = 60°.

            • Angle at vertex 4: Opposite arc is 8-1. Central angle 150°. So, angle at 4 = 150°/2 = 75°.

            • Angle at vertex 8: Opposite arc is 1-4. Central angle 90°. So, angle at 8 = 90°/2 = 45°.

            • Check sum: 60° + 75° + 45° = 180°. This is correct.

            • The angles of the triangle are 60°, 75°, 45°.

    ◦ (ii) How many equilateral triangles can we make by joining the numbers on a clock face?

        ▪ An equilateral triangle has all angles equal to 60°.

        ▪ For an angle on the circumference to be 60°, the opposite central angle must be 120°.

        ▪ A central angle of 120° corresponds to 120°/30° = 4 units on the clock face.

        ▪ So, the vertices of an equilateral triangle on a clock face must be 4 units apart.

        ▪ Possible starting points:

            • Starting at 1: (1, 1+4=5, 5+4=9). Triangle (1, 5, 9).

            • Starting at 2: (2, 2+4=6, 6+4=10). Triangle (2, 6, 10).

            • Starting at 3: (3, 3+4=7, 7+4=11). Triangle (3, 7, 11).

            • Starting at 4: (4, 4+4=8, 8+4=12). Triangle (4, 8, 12).

        ▪ Any other combination (e.g., starting at 5) would repeat one of these triangles (e.g., 5, 9, 1 is the same as 1, 5, 9).

        ▪ There are 4 unique equilateral triangles that can be made by joining numbers on a clock face.

2. Draw an equilateral triangle with circumradius 3.5 centimetres.

    ◦ Construction Steps:

        1. Draw a circle with radius 3.5 cm. (This is the circumcircle).

        2. Mark the center O of the circle.

        3. Draw any radius OA.

        4. Since an equilateral triangle divides the circumcircle into three 120° arcs (each side subtends a central angle of 360°/3 = 120°), draw two more radii OB and OC such that ∠AOB = 120° and ∠BOC = 120°.

        5. Join points A, B, and C. Triangle ABC is the required equilateral triangle.

    ◦ Reasoning: The sides of the equilateral triangle will be chords of the circle. The central angle for each side (chord) of an equilateral triangle inscribed in a circle is 120°. The angle opposite to this chord at the circumference is 60°, which is the angle of an equilateral triangle.

3. Draw a triangle with circumradius 3 centimetres and two of the angles 32 1/2° and 37 1/2°.

    ◦ Step 1: Find the third angle.

        ▪ Sum of angles in a triangle = 180°.

        ▪ Third angle = 180° - 32.5° - 37.5° = 180° - 70° = 110°.

    ◦ Construction Steps:

        1. Draw a circle with radius 3 cm. This is the circumcircle.

        2. The central angle corresponding to each angle on the circumference is twice that angle.

            • For 32.5°: Central angle = 2 × 32.5° = 65°.

            • For 37.5°: Central angle = 2 × 37.5° = 75°.

            • For 110°: Central angle = 2 × 110° = 220°.

        3. Draw three radii OA, OB, OC from the center O such that the angles between them correspond to these central angles. For example, mark a point A on the circle. From O, draw OB such that ∠AOB = 65°. Then draw OC such that ∠BOC = 75°. The remaining angle ∠COA will be 360° - 65° - 75° = 220°.

        4. Join A, B, C. Triangle ABC is the required triangle.

4. In the picture, a semicircle is drawn with a line as diameter and a smaller semicircle with half this line as diameter. Prove that a line joining the point where the semicircles meet, to any point on the larger semicircle is bisected by the smaller semicircle:

    ◦ Let's denote points: Let the diameter of the larger semicircle be AB. Let C be the midpoint of AB, so AC is the diameter of the smaller semicircle. Let P be the point where the two semicircles meet. Let Q be any point on the larger semicircle. We need to prove that the line segment PQ is bisected by the smaller semicircle.

    ◦ Key properties:

        ▪ Angle in a semicircle is a right angle.

        ▪ If P is on the larger semicircle with diameter AB, then ∠APB = 90°.

        ▪ If P is on the smaller semicircle with diameter AC, then ∠APC = 90°.

    ◦ Proof:

        1. Since P lies on the smaller semicircle with diameter AC, ∠APC = 90°. This means CP is perpendicular to AB.

        2. Since P lies on the larger semicircle with diameter AB, ∠APB = 90°. This means PB is perpendicular to AP.

        3. Since P is on both semicircles, and both AC and AB lie on the same line, the point P must be the endpoint of the common chord (which is the perpendicular from C to the line AB, or from A to the line CP). This implies that P is vertically above C (or below).

        4. Let's consider a point D on the smaller semicircle, which is on the line segment PQ. We need to show that D is the midpoint of PQ.

        5. Consider the line segment CQ. We are not given any specific info about CQ.

        6. Let's revisit the diagram. It shows a large semicircle on AB as diameter. A small semicircle on AC as diameter, where C is the midpoint of AB. P is the intersection point of the two semicircles. Q is a point on the large semicircle. We need to prove that the line PQ is bisected by the small semicircle. Let M be the intersection of PQ and the smaller semicircle. We need to show PM = MQ.

        7. From the angle in a semicircle theorem, if P is on the semicircle with diameter AC, then ∠APC = 90°. This means PC is perpendicular to AB.

        8. Also, if Q is on the larger semicircle with diameter AB, then ∠AQB = 90°.

        9. Consider the line segment PQ. Let M be the point where PQ intersects the small semicircle. If we join AM, then ∠AMQ = 90° because M is on the small semicircle with diameter AC (if M is on the arc AC). This isn't right. The small semicircle is on AC as diameter. If M is on this semicircle, then ∠AMC = 90°. This means AM is perpendicular to QC (if C is the center of the big circle, but it's not).

        10. Let the coordinates be used for clarity. Let A=(0,0), B=(2r,0), so C=(r,0). The larger semicircle equation: (x-r)^2 + y^2 = r^2 for y>=0. The smaller semicircle equation: (x-r/2)^2 + y^2 = (r/2)^2 for y>=0. The intersection point P: (x-r)^2 + y^2 = r^2 and (x-r/2)^2 + y^2 = (r/2)^2. x^2 - 2rx + r^2 + y^2 = r^2 => x^2 - 2rx + y^2 = 0 (1) x^2 - rx + r^2/4 + y^2 = r^2/4 => x^2 - rx + y^2 = 0 (2) From (1) - (2): -rx = 0 => x=0. So P = (0,0) or (0, y). If x=0, y=0. This implies P is A. This is incorrect interpretation of "point where semicircles meet". P is where the two arcs intersect, other than A. The diameter of the larger circle is AB. The diameter of the smaller circle is AC. A is a common point. Let A = (0,0). Let the large diameter be on the x-axis. So B = (2R, 0). The center of the large circle is (R,0). The small diameter is AC, where C is midpoint of AB. So C = (R,0). This implies the small circle's diameter is from origin (0,0) to (R,0). So, large circle: x^2 + y^2 = (2R)^2 (No, this is wrong. Diameter is 2R, radius is R. Centre (R,0), (x-R)^2 + y^2 = R^2). Small circle: Diameter (0,0) to (R,0). Center (R/2,0), radius R/2. Equation: (x-R/2)^2 + y^2 = (R/2)^2. Intersection point P: (x-R)^2 + y^2 = R^2 => x^2 - 2Rx + R^2 + y^2 = R^2 => x^2 - 2Rx + y^2 = 0 (x-R/2)^2 + y^2 = (R/2)^2 => x^2 - Rx + R^2/4 + y^2 = R^2/4 => x^2 - Rx + y^2 = 0 Subtracting the two equations gives -Rx = 0, so x=0. If x=0, then y=0. This means the only intersection point is (0,0), point A. This interpretation of the diagram is clearly wrong. The diagram implies that the smaller semicircle's diameter is half the length of the larger diameter, and shares an endpoint with it. Let the diameter of the larger semicircle be AB. Let its midpoint be O. Let the diameter of the smaller semicircle be AO. Let its midpoint be O'. Let P be the intersection of the two semicircles (other than A). Join AP. Since P is on the smaller semicircle with diameter AO, then ∠APO = 90°. This means AP is perpendicular to PO. Join PB. Since P is on the larger semicircle with diameter AB, then ∠APB = 90°. This means AP is perpendicular to PB. Since AP is perpendicular to both PO and PB, and PO and PB share point P and lie on line OB, it implies that O, P, B are collinear, and ∠APB is not 90°. This is also incorrect. Let's reinterpret the diagram using the source's geometric context: Large diameter is line segment AB. Small semicircle is drawn on half of this line segment as diameter, sharing an endpoint. Let that endpoint be A, and the midpoint be C. So, large diameter is AB, small diameter is AC. Let A be the origin (0,0). Let B be (2L, 0). Then C is (L, 0). Large semicircle equation: (x-L)^2 + y^2 = L^2, y>=0. Small semicircle equation: (x-L/2)^2 + y^2 = (L/2)^2, y>=0. The intersection point P (other than A=(0,0)): x^2 - 2Lx + y^2 = 0 (from large circle) x^2 - Lx + y^2 = 0 (from small circle) Subtracting: -Lx = 0 => x = 0. So P is (0,0), which is A. This interpretation is still problematic.

        11. Crucial detail from the image (not described in text, only inferring from standard problems): The smaller semicircle must be internally tangent to the larger one at point A, and its diameter lies along the same line as the larger diameter. The problem then refers to the intersection point P where a vertical line from C meets the circles, or perhaps P is a general point on both semicircles. Given the standard problem this hints at: Let AB be the diameter of the larger semicircle. Let C be a point on AB such that AC is the diameter of the smaller semicircle. Let P be the intersection of the two semicircles (A is one, P is the other). This implies P lies on a common perpendicular to AB. Join P to A and P to C. Since P is on the semicircle with diameter AC, ∠APC = 90°. Join P to B. Since P is on the semicircle with diameter AB, ∠APB = 90°. Therefore, points A, P, Q are on a line, and P is on the smaller semicircle, Q is on the larger. Let AB be the diameter of the larger semicircle. Let AC be the diameter of the smaller semicircle, where C is on AB. Let P be the intersection of the two semicircles. Then ∠APC = 90° (angle in semicircle with diameter AC). And ∠APB = 90° (angle in semicircle with diameter AB). So, PC is parallel to QB (both are perpendicular to AP). This doesn't directly give bisection.

        12. Let's assume the standard problem often related to this diagram: The common point P is the intersection of the small circle (diameter AC) and the large circle (diameter AB). The line connecting P to any point Q on the larger semicircle is bisected by the smaller semicircle. Let A be the common point where the two diameters AB and AC meet (A is on the left). Let M be the point where the line PQ (where Q is on the larger semicircle) intersects the smaller semicircle. We want to prove PM = MQ. Since ∠APM is an angle in the smaller semicircle (on diameter AC, if P,M,C are collinear), this means PM is perpendicular to AP. Since ∠APQ is an angle in the larger semicircle (on diameter AB), this means PQ is perpendicular to AP. This would mean P,M,Q are collinear. If A is the origin, AB is along the x-axis. Diameter AB = 2R, diameter AC = R. Circle 1: x^2 + y^2 = (2R)^2 (No, center is R,0. (x-R)^2+y^2=R^2). Circle 2: (x-R/2)^2+y^2=(R/2)^2. The point P where they meet will have coordinates. Let's assume the diagram shows a setup similar to Thales' theorem application.

        13. Alternative Interpretation (from context of similar problems): Let AB be the diameter of the larger semicircle. Let C be the midpoint of AB. A smaller semicircle is drawn with AC as diameter. Let P be the intersection of a vertical line from C with the larger semicircle (and also with the smaller semicircle if C is the center of the larger circle, or P is on the circumference of both, which means P is on the perpendicular to the common diameter at C). Then PC is perpendicular to AB. Consider a point Q on the larger semicircle. Join PQ. Let M be the point where PQ intersects the smaller semicircle. Join AM. Since AC is diameter of small semicircle, any angle in it is 90 deg. So, ∠AMC = 90° (if M is on the arc of the small semicircle, which means AM is perpendicular to MC). Join AQ. Since AB is diameter of large semicircle, ∠AQB = 90°. Join PM. Join P to A. Since AP is a chord of the smaller semicircle with diameter AC, then ∠APA is not defined. This problem is a standard geometry theorem, but the setup described is crucial. The given source doesn't have the explicit diagram, so I'm trying to infer. Let the line segment be AB. A semicircle is drawn on AB as diameter. A smaller semicircle is drawn on AX as diameter, where X is a point on AB. The question says "half this line as diameter", so X is the midpoint of AB. Let X be C. So, large semicircle on AB. Smaller semicircle on AC, where C is midpoint of AB. Let P be the intersection of the two semicircles (apart from A). Join AP. In the small semicircle, angle in semicircle is ∠APC = 90°. So AP ⊥ PC. Join PB. In the large semicircle, angle in semicircle is ∠APB = 90°. So AP ⊥ PB. This implies that PCB is a straight line. Now, let Q be any point on the larger semicircle. Line PQ passes through M on the smaller semicircle. We need to show PM = MQ. Consider triangle APB. It is a right-angled triangle at P. Line segment PC is the altitude from P to AB. Triangle APC is similar to APB. Since AC is diameter of the small circle, P lies on this circle. Since AB is diameter of the big circle, P lies on this circle. Let A be (0,0). Let B be (2r,0). Then C is (r,0). The coordinates of P must be (x_p, y_p). (x_p-r)^2 + y_p^2 = r^2 (large circle) (x_p-r/2)^2 + y_p^2 = (r/2)^2 (small circle) x_p^2 - 2rx_p + r^2 + y_p^2 = r^2 x_p^2 - rx_p + r^2/4 + y_p^2 = r^2/4 Subtracting the second from the first: -rx_p = 0 => x_p=0. This leads to P being (0,0), which is A. This implies no other intersection point P if the diameters are collinear on the x-axis.

        14. I must assume the diagram implies the setup of the problem of Lunulae of Hippocrates (where crescents are equal to the triangle area) or similar, where the semicircles are not on the same line, or a point P is generated differently. Given the prompt is about bisection, and the visual provided earlier for Angles (p. 67, 68), it likely means the small semicircle sits on the segment AC (where C is the midpoint of the chord AB of the larger circle), and P is the intersection point on the larger semicircle that also lies on the perpendicular from C to AB.

        15. Re-interpretation for a common problem involving this image style (likely from Class 9 or 8 context): Let the large semicircle be on diameter AB. Let its center be O. Let the smaller semicircle be on diameter AO (or OB). Let P be the intersection of the two semicircles (A is one intersection, P is the other). Join AP. Since AP is a chord of the smaller semicircle with diameter AO, the angle subtended by AO at P, i.e., ∠APO = 90°. Thus, AP is perpendicular to PO. Also, AP is a chord of the larger semicircle with diameter AB. The angle subtended by AB at P, i.e., ∠APB = 90°. Thus, AP is perpendicular to PB. Since AP is perpendicular to both PO and PB, and O, P, B are collinear, then PB lies along the same line as PO. This implies P is on the diameter AB, which is only possible if P=A. This still isn't right.

        16. Final assumption for interpretation: The "smaller semicircle with half this line as diameter" means half the length of the larger diameter. And it is placed such that the two semicircles are tangent at one end of the larger diameter (let's say A). Let the diameter of the large semicircle be AB, with length 2r. The small semicircle has diameter AC, with length r (where C is the midpoint of AB). Let A be the origin (0,0). B is (2r,0). C is (r,0). Large semicircle: centre (r,0), radius r. Equation: (x-r)^2 + y^2 = r^2, y>=0. Small semicircle: centre (r/2,0), radius r/2. Equation: (x-r/2)^2 + y^2 = (r/2)^2, y>=0. As shown before, the only common point is A=(0,0). This suggests the diagram is not based on these equations.

        17. The only common sense interpretation based on typical problems with this diagram is that the "point where the semicircles meet" is an implicit assumption that they intersect somewhere else other than the common diameter's endpoint. This typically happens if the smaller circle's diameter is not collinear with the larger one, or if the larger circle does not have its diameter as the base.

        18. Assuming the diagram is a common one where the smaller diameter is a chord of the larger semicircle, or tangent in some way other than endpoint: Let AB be the diameter of the large circle. Let P be a point on the arc. Let M be the midpoint of AP. Draw a semicircle on AM as diameter. This is not what is shown.

        19. Let's use the property of Angle in a Semicircle directly, which is the focus of the section. Let the larger semicircle have diameter AB. Let M be the point where the line from P to Q (a point on the larger semicircle) intersects the smaller semicircle. Let the smaller semicircle have diameter AX (where X is midpoint of AB). Join PX and QA. Angle AXQ must be 90 degrees if Q is on small semicircle.

        20. This problem is challenging to interpret without the visual aid. However, problems 5 and 7 are very common geometric proofs. Let me try to interpret this based on a common similar problem from geometry textbooks: Let AB be the diameter of the large semicircle. Let C be the midpoint of AB. A smaller semicircle is drawn with AC as diameter. Let P be the point of intersection of the two semicircles (the one not on AB). So, P is a point such that ∠APC = 90° (from small semicircle) and ∠APB = 90° (from large semicircle). This means P is on a line perpendicular to AB at C. (This is consistent with the earlier example in the text about drawing a perpendicular (page 79-80)). Now, let Q be any point on the large semicircle. We need to prove that the line segment PQ is bisected by the smaller semicircle. Let M be the point where PQ intersects the smaller semicircle. We need to prove that PM = MQ. Proof:

            1. Since P lies on the semicircle with diameter AB, ∠APB = 90°. So, PB is perpendicular to AP.

            2. Since P lies on the semicircle with diameter AC, ∠APC = 90°. So, PC is perpendicular to AP.

            3. This means that C, P, B are collinear, and that AB is a diameter of the larger circle, and AC is a diameter of the smaller circle, with A being a common endpoint.

            4. Therefore, triangle APB is a right-angled triangle at P.

            5. In triangle APB, PC is perpendicular to AB (since ∠APC=90 and A,C,B are collinear).

            6. Let M be a point on the line segment PQ. If M is on the smaller semicircle (diameter AC), then ∠AMQ = 90° (No, it's ∠APC and ∠APB).

            7. Let's use coordinate geometry for clarity, as the text itself does. Let A = (0,0). Let the diameter AB lie on the x-axis. Let B = (2R, 0). The larger semicircle has center (R,0) and radius R. The smaller semicircle has diameter AC = R, so C = (R,0). Its center is (R/2,0) and radius R/2. As shown before, the intersection point P (other than A) would require y to be 0 unless the setup is different.

        21. Given the source text's example of drawing a perpendicular using Thales' theorem (angle in a semicircle is 90 degrees, page 79-80), this problem likely leverages that same property in a different arrangement. The core idea is that lines drawn from an endpoint of a diameter to any point on the semicircle form a right angle with the line connecting that point to the other end of the diameter.

        22. If the common point of the semicircles (P) is such that the line through it and the shared end of the diameters (A) is perpendicular to the shared diameter (AB), then this is trivial, as P=A.

        23. I conclude that the exact diagram for this specific problem (4) is critical for a precise answer, and my interpretations are leading to contradictions or trivial cases based on typical Cartesian setups. The text implies a diagram. Without the diagram, a definitive solution beyond general principles is speculative. I will state the general principles that would be used.

            • General principles to be applied:

                ◦ The angle in a semicircle is a right angle.

                ◦ This means that if a line segment is a diameter of a circle, any point on the circumference (excluding the endpoints of the diameter) will form a right angle when connected to the endpoints of the diameter.

                ◦ Properties of similar triangles might also be involved.

5. Prove that circles drawn on the equal sides of an isosceles triangle as diameters pass through the midpoint of the third side:

    ◦ Let's denote points: Let the isosceles triangle be ABC, with AB = AC. Let D be the midpoint of the third side BC. We need to prove that circles drawn on AB and AC as diameters pass through D.

    ◦ Proof:

        1. In an isosceles triangle, the median from the vertex between the equal sides to the midpoint of the base is perpendicular to the base. So, AD is perpendicular to BC. Thus, ∠ADB = 90° and ∠ADC = 90°.

        2. Consider the circle drawn with AB as diameter. For any point P on the circumference of this circle, the angle subtended by the diameter at P (∠APB) is 90°.

        3. Since ∠ADB = 90°, the point D lies on the circle drawn with AB as diameter (because the angle at D is 90° and it's subtended by AB).

        4. Similarly, consider the circle drawn with AC as diameter. For any point Q on the circumference of this circle, the angle subtended by the diameter at Q (∠AQC) is 90°.

        5. Since ∠ADC = 90°, the point D lies on the circle drawn with AC as diameter.

        6. Therefore, both circles pass through the midpoint D of the third side.

6. Prove that all the circles drawn on the four sides of a rhombus as diameters pass through a common point:

    ◦ Let's denote points: Let the rhombus be ABCD. Its diagonals AC and BD intersect at point O. In a rhombus, the diagonals are perpendicular bisectors of each other. So, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°.

    ◦ Proof:

        1. Consider the circle drawn with side AB as diameter. Since ∠AOB = 90°, the point O lies on this circle.

        2. Consider the circle drawn with side BC as diameter. Since ∠BOC = 90°, the point O lies on this circle.

        3. Consider the circle drawn with side CD as diameter. Since ∠COD = 90°, the point O lies on this circle.

        4. Consider the circle drawn with side DA as diameter. Since ∠DOA = 90°, the point O lies on this circle.

        5. Therefore, all four circles pass through the intersection point of the diagonals (point O), which is a common point.

7. In the picture below, a triangle is drawn joining the ends of the diameter of a circle and another point on the semicircle; and then semicircles on the other sides of the triangle as diameters: Prove that the sum of the areas of the blue and red crescents in the second picture is equal to the area of the triangle (Hint : See the last problem of the lesson, Parts of Circles of Class 9 textbook).

    ◦ Let's denote points and areas: Let the diameter of the large circle be AB, and let C be the third point on the semicircle. So, triangle ABC is a right-angled triangle with the right angle at C (angle in a semicircle is 90°).

    ◦ Let the area of the triangle ABC be Area(ABC).

    ◦ Let the area of the semicircle on AB be Area(S_AB).

    ◦ Let the area of the semicircle on AC as diameter be Area(S_AC).

    ◦ Let the area of the semicircle on BC as diameter be Area(S_BC).

    ◦ The crescent areas (lunulae) are formed by subtracting the area of parts of the large semicircle from the areas of the smaller semicircles.

    ◦ Area(Crescent_blue) = Area(S_AC) - Area(segment_AC in large circle)

    ◦ Area(Crescent_red) = Area(S_BC) - Area(segment_BC in large circle)

    ◦ Area(S_AB) = Area(segment_AC in large circle) + Area(segment_BC in large circle) + Area(ABC). This is NOT right. Area(S_AB) = Area(ABC) + Area(segment_AC) + Area(segment_BC).

    ◦ Let segments cut off from the larger semicircle by chords AC and BC be Seg_AC and Seg_BC respectively.

    ◦ Area(S_AB) = Area(ABC) + Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC). (This is the area of the right-angled triangle plus the two segments cut off from the main semicircle)

    ◦ We know that the area of a semicircle is (1/2)π(r^2). For a right triangle with sides a, b, and hypotenuse c, we have a^2 + b^2 = c^2.

    ◦ If AC = a, BC = b, AB = c. Then r_AC = a/2, r_BC = b/2, r_AB = c/2.

    ◦ Area(S_AC) = (1/2)π(a/2)^2 = (1/8)πa^2.

    ◦ Area(S_BC) = (1/2)π(b/2)^2 = (1/8)πb^2.

    ◦ Area(S_AB) = (1/2)π(c/2)^2 = (1/8)πc^2.

    ◦ Since a^2 + b^2 = c^2, it follows that (1/8)πa^2 + (1/8)πb^2 = (1/8)πc^2.

    ◦ So, Area(S_AC) + Area(S_BC) = Area(S_AB).

    ◦ Now, Area(Crescent_blue) = Area(S_AC) - Area(Seg_AC).

    ◦ Area(Crescent_red) = Area(S_BC) - Area(Seg_BC).

    ◦ Sum of crescents = (Area(S_AC) + Area(S_BC)) - (Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC)).

    ◦ Sum of crescents = Area(S_AB) - (Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC)).

    ◦ We know Area(S_AB) = Area(ABC) + Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC).

    ◦ Substitute this into the sum of crescents equation:

    ◦ Sum of crescents = (Area(ABC) + Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC)) - (Area(Seg_AC) + Area(Seg_BC)).

    ◦ Sum of crescents = Area(ABC).

    ◦ Therefore, the sum of the areas of the blue and red crescents is equal to the area of the triangle.

8. In the picture, AB and CD are perpendicular chords of the circle: Prove that the arcs APC and BQD joined together make a semicircle.

    ◦ Let's denote points: Let the chords AB and CD intersect at point P, and AB is perpendicular to CD.

    ◦ We need to prove that arc(APC) + arc(BQD) = semicircle. A semicircle means an arc of 180°.

    ◦ Proof:

        1. Consider the angles subtended at the center. Let O be the center of the circle.

        2. The angle formed by two intersecting chords inside a circle is half the sum of the measures of the arcs intercepted by the angle and its vertical angle.

        3. Since AB ⊥ CD, the angle ∠APC = 90°.

        4. Also, the angle ∠AOC is the central angle of arc AC. The angle ∠BOD is the central angle of arc BD.

        5. Consider the central angles corresponding to the arcs. Let m(arc XY) denote the measure of the central angle for arc XY.

        6. The sum of the central angles corresponding to arcs AC and BD would be m(arc AC) + m(arc BD).

        7. The property states that if two chords are perpendicular, the sum of the measures of the intercepted arcs (which are opposite each other, like AC and BD) is 180°.

        8. So, m(arc AC) + m(arc BD) = 180°. This means Arc AC + Arc BD = Semicircle.

        9. The question asks about arcs APC and BQD. These refer to the arcs formed by the perpendicular chords.

        10. If AB and CD are chords, they divide the circle into 4 arcs: AC, CB, BD, DA.

        11. The sum of these four arcs is 360°.

        12. If AB ⊥ CD, it is a property that the sum of the opposite arcs are equal to 180°.

            • m(arc AD) + m(arc BC) = 180°

            • m(arc AC) + m(arc BD) = 180°

        13. The question asks to prove that "arcs APC and BQD joined together make a semicircle". This likely means arc AC and arc BD. Let's assume P and Q are points on the circle, but the question uses A, B, C, D as the chord endpoints and P,Q as points on the arcs, consistent with the small letters in the diagram.

        14. If P is on arc AC and Q is on arc BD, this is not a common phrasing. It is almost certainly referring to arc AC and arc BD.

        15. Proof (assuming arc AC and arc BD):

            • Let the chords AB and CD intersect at a point M. Since AB ⊥ CD, ∠AMC = 90°.

            • The angle subtended by an arc at the circumference is half the central angle.

            • Consider the triangle formed by A, C and the center O (not given).

            • Let's use the property that in a circle, if two chords intersect at right angles, the sum of the arcs intercepted by the vertical angles is 180°.

            • So, arc(AC) + arc(BD) = 180°.

            • Therefore, the arcs AC and BD together make a semicircle.

            • The notation "APC" and "BQD" with P and Q likely indicating points on the arcs makes this slightly ambiguous. If P and Q are internal points, then this proof is about arc AC and arc BD. If A, P, C, and B, Q, D are points along the circumference in that order, then the question still refers to arc AC and arc BD.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 86/87 Questions (Segments of a Circle)

1. In all three pictures below, O is the centre of the circle and A, B, C are points on the circle. In each , calculate all the angles of triangles ABC and OBC:

    ◦ Principles:

        ▪ Angle subtended by an arc at the center is twice the angle subtended by the same arc at any point on the remaining part of the circle.

        ▪ Triangle OBC is an isosceles triangle because OB and OC are radii (OB = OC). So, the angles opposite to these sides (∠OCB and ∠OBC) are equal.

        ▪ Sum of angles in a triangle is 180°.

    ◦ Picture 1: Central angle ∠BOC = 120°

        ▪ Triangle OBC:

            • OB = OC (radii) => ∠OBC = ∠OCB.

            • Sum of angles in ΔOBC = 180°.

            • 120° + 2(∠OBC) = 180° => 2(∠OBC) = 60° => ∠OBC = ∠OCB = 30°.

            • Angles of ΔOBC: 120°, 30°, 30°.

        ▪ Triangle ABC:

            • Angle at A (∠BAC) subtends the same arc BC as the central angle ∠BOC.

            • ∠BAC = ∠BOC / 2 = 120° / 2 = 60°.

            • We need ∠ABC and ∠BCA. We don't have enough information directly for these from this image alone without making assumptions about A's position, other than it being on the alternate arc. If A,B,C are vertices of the triangle and O is the center, then ∠ABC and ∠BCA can't be computed without more context, unless the diagram implies that AC and AB are chords that pass through O. But A,B,C are points on the circle, and O is the center. This implies a general triangle. We need to find angles involving A.

            • The problem states "A, B, C are points on the circle". This means ABC is a triangle inscribed in the circle. The angles of ABC are the angles formed by the chords.

            • We cannot calculate angles ∠ABC and ∠BCA with only ∠BOC = 120°. We need central angles for arc AC and arc AB. These are not given.

            • Unless A, B, C are consecutive vertices that form arcs where the total angle subtended by the arc not containing B, and not containing C are also known.

            • Re-evaluating based on common sense: The angles of triangle ABC are ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA.

            • ∠BAC = 1/2 ∠BOC = 120/2 = 60°.

            • For ∠ABC, it subtends arc AC. For ∠BCA, it subtends arc AB. We need m(arc AC) and m(arc AB).

            • Since the diagrams are not provided, and the source only states "In each picture below, O is the centre of the circle and A, B, C are points on the circle.", I must assume the point A is positioned arbitrarily, making ∠ABC and ∠BCA indeterminable from central angle BOC alone. The problem is unresolvable for these specific angles without a visual or more information. I will state this limitation.

    ◦ Picture 2: Central angle ∠BOC = 80°

        ▪ Triangle OBC:

            • OB = OC (radii) => ∠OBC = ∠OCB.

            • 80° + 2(∠OBC) = 180° => 2(∠OBC) = 100° => ∠OBC = ∠OCB = 50°.

            • Angles of ΔOBC: 80°, 50°, 50°.

        ▪ Triangle ABC:

            • ∠BAC = ∠BOC / 2 = 80° / 2 = 40°.

            • (∠ABC and ∠BCA indeterminable without more information).

    ◦ Picture 3: Central angle ∠BOC = 260° (reflex angle)

        ▪ This is the reflex angle, so the minor central angle is 360° - 260° = 100°.

        ▪ Triangle OBC: (using the minor angle for the triangle formed by radii)

            • OB = OC (radii) => ∠OBC = ∠OCB.

            • 100° + 2(∠OBC) = 180° => 2(∠OBC) = 80° => ∠OBC = ∠OCB = 40°.

            • Angles of ΔOBC: 100°, 40°, 40°.

        ▪ Triangle ABC:

            • ∠BAC subtends the minor arc BC. So, ∠BAC = (360° - 260°) / 2 = 100° / 2 = 50°.

            • (∠ABC and ∠BCA indeterminable without more information).

2. In each of the problem below, a circle and a chord is to be drawn to split the circle into two parts. The parts must be as specified:

    ◦ Principle: In a circle, angles in the same segment are equal; the sum of the angles in alternate segments is 180°. The angle in a segment is half the central angle of the corresponding arc.

    ◦ (i) All angles in one part must be 80°

        ▪ Let this be the major segment. Angles in this segment = 80°.

        ▪ The central angle of the minor arc = 2 × 80° = 160°.

        ▪ The central angle of the major arc = 360° - 160° = 200°.

        ▪ The angles in the alternate segment (minor segment) = 180° - 80° = 100°.

        ▪ Draw a chord such that its minor arc subtends a central angle of 160°.

    ◦ (ii) All angles in one part must be 110°

        ▪ Let this be the major segment. Angles in this segment = 110°.

        ▪ The central angle of the minor arc = 2 × 110° = 220°.

        ▪ This implies the minor arc has a central angle > 180°, so the segment with 110° angles is the minor segment, and the arc it subtends is the major arc.

        ▪ So, the angles in the minor segment are 110°.

        ▪ The central angle of the major arc = 2 × 110° = 220°.

        ▪ The central angle of the minor arc = 360° - 220° = 140°.

        ▪ The angles in the alternate segment (major segment) = 180° - 110° = 70°.

        ▪ Draw a chord such that its major arc subtends a central angle of 220° (or its minor arc subtends 140°).

    ◦ (iii) All angles in one part must be half the angles in the other part

        ▪ Let the angles in one segment be x and in the alternate segment be 2x.

        ▪ We know x + 2x = 180°. So, 3x = 180° => x = 60°.

        ▪ Thus, angles in one segment are 60°, and angles in the alternate segment are 120°.

        ▪ For the segment with 60° angles: Central angle of its arc = 2 × 60° = 120°.

        ▪ For the segment with 120° angles: Central angle of its arc = 2 × 120° = 240°.

        ▪ (Check: 120° + 240° = 360°).

        ▪ Draw a chord such that its minor arc subtends a central angle of 120°.

    ◦ (iv) All angles in one part must be one and a half times the angles in the other part

        ▪ Let the angles in one segment be x and in the alternate segment be 1.5x.

        ▪ We know x + 1.5x = 180°. So, 2.5x = 180° => x = 180 / 2.5 = 72°.

        ▪ Thus, angles in one segment are 72°, and angles in the alternate segment are 1.5 × 72° = 108°.

        ▪ For the segment with 72° angles: Central angle of its arc = 2 × 72° = 144°.

        ▪ For the segment with 108° angles: Central angle of its arc = 2 × 108° = 216°.

        ▪ (Check: 144° + 216° = 360°).

        ▪ Draw a chord such that its minor arc subtends a central angle of 144°.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 94/95/96/97 Questions (Circle and Quadrilateral)

1. Calculate the angles of the quadrilateral shown below and also the angles between its diagonals. (No picture provided, but the description usually implies a general cyclic quadrilateral or a specific type, given in other problems. If general, angles can't be calculated. If it's the example from the text, it's illustrative). Assuming it's a cyclic quadrilateral with specific angles, but without the picture, I cannot calculate. The general properties of cyclic quadrilateral are stated though.

    ◦ Principle: If all vertices of a quadrilateral are on a circle, then the sum of its opposite angles is 180°.

    ◦ Without a specific picture defining the quadrilateral's type or specific angles, the angles of this specific quadrilateral cannot be calculated.

2. Prove that in a cyclic quadrilateral, the outer angle at any vertex is equal to the inner angle at the opposite vertex.

    ◦ Let's denote points: Let ABCD be a cyclic quadrilateral. Consider the outer angle at vertex A, formed by extending side BA to a point E. So, we need to prove ∠EAD = ∠BCD.

    ◦ Proof:

        1. In a cyclic quadrilateral, the sum of opposite interior angles is 180°. So, ∠BAD + ∠BCD = 180°.

        2. Angle ∠EAD and angle ∠BAD form a linear pair (angles on a straight line). So, ∠EAD + ∠BAD = 180°.

        3. From (1) and (2), we have: ∠BAD + ∠BCD = ∠EAD + ∠BAD

        4. Subtracting ∠BAD from both sides, we get: ∠BCD = ∠EAD.

        5. This proves that the outer angle at any vertex is equal to the inner angle at the opposite vertex.

3. Prove that any parallelogram, which is not a rectangle, is not cyclic.

    ◦ Proof:

        1. In any parallelogram, opposite angles are equal (∠A = ∠C, ∠B = ∠D).

        2. For a quadrilateral to be cyclic, the sum of its opposite angles must be 180°. So, for a parallelogram to be cyclic, ∠A + ∠C = 180° and ∠B + ∠D = 180°.

        3. Since ∠A = ∠C, then 2∠A = 180° => ∠A = 90°.

        4. Similarly, since ∠B = ∠D, then 2∠B = 180° => ∠B = 90°.

        5. If a parallelogram has one angle (or all angles) equal to 90°, it is a rectangle.

        6. Therefore, any parallelogram that is cyclic must be a rectangle.

        7. Conversely, a parallelogram that is not a rectangle cannot have opposite angles summing to 180°, and thus cannot be cyclic.

4. Prove that a non - isosceles trapezium is not cyclic.

    ◦ Proof:

        1. In a trapezium (trapezoid), one pair of opposite sides is parallel. Let ABCD be a trapezium with AB || CD.

        2. This means that the sum of consecutive angles between the parallel sides is 180° (co-interior angles). So, ∠A + ∠D = 180° and ∠B + ∠C = 180°.

        3. For a trapezium to be cyclic, the sum of its opposite angles must be 180°. So, ∠A + ∠C = 180° and ∠B + ∠D = 180°.

        4. From (2) and (3):

            • ∠A + ∠D = 180° and ∠A + ∠C = 180° => ∠D = ∠C.

            • ∠B + ∠C = 180° and ∠B + ∠D = 180° => ∠C = ∠D.

        5. If ∠C = ∠D, then the non-parallel sides AD and BC must be equal (base angles of the non-parallel sides are equal only in an isosceles trapezium).

        6. Therefore, for a trapezium to be cyclic, its non-parallel sides must be equal, meaning it must be an isosceles trapezium.

        7. Conversely, a non-isosceles trapezium cannot be cyclic.

5. In the first picture below , an equilateral triangle is drawn with vertices on a circle and two of its vertices are joined to a point on the circle. In the second picture, a square is drawn with vertices on a circle and two of its vertices are joined to a point on the circle : In each picture, calculate the angle marked.

    ◦ Picture 1 (Equilateral Triangle):

        ▪ An equilateral triangle inscribed in a circle divides the circle into three equal arcs, each subtending a central angle of 360°/3 = 120°.

        ▪ The angle marked is an angle on the circumference, subtending one of these 120° arcs.

        ▪ Angle marked = 120° / 2 = 60°.

    ◦ Picture 2 (Square):

        ▪ A square inscribed in a circle divides the circle into four equal arcs, each subtending a central angle of 360°/4 = 90°.

        ▪ The angle marked is an angle on the circumference, subtending one of these 90° arcs.

        ▪ Angle marked = 90° / 2 = 45°.

6. (i) In the picture below, two circles intersect at P and Q. Lines through these points meet the circles at A, B, C, D. The lines AC and BD are not parallel. Prove that if these lines are of equal length, then ABDC is a cyclic quadrilateral. (ii) In the picture, the circles on the left and right intersect the middle circle at P, Q, R, S. Lines joining these meet the left and right circles at A, B, C, D. Prove that ABDC is a cyclic quadrilateral.

    ◦ (i) This problem is related to the property of common chords and cyclic quadrilaterals formed by intersecting lines. Without the specific diagram, it is hard to define AC and BD clearly. Assuming the standard theorem for intersecting chords/secants and cyclic quadrilaterals: if two circles intersect, and a line passes through the intersection points P and Q, and two other lines passing through P and Q intersect the circles at A, B, C, D respectively, then for ABDC to be cyclic, specific angle properties must hold. The condition "if these lines are of equal length" (AC = BD) seems to imply something about symmetry that leads to the cyclic property.

        ▪ Proof outline (assuming common interpretation):

            • Consider the quadrilateral formed by A, B, C, D. We need to show that ∠A + ∠D = 180° or ∠B + ∠C = 180°.

            • Let P and Q be the intersection points.

            • In circle 1 (containing A, P, C, Q), APCQ is a cyclic quadrilateral. So, ∠PAC + ∠PQC = 180°.

            • In circle 2 (containing B, P, D, Q), BPDQ is a cyclic quadrilateral. So, ∠PBD + ∠PQD = 180°.

            • The angles ∠PQC and ∠PQD are angles on a straight line (if Q lies on both chords and they are extended). This is highly dependent on the image.

            • The problem statement "lines through these points meet the circles at A, B, C, D" suggests that we have two secants passing through P and Q. Let APCD be points on circle 1 and BPQD be points on circle 2. This is ambiguous.

            • Due to ambiguity without the actual picture, I cannot provide a definitive proof based solely on the text description.

    ◦ (ii) This problem describes a setup with three intersecting circles, forming a larger cyclic quadrilateral. This is a common geometry problem often proved using cyclic quadrilateral properties for each smaller circle.

        ▪ Proof Outline:

            • Let the three circles be C1 (left), C2 (middle), C3 (right).

            • P and Q are intersections of C1 and C2. R and S are intersections of C2 and C3.

            • Lines joining these meet C1 at A, B and C3 at C, D. (Again, the exact connection of A, B, C, D to P, Q, R, S is crucial).

            • Typically, this would mean AB is a chord of C1, and CD is a chord of C3.

            • Let's assume the common theorem: If two circles intersect at P and Q, and lines through P and Q intersect the circles at A, B and C, D respectively, then ABCD is a cyclic quadrilateral. This seems to be the intended theorem, extended to 3 circles.

            • Consider the quadrilateral formed by A, B, C, D. We need to show ∠A + ∠D = 180° or ∠B + ∠C = 180°.

            • Without the specific connections implied by the diagram (e.g., if A, P, Q, B are collinear on one line and C, R, S, D on another, or if AP, CR, BQ, DS are chords), a precise proof is not possible.

7. In the picture, the bisectors of the angles of the quadrilateral ABCD intersect at P, Q, R, S. Prove that PQRS is a cyclic quadrilateral. (Hint : Look at the sum of the angles of triangles PCD and RAB).

    ◦ Let's denote points and angles: Let the angle bisectors of A, B, C, D be lines forming quadrilateral PQRS inside ABCD. P is from ∠C and ∠D, Q from ∠D and ∠A, R from ∠A and ∠B, S from ∠B and ∠C. (This depends on labelling in diagram, assuming conventional P, Q, R, S vertices of inner quad).

    ◦ Hint suggests:

        ▪ Consider ΔPCD: Angles are ∠PDC, ∠PCD, ∠CPD.

        ▪ Consider ΔRAB: Angles are ∠RAB, ∠RBA, ∠ARB.

    ◦ Proof:

        1. Let the angles of quadrilateral ABCD be A, B, C, D.

        2. The sum of angles in ABCD is 360°: A + B + C + D = 360°.

        3. Consider ΔPCD. Since DP bisects ∠D and CP bisects ∠C:

            • ∠PDC = D/2

            • ∠PCD = C/2

            • ∠CPD = 180° - (D/2 + C/2) = 180° - (C+D)/2.

        4. Consider ΔRAB. Since AR bisects ∠A and BR bisects ∠B:

            • ∠RAB = A/2

            • ∠RBA = B/2

            • ∠ARB = 180° - (A/2 + B/2) = 180° - (A+B)/2.

        5. Now, P and R are opposite vertices of quadrilateral PQRS. We need to prove ∠P + ∠R = 180° (or ∠Q + ∠S = 180°).

        6. The angles of quadrilateral PQRS are ∠P, ∠Q, ∠R, ∠S.

        7. ∠P = ∠CPD = 180° - (C+D)/2. (Assuming P is the vertex formed by CD bisectors).

        8. ∠R = ∠ARB = 180° - (A+B)/2. (Assuming R is the vertex formed by AB bisectors).

        9. Sum of opposite angles ∠P + ∠R = (180° - (C+D)/2) + (180° - (A+B)/2)

            • = 360° - (A+B+C+D)/2.

            • Since A+B+C+D = 360° (sum of angles in a quadrilateral).

            • ∠P + ∠R = 360° - 360°/2 = 360° - 180° = 180°.

        10. Therefore, PQRS is a cyclic quadrilateral.

8. In the first picture below, points P, Q, R are marked on the sides BC, CA, AB of triangle ABC and circumcircles of triangles AQR and BRP are drawn. They intersect at the point S inside the triangle: Prove that the circumcircle of triangle CPQ also passes through S, as in the second picture. (Hint : In the first figure, join PS, QS and RS. Then find the relations of the angles formed at the point S with ∠A, ∠B and ∠C).

    ◦ This is a classic problem involving the Miquel Point theorem.

    ◦ Proof outline:

        1. Given: Circumcircle of ΔAQR passes through A, Q, S, R. This means A, Q, S, R form a cyclic quadrilateral.

        2. Given: Circumcircle of ΔBRP passes through B, R, S, P. This means B, R, S, P form a cyclic quadrilateral.

        3. To prove: Circumcircle of ΔCPQ passes through C, P, Q, S. This means C, P, Q, S must form a cyclic quadrilateral. We need to show ∠PQC + ∠PSC = 180° or ∠QCP + ∠QSP = 180°.

        4. Consider cyclic quad AQSR: The outer angle at Q, ∠SQC, is equal to the inner opposite angle ∠SAR (which is ∠A). So, ∠SQC = ∠A. (Using the exterior angle property of cyclic quadrilaterals, which is usually ∠SQC = ∠SAQ for a cyclic quad APQC. Let's use the other property: sum of opposite angles is 180°).

            • In cyclic quad AQSR, ∠AQS + ∠ARS = 180°.

            • In cyclic quad AQSR, ∠ASR + ∠AQR = 180°.

        5. Consider cyclic quad BRSP:

            • In cyclic quad BRSP, ∠BSP + ∠BRP = 180°.

            • In cyclic quad BRSP, ∠RBS + ∠RPS = 180°.

        6. Hint suggests angles at S: Join PS, QS, RS.

            • Since AQSR is cyclic, ∠SRA = ∠SQA (angles in same segment) and ∠SQR = ∠SAR (angles in same segment). This implies:

                ◦ ∠SRA + ∠ARS = 180 (linear pair with ARS). No, this is not correct.

                ◦ From cyclic quad AQSR: ∠SRA + ∠A = 180° (No, it's ∠SRQ + ∠SAQ = 180).

                ◦ From cyclic quad AQSR: ∠RSQ = ∠RAQ = ∠A (angles subtended by same arc RQ on circumference).

                ◦ From cyclic quad BRSP: ∠RSP = ∠RBP = ∠B (angles subtended by same arc RP on circumference).

            • From cyclic quad AQSR: ∠SRA = 180 - ∠SDA. (exterior angle). No.

            • From cyclic quad AQSR: ∠SRA = ∠SQA. No.

            • Let's use the exterior angle property: In cyclic quad AQSR, ∠SQP = ∠SAR = ∠A (exterior angle at Q is equal to interior opposite angle A).

            • In cyclic quad BRSP, ∠RPS = ∠RBS = ∠B (exterior angle at P is equal to interior opposite angle B).

            • Now consider the angles around S.

            • ∠ASB = ∠ASR + ∠RSB. (No, the diagram doesn't show S inside ABC always).

            • Let's use the property that angles around a point sum to 360°.

            • We want to show that CPQS is cyclic. We need ∠QSC + ∠QPC = 180°. Or ∠PQS + ∠PCS = 180°. Or ∠QSP + ∠QCP = 180°.

            • In cyclic quadrilateral AQSR, ∠SQR + ∠SAR = 180°. So ∠SQR = 180° - ∠A.

            • In cyclic quadrilateral BRSP, ∠SPR + ∠SBR = 180°. So ∠SPR = 180° - ∠B.

            • Now, consider ∠QSP (an angle in the potential cyclic quad CPQS).

            • ∠QSP = ∠QSR + ∠RSP. (No, P,S,Q might be linear.)

            • Let's focus on the hint. Find relations of angles formed at S with ∠A, ∠B, ∠C.

            • Since AQSR is cyclic, points A, Q, S, R lie on a circle. So, ∠SQA = ∠SRA (angles subtended by arc SA). And ∠ASQ = ∠ARQ.

            • Since BRSP is cyclic, points B, R, S, P lie on a circle. So, ∠SRP = ∠SBP (angles subtended by arc SP). And ∠BSR = ∠BPR.

            • ∠CSR (or ∠CSP?) + ∠QSP is what we need for cyclic quad CPQS.

            • From AQSR cyclic: ∠RSQ + ∠RAQ = 180°. (So, ∠RSQ = 180° - ∠A).

            • From BRSP cyclic: ∠PSR + ∠PBR = 180°. (So, ∠PSR = 180° - ∠B).

            • Now consider the straight line on which C, P, Q lie.

            • Let's look at angles on the lines forming triangle ABC.

            • Angle ∠AQS is angle in cyclic quad ASRQ. So ∠AQS = ∠ARS.

            • Angle ∠PRS is angle in cyclic quad BRSP. So ∠PRS = ∠PBS.

            • Consider the angles around point S.

            • ∠PSR + ∠QSR + ∠PSQ = 360 (angles around S).

            • We have ∠RSQ = 180° - ∠A.

            • We have ∠PSR = 180° - ∠B.

            • What about ∠PSQ? It is formed from point S to P and Q.

            • Let's use the "angles in the same segment" property.

            • In cyclic quad AQSR, ∠AQR + ∠ASR = 180°. And ∠ARQ + ∠ASQ = 180°.

            • In cyclic quad BSPR, ∠BPR + ∠BSR = 180°. And ∠BRP + ∠BSP = 180°.

            • Consider ∠QSP. This angle must be related to C.

            • We want to show that CPQS is cyclic. This means we want ∠PQC + ∠PSC = 180°. Or ∠QSC + ∠QPC = 180°.

            • Let's use exterior angles:

                ◦ Exterior angle of cyclic quad ASRQ at R is ∠PRQ. So ∠PRQ = ∠ASQ.

                ◦ Exterior angle of cyclic quad BSRP at P is ∠QPS. So ∠QPS = ∠BRS.

            • This is a standard proof, usually involving angles in linear pairs and sums of angles in quadrilaterals.

            • The Miquel Point Theorem Proof:

                ◦ Since A,Q,S,R are concyclic, ∠SRA + ∠SQA = 180°. (Sum of opposite angles in cyclic quad). Also ∠RSQ = 180° - A.

                ◦ Since B,R,S,P are concyclic, ∠BRP + ∠BSP = 180°. Also ∠PSR = 180° - B.

                ◦ Now consider the angles on the straight line ARB. We have ∠ARS + ∠SRP + ∠PRB = 180°.

                ◦ This is more complex than it appears from the simple hint.

                ◦ A common approach for this theorem (Miquel point):

                    ▪ ∠ASQ = ∠ARQ (angles subtended by AQ in circle AQR)

                    ▪ ∠BSP = ∠BRP (angles subtended by BP in circle BRP)

                    ▪ Since R is on AB, ∠ARQ + ∠BRP = 180 - ∠QRP.

                    ▪ Consider the angle ∠C. We need to show CPQS is cyclic.

                    ▪ We know that ∠A + ∠B + ∠C = 180° (angles of ΔABC).

                    ▪ ∠RSQ + ∠RSP + ∠PSQ = 360°.

                    ▪ The key is to show that ∠PQC + ∠PSC = 180°.

                    ▪ From cyclic quad ASRQ, ∠ASR = ∠AQR (angles in same segment). No. ∠ASR is a part of ∠PSQ.

                    ▪ Let's use ∠ARQ = ∠ASQ (angles subtended by arc AQ on circle AQR)

                    ▪ And ∠BRP = ∠BSP (angles subtended by arc BP on circle BRP)

                    ▪ Since A,R,B are collinear, ∠ARQ + ∠QRB = 180°.

                    ▪ This is known as the Miquel point theorem. If three points are chosen on the sides of a triangle, the three circles passing through each vertex and the two points on the adjacent sides intersect at a single point (the Miquel point).

                    ▪ Proof:

                        1. Consider point S. Since AQSR is a cyclic quadrilateral, the exterior angle at S (formed by extending QS to meet BC, say) would be equal to ∠A. However, it's easier to use the fact that angles in the same segment are equal.

                        2. In cyclic quadrilateral AQSR, ∠SRA = ∠SQA (angles subtended by AS). Also, ∠ASR + ∠AQR = 180°. (opposite angles).

                        3. In cyclic quadrilateral BPSR, ∠BPS + ∠BRS = 180°. Also, ∠BSP + ∠BRP = 180°. (opposite angles).

                        4. We want to show CPQS is cyclic, i.e., ∠C + ∠QSP = 180°. Or ∠CQS + ∠CPS = 180°.

                        5. Consider angles on the straight lines.

                            ◦ Angles on line AB: ∠ARQ + ∠QRP + ∠PRB = 180°. This is not generally useful.

                            ◦ Angles around Q: ∠AQR + ∠PQC = 180°. (No, these are adjacent).

                        6. From (2), ∠AQR = 180° - ∠ASR.

                        7. From (3), ∠BRP = 180° - ∠BSP.

                        8. The key connection is at the point S.

                        9. Let's consider the angles in Quadrilateral CPQS:

                            ◦ ∠C is the angle of triangle ABC.

                            ◦ We need to find ∠PQS, ∠QSP, ∠SPC.

                        10. The standard proof for Miquel Point states that:

                            ◦ ∠RSP + ∠RBP = 180° (from cyclic quad BRSP). So ∠RSP = 180° - ∠B.

                            ◦ ∠RSQ + ∠RAQ = 180° (from cyclic quad ARSQ). So ∠RSQ = 180° - ∠A.

                            ◦ Now, consider the angle ∠C.

                            ◦ ∠PSQ = 360° - (∠RSP + ∠RSQ) if P, Q, R are not linear around S.

                            ◦ This hint about "angles formed at S with A, B, C" is crucial.

                            ◦ Let's re-examine exterior angle property of cyclic quads:

                                ▪ In cyclic quad ASRQ, exterior angle at R (∠SRX) = ∠A. So ∠ARS = 180° - ∠A. (No, this is wrong. It should be ∠SQA or ∠QRA).

                                ▪ Exterior angle to AQSR at Q: Extend CQ to a point X. Then ∠AQX = ∠ASR. No.

                                ▪ The exterior angle at a vertex of a cyclic quadrilateral is equal to the interior opposite angle.

                                ▪ Consider the vertices A, Q, S, R (on the first circle).

                                ▪ Angle ∠SRA is the internal angle. The angle supplementary to it is the external angle.

                                ▪ Let's stick to the hint for ∠A, ∠B, ∠C.

                                ▪ ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

                                ▪ We want to prove that CPQS is cyclic. We want to show ∠CQP + ∠CSP = 180°.

                                ▪ In cyclic quad ASRQ, ∠ARS + ∠AQS = 180°.

                                ▪ In cyclic quad BSRP, ∠BRP + ∠BSP = 180°.

                                ▪ Since R is on AB, ∠ARB is a straight line. So ∠ARQ + ∠BRP = 180 - ∠QRP (if R is between A and B).

                                ▪ From (1) and (2) (angles of the cyclic quads):

                                    • ∠AQS = ∠ARS (angles in segment for circle ASRQ).

                                    • ∠BRP = ∠BSP (angles in segment for circle BSRP).

                                ▪ Consider the angles on the line AB. ∠ARQ + ∠QRP + ∠BRP = 180 (if R is interior).

                                ▪ This is a standard proof. I'll rely on the core theorem properties given in the text.

                                ▪ Let's find ∠QSP and ∠QCP.

                                ▪ ∠RSP = 180° - ∠RBP (opposite angles in cyclic quad BSRP). So ∠RSP = 180° - ∠B.

                                ▪ ∠RSQ = 180° - ∠RAQ (opposite angles in cyclic quad ASRQ). So ∠RSQ = 180° - ∠A.

                                ▪ Now, look at the angles of ΔABC. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

                                ▪ Angle ∠PSQ = 360° - ∠RSP - ∠RSQ = 360° - (180° - ∠B) - (180° - ∠A) = ∠A + ∠B.

                                ▪ We need to show ∠PSQ + ∠PCQ = 180°.

                                ▪ So we need (∠A + ∠B) + ∠C = 180°. Which is true for a triangle.

                                ▪ This means that ∠PSQ + ∠C = 180°.

                                ▪ Therefore, the quadrilateral CPQS is cyclic.

                                ▪ This implies that the circumcircle of triangle CPQ also passes through S.

--------------------------------------------------------------------------------

Part 3: Arithmetic Sequences and Algebra

Page 109/110 Questions (Algebraic Form)

1. Find the algebraic form of the arithmetic sequences given below:

    ◦ The algebraic form of an arithmetic sequence is xn = an + b, where 'a' is the common difference and 'b' = f - d (first term minus common difference).

    ◦ (i) 1, 6, 11, 16, ...

        ▪ First term (f) = 1. Common difference (d) = 6 - 1 = 5.

        ▪ xn = 5n + (1 - 5) = 5n - 4.

    ◦ (ii) 2, 7, 12, 17, ...

        ▪ First term (f) = 2. Common difference (d) = 7 - 2 = 5.

        ▪ xn = 5n + (2 - 5) = 5n - 3.

    ◦ (iii) 21, 32, 43, 54, ...

        ▪ First term (f) = 21. Common difference (d) = 32 - 21 = 11.

        ▪ xn = 11n + (21 - 11) = 11n + 10.

    ◦ (iv) 19, 28, 37, ...

        ▪ First term (f) = 19. Common difference (d) = 28 - 19 = 9.

        ▪ xn = 9n + (19 - 9) = 9n + 10.

    ◦ (v) 1/2, 1, 1 1/2, 2, 2 1/2, ...

        ▪ First term (f) = 1/2. Common difference (d) = 1 - 1/2 = 1/2.

        ▪ xn = (1/2)n + (1/2 - 1/2) = (1/2)n.

    ◦ (vi) 1/6, 1/3, 1/2, ... (Convert to common denominators: 1/6, 2/6, 3/6, ...)

        ▪ First term (f) = 1/6. Common difference (d) = 1/3 - 1/6 = 2/6 - 1/6 = 1/6.

        ▪ xn = (1/6)n + (1/6 - 1/6) = (1/6)n.

2. The terms of some arithmetic sequences in two specified positions are given below. Find the algebraic form of each:

    ◦ (i) 1st term 5, 10th term 23

        ▪ f = 5.

        ▪ 10th term = f + 9d = 23.

        ▪ 5 + 9d = 23 => 9d = 18 => d = 2.

        ▪ xn = dn + (f - d) = 2n + (5 - 2) = 2n + 3.

    ◦ (ii) 1st term 5, 7th term 23

        ▪ f = 5.

        ▪ 7th term = f + 6d = 23.

        ▪ 5 + 6d = 23 => 6d = 18 => d = 3.

        ▪ xn = dn + (f - d) = 3n + (5 - 3) = 3n + 2.

    ◦ (iii) 5th term 10, 10th term 5

        ▪ Difference in terms = 5 - 10 = -5.

        ▪ Difference in positions = 10 - 5 = 5.

        ▪ d = -5 / 5 = -1.

        ▪ 5th term = f + 4d = 10.

        ▪ f + 4(-1) = 10 => f - 4 = 10 => f = 14.

        ▪ xn = dn + (f - d) = -1n + (14 - (-1)) = -n + 15.

    ◦ (iv) 8th term 2, 12th term 8

        ▪ Difference in terms = 8 - 2 = 6.

        ▪ Difference in positions = 12 - 8 = 4.

        ▪ d = 6 / 4 = 3/2.

        ▪ 8th term = f + 7d = 2.

        ▪ f + 7(3/2) = 2 => f + 21/2 = 2 => f = 4/2 - 21/2 = -17/2.

        ▪ xn = dn + (f - d) = (3/2)n + (-17/2 - 3/2) = (3/2)n - 20/2 = (3/2)n - 10.

3. Prove that the arithmetic sequence with first term 1/3 and common difference 1/6 contains all natural numbers.

    ◦ First term (f) = 1/3. Common difference (d) = 1/6.

    ◦ Algebraic form: xn = dn + (f - d) = (1/6)n + (1/3 - 1/6) = (1/6)n + (2/6 - 1/6) = (1/6)n + 1/6.

    ◦ So, xn = (n+1)/6.

    ◦ For xn to be a natural number (k), we need (n+1)/6 = k.

    ◦ This implies n+1 = 6k, or n = 6k - 1.

    ◦ Since k can be any natural number (1, 2, 3, ...), for each k, we can find a natural number n (n=5, 11, 17, ...).

    ◦ For example:

        ▪ If k=1, n=5, x5 = (5+1)/6 = 1.

        ▪ If k=2, n=11, x11 = (11+1)/6 = 2.

    ◦ Thus, every natural number is a term in this sequence.

4. Prove that the arithmetic sequence with first term 1/3 and common difference 2/3 contains all odd numbers, but no even numbers.

    ◦ First term (f) = 1/3. Common difference (d) = 2/3.

    ◦ Algebraic form: xn = dn + (f - d) = (2/3)n + (1/3 - 2/3) = (2/3)n - 1/3 = (2n-1)/3.

    ◦ To contain all odd numbers: Let xn = k, where k is an odd number.

        ▪ (2n-1)/3 = k => 2n-1 = 3k.

        ▪ Since k is odd, 3k is odd. (e.g., if k=1, 3k=3; if k=3, 3k=9).

        ▪ Since 2n is an even number, 2n-1 is always an odd number.

        ▪ So, 2n-1 can always be equal to 3k for any odd k.

        ▪ For example: If k=1 (odd), 2n-1 = 3 => 2n=4 => n=2. (x2 = (2*2-1)/3 = 3/3 = 1).

        ▪ If k=3 (odd), 2n-1 = 9 => 2n=10 => n=5. (x5 = (2*5-1)/3 = 9/3 = 3).

        ▪ So, this sequence contains all odd numbers.

    ◦ To contain no even numbers: Let xn = k, where k is an even number.

        ▪ (2n-1)/3 = k => 2n-1 = 3k.

        ▪ If k is even, 3k is even. (e.g., if k=2, 3k=6; if k=4, 3k=12).

        ▪ However, 2n-1 is always an odd number. An odd number cannot be equal to an even number.

        ▪ Therefore, this sequence does not contain any even numbers.

5. Prove that in the arithmetic sequence 4, 7, 10, ... the squares of all terms are also terms of the sequence.

    ◦ First term (f) = 4. Common difference (d) = 7 - 4 = 3.

    ◦ Algebraic form: xn = dn + (f - d) = 3n + (4 - 3) = 3n + 1.

    ◦ So, any term in the sequence is of the form 3k + 1 for some natural number k (where k is n in this case).

    ◦ Now consider the square of any term: (3n + 1)^2.

    ◦ (3n + 1)^2 = (3n)^2 + 2(3n)(1) + 1^2 = 9n^2 + 6n + 1.

    ◦ We want to check if 9n^2 + 6n + 1 is also of the form 3m + 1 for some natural number m.

    ◦ 9n^2 + 6n + 1 = 3(3n^2 + 2n) + 1.

    ◦ Let m = 3n^2 + 2n. Since n is a natural number (1, 2, 3, ...), 3n^2 + 2n will also be a natural number.

    ◦ For n=1, m=3(1)^2+2(1)=5. The first term squared is 4^2=16. 16 = 3(5)+1.

    ◦ For n=2, m=3(2)^2+2(2)=12+4=16. The second term squared is 7^2=49. 49 = 3(16)+1.

    ◦ Therefore, the square of any term in the sequence (which is of the form 3k+1) will also be of the form 3m+1, and thus is also a term of the sequence.

6. Prove that the arithmetic sequence 5, 8, 11, ... does not contain any perfect square.

    ◦ First term (f) = 5. Common difference (d) = 8 - 5 = 3.

    ◦ Algebraic form: xn = dn + (f - d) = 3n + (5 - 3) = 3n + 2.

    ◦ So, any term in this sequence is of the form 3k + 2 (where k is n in this case).

    ◦ Now consider perfect squares. Any integer m can be written in one of three forms when divided by 3:

        ▪ m = 3q (leaves remainder 0)

        ▪ m = 3q + 1 (leaves remainder 1)

        ▪ m = 3q + 2 (leaves remainder 2)

    ◦ Let's look at the squares of these forms:

        ▪ If m = 3q, then m^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2). This is of the form 3k (remainder 0).

        ▪ If m = 3q + 1, then m^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1. This is of the form 3k + 1 (remainder 1).

        ▪ If m = 3q + 2, then m^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1. This is of the form 3k + 1 (remainder 1).

    ◦ Conclusion: Any perfect square, when divided by 3, will always leave a remainder of 0 or 1.

    ◦ Since all terms in the sequence 5, 8, 11, ... are of the form 3k + 2 (they leave a remainder of 2 when divided by 3), they cannot be perfect squares.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 112 Question (Unnumbered, Discussion)

• In the sequence of all even numbers, the square of each term is also a term of the sequence. How about other powers? What about the sequence of odd numbers? Are there other arithmetic sequences in which the powers of every term is again a term of the sequence?

    ◦ Sequence of even numbers: 2, 4, 6, ...

        ▪ Algebraic form: xn = 2n.

        ▪ Square of a term (xn)^2 = (2n)^2 = 4n^2. This is an even number, so it is a term of the sequence (specifically, it's the 2n^2-th term if we use the same formula). So, squares of even numbers are terms of the sequence of even numbers.

        ▪ Other powers: (2n)^k. If k >= 1, this is an even number. So all positive integer powers of even numbers are terms of the sequence of even numbers.

    ◦ Sequence of odd numbers: 1, 3, 5, ...

        ▪ Algebraic form: xn = 2n - 1.

        ▪ Square of a term (xn)^2 = (2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1 = 2(2n^2 - 2n) + 1. This is an odd number. So, squares of odd numbers are terms of the sequence of odd numbers.

        ▪ Other powers: (2n - 1)^k. If k >= 1, an odd number raised to any positive integer power is still an odd number. So, all positive integer powers of odd numbers are terms of the sequence of odd numbers.

    ◦ Are there other arithmetic sequences in which the powers of every term is again a term of the sequence?

        ▪ Consider a general arithmetic sequence: xn = dn + (f-d).

        ▪ If d=0 (constant sequence, e.g., 5, 5, 5, ...), then xn=f. Any power of f, f^k, is also f if f=1 or f=0. If f=5, then f^2=25, which is not 5. So, for a constant sequence to have its powers be terms, the term must be 0 or 1. (e.g., 1, 1, 1, ...).

        ▪ Consider the sequence 4, 7, 10, ... (form 3n+1). We proved that squares are terms. What about cubes? (3n+1)^3 = 27n^3 + 27n^2 + 9n + 1 = 3(9n^3 + 9n^2 + 3n) + 1. This is also of the form 3k+1. So, cubes are terms.

        ▪ In general, if an arithmetic sequence has terms of the form kd+r, and if r is 0 or 1, and d is sufficiently related to r, then powers of terms might be terms. For example, if a sequence is of the form Ad + B (where B is the remainder modulo d), then (Ad+B)^k would be of the form some_multiple_of_d + B^k. For the power to be a term, B^k must have the same remainder as B when divided by d.

        ▪ For 3n+1, 1^k = 1, so the remainder is always 1. So, any positive integer power of a term in 4, 7, 10, ... will also be a term in the sequence.

        ▪ For 2n (even numbers), 0^k = 0 (mod 2). (2n)^k = 2 * (2^(k-1) * n^k), always even.

        ▪ For 2n-1 (odd numbers), 1^k = 1 (mod 2). (2n-1)^k = odd number.

        ▪ It seems that sequences of the form dn+r where r is a multiple of d (i.e., r = 0, like 2n, 3n) or r = 1 (like 2n-1, 3n+1) often exhibit this property for all powers. This happens because (dk+r)^p mod d will be r^p mod d. If r^p mod d = r, then powers will be terms. If r=0, then 0^p mod d = 0. If r=1, then 1^p mod d = 1. These are common cases.

--------------------------------------------------------------------------------

Page 127/128/129 Questions (Sums of Arithmetic Sequences)

1. Calculate in head the sum of the arithmetic sequences below:

    ◦ Principle: Sum of n terms = (n/2) * (first term + last term). Or for natural numbers 1 to n, sum = n(n+1)/2.

    ◦ (i) 51 + 52 + 53 + ... + 70

        ▪ This is a sequence of consecutive natural numbers.

        ▪ Number of terms (n) = 70 - 51 + 1 = 20.

        ▪ First term = 51, Last term = 70.

        ▪ Sum = (20/2) * (51 + 70) = 10 * 121 = 1210.

    ◦ (ii) 1/2 + 1 + 1 1/2 + ... + 12 1/2

        ▪ Sequence: 0.5, 1, 1.5, ..., 12.5.

        ▪ First term (f) = 0.5. Common difference (d) = 0.5.

        ▪ Last term (xn) = 12.5.

        ▪ xn = f + (n-1)d => 12.5 = 0.5 + (n-1)0.5 => 12 = (n-1)0.5 => n-1 = 24 => n = 25.

        ▪ Number of terms = 25.

        ▪ Sum = (25/2) * (0.5 + 12.5) = (25/2) * 13 = 25 * 6.5 = 162.5.

    ◦ (iii) 1/2 + 1 + 1 1/2 + 2 + 2 1/2 + ... + 12 1/2 (This is the same as (ii))

        ▪ Sum: 162.5.

    ◦ (iv) 1/101 + 3/101 + 5/101 + ... + 201/101

        ▪ This is (1/101) * (1 + 3 + 5 + ... + 201).

        ▪ The sequence inside the parenthesis (1, 3, 5, ..., 201) is the sequence of odd numbers.

        ▪ The nth odd number is 2n - 1. So, 2n - 1 = 201 => 2n = 202 => n = 101.

        ▪ The sum of the first n odd numbers is n^2.

        ▪ Sum of 1 + 3 + ... + 201 = 101^2 = 10201.

        ▪ Total sum = (1/101) * 10201 = 101.

2. Calculate the sum of the first 25 terms of each of the arithmetic sequences below: