SSLC: SCERT Maths Notes

 👉English

അധ്യായം 1: അങ്കഗണിത ശ്രേണികൾ
വിഭാഗം: സംഖ്യാ പാറ്റേണുകൾ
(1) കുത്തുകൾ അടുക്കിക്കൊണ്ട് നമുക്ക് ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം: ഓരോ ത്രികോണത്തിലുമുള്ള കുത്തുകളുടെ എണ്ണം എഴുതുക. ഈ പാറ്റേണിലെ അടുത്ത മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ ആവശ്യമായ കുത്തുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം: ത്രികോണങ്ങളിലെ കുത്തുകളുടെ പാറ്റേൺ, ഓരോ പുതിയ ത്രികോണത്തിലും മുൻപത്തെ വരിയുടെ നീളത്തിലേക്ക് ഒരു കുത്ത് കൂടി ചേർക്കുന്നു:

• ഒന്നാം ത്രികോണം: 1 കുത്ത്
• രണ്ടാം ത്രികോണം: 1 + 2 = 3 കുത്തുകൾ
• മൂന്നാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 = 6 കുത്തുകൾ
• നാലാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 കുത്തുകൾ
• അടുത്ത മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങൾ (അഞ്ചാം, ആറാം, ഏഴാം):
  • അഞ്ചാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 കുത്തുകൾ
  • ആറാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 കുത്തുകൾ
  • ഏഴാം ത്രികോണം: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 കുത്തുകൾ

(2) സമഭുജ ത്രികോണം, സമചതുരം, ക്രമമായ പഞ്ചഭുജം എന്നിങ്ങനെയുള്ള ക്രമബഹുഭുജങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്ന ശ്രേണികൾ രൂപീകരിക്കുക:

• വശങ്ങളുടെ എണ്ണം
• അകക്കോണുകളുടെ തുക
• പുറംകോണുകളുടെ തുക
• ഒരു അകക്കോൺ
• ഒരു പുറംകോൺ
  പരിഹാരം: ക്രമബഹുഭുജങ്ങളുടെ ശ്രേണിക്ക് (സമഭുജ ത്രികോണം, സമചതുരം, ക്രമമായ പഞ്ചഭുജം, തുടങ്ങിയവ):
• വശങ്ങളുടെ എണ്ണം: 3, 4, 5, 6, ... ഇത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്.
• അകക്കോണുകളുടെ തുക: 180, 360, 540, ... ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണ്, 180-ൽ തുടങ്ങി തുടർച്ചയായി 180 കൂട്ടുന്നു.
• പുറംകോണുകളുടെ തുക: 360, 360, 360, ... ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണ്, 360-ൽ തുടങ്ങി ഓരോ ഘട്ടത്തിലും 0 കൂട്ടുന്നു.
• ഒരു അകക്കോൺ:
  • സമഭുജ ത്രികോണത്തിന് (3 വശങ്ങൾ): 180 / 3 = 60.
  • സമചതുരത്തിന് (4 വശങ്ങൾ): 360 / 4 = 90.
  • ക്രമമായ പഞ്ചഭുജത്തിന് (5 വശങ്ങൾ): 540 / 5 = 108.
  • ശ്രേണി: 60, 90, 108, ... ഇത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്. (ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയല്ല, കാരണം 90-60=30 ഉം 108-90=18 ഉം ആണ്, വ്യത്യാസം ഒരുപോലെയല്ല).
• ഒരു പുറംകോൺ:
  • സമഭുജ ത്രികോണത്തിന് (3 വശങ്ങൾ): 360 / 3 = 120.
  • സമചതുരത്തിന് (4 വശങ്ങൾ): 360 / 4 = 90.
  • ക്രമമായ പഞ്ചഭുജത്തിന് (5 വശങ്ങൾ): 360 / 5 = 72.
  • ശ്രേണി: 120, 90, 72, ... ഇത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്. (ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയല്ല, കാരണം 90-120=-30 ഉം 72-90=-18 ഉം ആണ്, വ്യത്യാസം ഒരുപോലെയല്ല).

(3) 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയും, 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 2 ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയും എഴുതുക.
പരിഹാരം:

• 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ:
  • (3 × 0) + 1 = 1
  • (3 × 1) + 1 = 4
  • (3 × 2) + 1 = 7
  • ശ്രേണി: 1, 4, 7, ... ഇത് 3 പൊതുവ്യത്യാസമുള്ള ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണ്.
• 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 2 ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ:
  • (3 × 0) + 2 = 2
  • (3 × 1) + 2 = 5
  • (3 × 2) + 2 = 8
  • ശ്രേണി: 2, 5, 8, ... ഇത് 3 പൊതുവ്യത്യാസമുള്ള ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണ്.

(4) അവസാന അക്കം 1 ഓ 6 ഓ ആയ എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ എഴുതുക. ഈ ശ്രേണിയെ മറ്റ് രണ്ട് രീതികളിൽ വിവരിക്കുക.
പരിഹാരം:

• ആരോഹണ ക്രമത്തിലുള്ള ശ്രേണി:
  • 1, 6, 11, 16, 21, 26, ...
• ഈ ശ്രേണിയെ വിവരിക്കാനുള്ള മറ്റ് രണ്ട് വഴികൾ:
  1. അങ്കഗണിത ശ്രേണി: ഇത് 1-ൽ തുടങ്ങി തുടർച്ചയായി 5 കൂട്ടിക്കൊണ്ട് മുന്നോട്ട് പോകുന്ന ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണ്. പൊതുവ്യത്യാസം 5 ആണ്.
  2. ഹരിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ശിഷ്ടം: ഇത് 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ഓ 6 ഓ ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്.

(5) ഈ ചിത്രങ്ങൾ കാണുക: (ചുവന്ന ത്രികോണ പാറ്റേൺ) (i) ഓരോ ചിത്രത്തിലും എത്ര ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുണ്ട്? (ii) മുഴുവൻ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 1 എന്ന് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക. (iii) ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും എല്ലാ ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെയും ആകെ വിസ്തീർണ്ണം എത്രയാണ്? (iv) ഈ പ്രക്രിയ തുടർന്നാൽ ലഭിക്കുന്ന മൂന്ന് ശ്രേണികളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
പരിഹാരം: നമുക്ക് ചിത്രങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാം:

• ചിത്രം 1: 3 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. മുഴുവൻ ത്രികോണത്തെയും 4 ചെറിയ സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു (3 ചുവപ്പ്, 1 വെളുപ്പ് നടുക്ക്).
• ചിത്രം 2: ചിത്രം 1-ലെ 3 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളിൽ ഓരോന്നിനും ഇതേ പ്രക്രിയ നടപ്പിലാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഈ 3 ത്രികോണങ്ങളിൽ ഓരോന്നിനും ഇപ്പോൾ 3 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ വീതമുണ്ട്.
• ചിത്രം 3: പ്രക്രിയ വീണ്ടും ആവർത്തിക്കുന്നു.

(i) ഓരോ ചിത്രത്തിലും എത്ര ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുണ്ട്?

• ചിത്രം 1: 3 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ.
• ചിത്രം 2: 3 × 3 = 9 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ.
• ചിത്രം 3: 9 × 3 = 27 ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങൾ.
• ശ്രേണി: 3, 9, 27, ...

(ii) മുഴുവൻ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 1 എന്ന് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

• ചിത്രം 1: മുഴുവൻ ത്രികോണത്തെയും 4 തുല്യ ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 1/4 ആണ്.
• ചിത്രം 2: ചിത്രം 1-ലെ ഓരോ ചെറിയ ത്രികോണത്തെയും ഇപ്പോൾ 4 അതിലും ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ചിത്രം 2-ലെ ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (1/4) × (1/4) = 1/16 ആണ്.
• ചിത്രം 3: ചിത്രം 3-ലെ ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (1/16) × (1/4) = 1/64 ആണ്.
• ശ്രേണി: 1/4, 1/16, 1/64, ...

(iii) ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും എല്ലാ ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെയും ആകെ വിസ്തീർണ്ണം എത്രയാണ്?

• ചിത്രം 1: ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം = ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം × ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 3 × (1/4) = 3/4.
• ചിത്രം 2: ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം = 9 × (1/16) = 9/16.
• ചിത്രം 3: ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം = 27 × (1/64) = 27/64.
• ശ്രേണി: 3/4, 9/16, 27/64, ...

(iv) ഈ പ്രക്രിയ തുടർന്നാൽ ലഭിക്കുന്ന മൂന്ന് ശ്രേണികളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക. നമുക്ക് ശ്രേണികളെ T (ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം), A_small (ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം), A_total (ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.

• T (ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം):
  • പദം 1: 3
  • പദം 2: 9
  • പദം 3: 27
  • പദം 4: 27 × 3 = 81
  • പദം 5: 81 × 3 = 243
  • ശ്രേണി: 3, 9, 27, 81, 243, ...
• A_small (ഒരു ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം):
  • പദം 1: 1/4
  • പദം 2: 1/16
  • പദം 3: 1/64
  • പദം 4: (1/64) × (1/4) = 1/256
  • പദം 5: (1/256) × (1/4) = 1/1024
  • ശ്രേണി: 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, 1/1024, ...
• A_total (എല്ലാ ചുവന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെയും ആകെ വിസ്തീർണ്ണം):
  • പദം 1: 3/4
  • പദം 2: 9/16
  • പദം 3: 27/64
  • പദം 4: (27/64) × (3/4) = 81/256
  • പദം 5: (81/256) × (3/4) = 243/1024
  • ശ്രേണി: 3/4, 9/16, 27/64, 81/256, 243/1024, ...

വിഭാഗം: അങ്കഗണിത ശ്രേണികൾ
(1) താഴെ നൽകിയിട്ടുള്ള ഓരോ ശ്രേണിയും അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക. കാരണവും നൽകുക. അങ്കഗണിത ശ്രേണികളുടെ പൊതുവ്യത്യാസങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക: (i) 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ (ii) 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ഓ 2 ഓ ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ (iii) എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ (iv) എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ (v) 2-ന്റെ കൃതികൾ (vi) ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ പകുതി
പരിഹാരം: ഒരു ശ്രേണി അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണെങ്കിൽ, ഒരു പദത്തിൽ നിന്ന് അടുത്തതിലേക്ക് പോകാൻ ഒരേ സംഖ്യ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു. ഈ സംഖ്യയെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്ന് പറയുന്നു, ഇത് ഏതെങ്കിലും പദത്തിൽ നിന്ന് അതിന് മുൻപുള്ള പദം കുറച്ചാൽ ലഭിക്കും.

(i) 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ:

• ശ്രേണി: 1, 5, 9, 13, ...
• വ്യത്യാസങ്ങൾ: 5-1=4, 9-5=4, 13-9=4.
• കാരണം: തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമായി 4 ആണ്.
• ഉപസംഹാരം: ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണ്.
• പൊതുവ്യത്യാസം: 4.

(ii) 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ഓ 2 ഓ ലഭിക്കുന്ന എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ:

• ശ്രേണി: 1, 2, 5, 6, 9, 10, ...
• വ്യത്യാസങ്ങൾ: 2-1=1, 5-2=3, 6-5=1, 9-6=3.
• കാരണം: തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ (1, 3, 1, 3) ഒരുപോലെയല്ല.
• ഉപസംഹാരം: ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയല്ല.

(iii) എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ:

• ശ്രേണി: 1², 2², 3², 4², ... അതായത് 1, 4, 9, 16, ...
• വ്യത്യാസങ്ങൾ: 4-1=3, 9-4=5, 16-9=7.
• കാരണം: തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ (3, 5, 7) ഒരുപോലെയല്ല.
• ഉപസംഹാരം: ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയല്ല.

(iv) എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ:

• ശ്രേണി: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... അതായത് 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
• വ്യത്യാസങ്ങൾ: (1/2)-1 = -1/2, (1/3)-(1/2) = -1/6, (1/4)-(1/3) = -1/12.
• കാരണം: തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ (-1/2, -1/6, -1/12) ഒരുപോലെയല്ല.
• ഉപസംഹാരം: ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയല്ല.

(v) 2-ന്റെ കൃതികൾ:

• ശ്രേണി: 2¹, 2², 2³, 2⁴, ... അതായത് 2, 4, 8, 16, ...
• വ്യത്യാസങ്ങൾ: 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8.
• കാരണം: തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ (2, 4, 8) ഒരുപോലെയല്ല.
• ഉപസംഹാരം: ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയല്ല.

(vi) ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ പകുതി:

• ഒറ്റ സംഖ്യകൾ: 1, 3, 5, 7, ...
• ശ്രേണി: 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, ...
• വ്യത്യാസങ്ങൾ: (3/2)-(1/2) = 1, (5/2)-(3/2) = 1, (7/2)-(5/2) = 1.
• കാരണം: തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സ്ഥിരമായി 1 ആണ്.
• ഉപസംഹാരം: ഇത് ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണ്.
• പൊതുവ്യത്യാസം: 1.

(2) ഈ ചിത്രങ്ങൾ കാണുക: (വിവിധ വലുപ്പത്തിലുള്ള സമചതുരങ്ങൾ) (i) ഓരോ ചിത്രത്തിലും എത്ര ചെറിയ സമചതുരങ്ങളുണ്ട്? (ii) എത്ര വലിയ സമചതുരങ്ങളുണ്ട്? (iii) ഓരോ ചിത്രത്തിലും ആകെ എത്ര സമചതുരങ്ങളുണ്ട്? നമ്മൾ ചിത്രങ്ങളുടെ പാറ്റേൺ തുടരുകയാണെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള ശ്രേണികൾ അങ്കഗണിത ശ്രേണികളാണോ?
പരിഹാരം: നമുക്ക് ചിത്രങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാം:

• ചിത്രം 1: 1 ചെറിയ സമചതുരം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു വലിയ സമചതുരം.
• ചിത്രം 2: 2x2 ചെറിയ സമചതുരങ്ങളുടെ ഒരു ഗ്രിഡ് (4 ചെറിയ സമചതുരങ്ങൾ), 1 വലിയ സമചതുരം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ആകെ സമചതുരങ്ങൾ: 4 ചെറിയ + 1 വലിയ = 5.
• ചിത്രം 3: 3x3 ചെറിയ സമചതുരങ്ങളുടെ ഒരു ഗ്രിഡ് (9 ചെറിയ സമചതുരങ്ങൾ), 4 (2x2) വലിയ സമചതുരങ്ങളും 1 (3x3) ഏറ്റവും വലിയ സമചതുരവും ഉണ്ടാക്കുന്നു. ആകെ സമചതുരങ്ങൾ: 9 + 4 + 1 = 14.

(i) ഓരോ ചിത്രത്തിലും എത്ര ചെറിയ സമചതുരങ്ങളുണ്ട്?

• ചിത്രം 1: 1 ചെറിയ സമചതുരം (1x1).
• ചിത്രം 2: 4 ചെറിയ സമചതുരങ്ങൾ (2x2).
• ചിത്രം 3: 9 ചെറിയ സമചതുരങ്ങൾ (3x3).
• ശ്രേണി: 1, 4, 9, ... (എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ).
• ഇതൊരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണോ? ഇല്ല, വ്യത്യാസങ്ങൾ 3, 5 ആണ് [ഭാഗം (1) (iii) മുകളിൽ].

(ii) എത്ര വലിയ സമചതുരങ്ങൾ?

• ചിത്രം 1: 0 വലിയ സമചതുരങ്ങൾ (1x1 ഗ്രിഡ് മാത്രം).
• ചിത്രം 2: 1 വലിയ സമചതുരം (2x2 ഗ്രിഡ്).
• ചിത്രം 3: 5 വലിയ സമചതുരങ്ങൾ (4 എണ്ണം 2x2 വലുപ്പമുള്ളവ + 1 എണ്ണം 3x3 വലുപ്പമുള്ളവ).
• ശ്രേണി: 0, 1, 5, ...
• ഇതൊരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണോ? ഇല്ല, വ്യത്യാസങ്ങൾ 1, 4 ആണ്.

(iii) ഓരോ ചിത്രത്തിലും ആകെ എത്ര സമചതുരങ്ങളുണ്ട്?

• ചിത്രം 1: 1 (1x1).
• ചിത്രം 2: 5 (4 ചെറിയ + 1 വലിയ).
• ചിത്രം 3: 14 (9 ചെറിയ + 4 ഇടത്തരം + 1 വലിയ).
• ശ്രേണി: 1, 5, 14, ...
• ഇതൊരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണോ? ഇല്ല, വ്യത്യാസങ്ങൾ 4, 9 ആണ്.

അങ്കഗണിത ശ്രേണികളെക്കുറിച്ചുള്ള ഉപസംഹാരം: മൂന്ന് ശ്രേണികളും (ചെറിയ സമചതുരങ്ങളുടെ എണ്ണം, വലിയ സമചതുരങ്ങളുടെ എണ്ണം, ആകെ സമചതുരങ്ങൾ) അങ്കഗണിത ശ്രേണികളല്ല, കാരണം അവയുടെ തുടർച്ചയായ വ്യത്യാസങ്ങൾ സ്ഥിരമല്ല.

(3) താഴെ കൊടുത്ത ചിത്രത്തിൽ, താഴത്തെ വരയിൽ നിന്ന് വരച്ച ലംബങ്ങൾ തുല്യ അകലത്തിലാണ്. ഇത് തുടർന്നാൽ, ലംബങ്ങളുടെ ഉയരങ്ങളുടെ ശ്രേണി ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക. (സൂചന: ഓരോ ലംബത്തിന്റെയും മുകളിൽ നിന്ന് അടുത്ത ലംബത്തിലേക്ക് ലംബങ്ങൾ വരയ്ക്കുക)
പരിഹാരം: ആദ്യത്തെ ലംബത്തിന്റെ ഉയരം h1 ഉം രണ്ടാമത്തേത് h2 ഉം ആയിരിക്കട്ടെ. ആദ്യത്തെ ലംബത്തിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് അടുത്ത ലംബത്തിലേക്ക് ഒരു തിരശ്ചീന രേഖ വരയ്ക്കുക. ഇത് ഒരു മട്ടത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ലംബങ്ങൾ തുല്യ അകലത്തിലായതിനാൽ, അവ തമ്മിലുള്ള തിരശ്ചീന ദൂരം d ആയിരിക്കട്ടെ. താഴെ ഇടതുവശത്തുള്ള കോൺ θ ആയിരിക്കട്ടെ. ഈ കോൺ, തിരശ്ചീനമായ മുകളിലെ വരയും തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ലംബങ്ങളും ചേർന്ന് ഉണ്ടാക്കുന്ന എല്ലാ അത്തരം ത്രികോണങ്ങൾക്കും പൊതുവാണ്. ആദ്യത്തെ രണ്ട് ലംബങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ഭാഗത്തിന്: h2 - h1 = d * tan(θ) (ഇവിടെ tan(θ) മുകളിലെ വരയുടെ ചരിവാണ്). ലംബങ്ങൾ തുല്യ അകലത്തിലായതുകൊണ്ട്, d സ്ഥിരമാണ്. മുകളിലെ വര ഒരു നേർരേഖയായതുകൊണ്ട്, അതിന്റെ ചരിവ് (കോൺ θ) സ്ഥിരമാണ്. അതിനാൽ, അടുത്തടുത്തുള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ലംബങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഉയരങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം സ്ഥിരമായിരിക്കും.

• ആദ്യത്തെ ലംബത്തിന്റെ ഉയരം x1 ആയിരിക്കട്ടെ.
• ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ലംബങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഉയരത്തിലെ വ്യത്യാസം d1.
• രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ലംബങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഉയരത്തിലെ വ്യത്യാസം d2.
• ലംബങ്ങൾ തുല്യ അകലത്തിലായതുകൊണ്ടും സ്ഥിരമായ ഒരു പാറ്റേൺ രൂപീകരിക്കുന്നതുകൊണ്ടും, d1 = d2 = d3 = ... = പൊതുവ്യത്യാസം.
• ഉയരങ്ങൾ h_1, h_2, h_3, ... ആയിരിക്കട്ടെ.
• അപ്പോൾ h_2 - h_1 = c, h_3 - h_2 = c, തുടങ്ങിയവ, ഒരു സ്ഥിരമായ c-ക്ക്.
• കാരണം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ, ഏതെങ്കിലും പദത്തിൽ നിന്ന് അടുത്ത പദത്തിലേക്ക് പോകാൻ ഒരേ സംഖ്യ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു. ഇവിടെ, സ്ഥിരമായ തിരശ്ചീന അകലം d ഉം മുകളിലെ വരയുടെ സ്ഥിരമായ ചരിവും ഓരോ തുടർന്നുള്ള ലംബത്തിനും സ്ഥിരമായ ലംബ വർദ്ധനവ് c ഉറപ്പാക്കുന്നു.
• ഉപസംഹാരം: ലംബങ്ങളുടെ ഉയരങ്ങളുടെ ശ്രേണി ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണി രൂപീകരിക്കുന്നു.

വിഭാഗം: സ്ഥാനവും പദവും
അപൂർണ്ണ ശ്രേണികളുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ (വിഭാഗത്തിന്റെ ആദ്യ ഭാഗം): താഴെക്കൊടുത്ത ഓരോ അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലും, ചില പദങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടില്ല, എന്നാൽ ... എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക:
(i) 24, 42, , , ...
(ii) , 24, 42, , ...
(iii) , , 24, 42, ...
(iv) 24, , 42, , ...
(v) , 24, , 42, ...
(vi) 24, , , 42, ...
പരിഹാരം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിക്ക്, പൊതുവ്യത്യാസം സ്ഥിരമാണ്.
(i) 24, 42, , , ...

• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 42 - 24 = 18.
• അടുത്ത പദങ്ങൾ: 42 + 18 = 60, 60 + 18 = 78.
• ശ്രേണി: 24, 42, 60, 78, ...

(ii) , 24, 42, , ...

• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 42 - 24 = 18.
• മുൻപത്തെ പദം: 24 - 18 = 6.
• അടുത്ത പദം: 42 + 18 = 60.
• ശ്രേണി: 6, 24, 42, 60, ...

(iii) , , 24, 42, ...

• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 42 - 24 = 18.
• രണ്ടാം പദം: 24 - 18 = 6.
• ഒന്നാം പദം: 6 - 18 = -12.
• ശ്രേണി: -12, 6, 24, 42, ...

(iv) 24, , 42, , ...

• x1 = 24, x3 = 42 എന്ന് എടുക്കുക.
• ഒന്നാം പദത്തിൽ നിന്ന് മൂന്നാം പദത്തിലേക്ക് പോകാൻ, പൊതുവ്യത്യാസം രണ്ടുതവണ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.
• അതിനാൽ, 2d = x3 - x1 = 42 - 24 = 18.
• d = 18 / 2 = 9.
• രണ്ടാം പദം: 24 + 9 = 33.
• നാലാം പദം: 42 + 9 = 51.
• ശ്രേണി: 24, 33, 42, 51, ...

(v) , 24, , 42, ...

• x2 = 24, x4 = 42 എന്ന് എടുക്കുക.
• രണ്ടാം പദത്തിൽ നിന്ന് നാലാം പദത്തിലേക്ക് പോകാൻ, പൊതുവ്യത്യാസം രണ്ടുതവണ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.
• അതിനാൽ, 2d = x4 - x2 = 42 - 24 = 18.
• d = 18 / 2 = 9.
• ഒന്നാം പദം: 24 - 9 = 15.
• മൂന്നാം പദം: 24 + 9 = 33.
• ശ്രേണി: 15, 24, 33, 42, ...

(vi) 24, , , 42, ...

• x1 = 24, x4 = 42 എന്ന് എടുക്കുക.
• ഒന്നാം പദത്തിൽ നിന്ന് നാലാം പദത്തിലേക്ക് പോകാൻ, പൊതുവ്യത്യാസം മൂന്നുതവണ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.
• അതിനാൽ, 3d = x4 - x1 = 42 - 24 = 18.
• d = 18 / 3 = 6.
• രണ്ടാം പദം: 24 + 6 = 30.
• മൂന്നാം പദം: 30 + 6 = 36.
• ശ്രേണി: 24, 30, 36, 42, ...

നിർദ്ദിഷ്ട സ്ഥാനങ്ങളിലെ പദങ്ങൾ: താഴെക്കൊടുത്ത ചില അങ്കഗണിത ശ്രേണികളിലെ നിർദ്ദിഷ്ട സ്ഥാനങ്ങളിലെ രണ്ട് പദങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഓരോന്നിന്റെയും ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക:
(i) 3-ാം പദം 34, 6-ാം പദം 67
(ii) 3-ാം പദം 43, 6-ാം പദം 76
(iii) 3-ാം പദം 2, 5-ാം പദം 3
(iv) 5-ാം പദം 8, 9-ാം പദം 10
(v) 5-ാം പദം 7, 7-ാം പദം 5
പരിഹാരം:
(i) 3-ാം പദം 34, 6-ാം പദം 67

• സ്ഥാനമാറ്റം: 6 - 3 = 3.
• പദമാറ്റം: 67 - 34 = 33.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 33 / 3 = 11.
• ഒന്നാം പദം (x1): 3-ാം പദം - 2d = 34 - (2 × 11) = 34 - 22 = 12.
• ശ്രേണി: 12, 23, 34, 45, 56, ...

(ii) 3-ാം പദം 43, 6-ാം പദം 76

• സ്ഥാനമാറ്റം: 6 - 3 = 3.
• പദമാറ്റം: 76 - 43 = 33.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 33 / 3 = 11.
• ഒന്നാം പദം (x1): 3-ാം പദം - 2d = 43 - (2 × 11) = 43 - 22 = 21.
• ശ്രേണി: 21, 32, 43, 54, 65, ...

(iii) 3-ാം പദം 2, 5-ാം പദം 3

• സ്ഥാനമാറ്റം: 5 - 3 = 2.
• പദമാറ്റം: 3 - 2 = 1.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 1 / 2 = 0.5.
• ഒന്നാം പദം (x1): 3-ാം പദം - 2d = 2 - (2 × 0.5) = 2 - 1 = 1.
• ശ്രേണി: 1, 1.5, 2, 2.5, 3, ... അഥവാ 1, 3/2, 2, 5/2, 3, ...

(iv) 5-ാം പദം 8, 9-ാം പദം 10

• സ്ഥാനമാറ്റം: 9 - 5 = 4.
• പദമാറ്റം: 10 - 8 = 2.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 2 / 4 = 0.5.
• ഒന്നാം പദം (x1): 5-ാം പദം - 4d = 8 - (4 × 0.5) = 8 - 2 = 6.
• ശ്രേണി: 6, 6.5, 7, 7.5, 8, ... അഥവാ 6, 13/2, 7, 15/2, 8, ...

(v) 5-ാം പദം 7, 7-ാം പദം 5

• സ്ഥാനമാറ്റം: 7 - 5 = 2.
• പദമാറ്റം: 5 - 7 = -2.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = -2 / 2 = -1.
• ഒന്നാം പദം (x1): 5-ാം പദം - 4d = 7 - (4 × -1) = 7 + 4 = 11.
• ശ്രേണി: 11, 10, 9, 8, 7, ...

വിഭാഗം: സ്ഥാനങ്ങളിലും പദങ്ങളിലും മാറ്റങ്ങൾ
(1) 1, 11, 21, ... എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 25-ാമത്തെ പദം എത്രയാണ്?
പരിഹാരം:

• ഒന്നാം പദം (x1) = 1.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 11 - 1 = 10.
• 25-ാമത്തെ പദം (x25) കണ്ടെത്താൻ, ഒന്നാം പദത്തിൽ നിന്ന് തുടങ്ങി, സ്ഥാനം 25 - 1 = 24 വർദ്ധിക്കുന്നു.
• 25-ാമത്തെ പദം = x1 + (24 × d) = 1 + (24 × 10) = 1 + 240 = 241.

(2) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 10-ാമത്തെ പദം 46 ഉം 11-ാമത്തെ പദം 51 ഉം ആണ്. (i) അതിന്റെ ഒന്നാം പദം എത്രയാണ്? (ii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
പരിഹാരം:

• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 11-ാമത്തെ പദം - 10-ാമത്തെ പദം = 51 - 46 = 5.
  (i) അതിന്റെ ഒന്നാം പദം എത്രയാണ്?
• 10-ാമത്തെ പദത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നാം പദത്തിലേക്ക് എത്താൻ, സ്ഥാനം 10 - 1 = 9 കുറയ്ക്കണം.
• ഒന്നാം പദം = 10-ാമത്തെ പദം - (9 × d) = 46 - (9 × 5) = 46 - 45 = 1.
  (ii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
• ഒന്നാം പദം = 1, പൊതുവ്യത്യാസം = 5.
• ശ്രേണി: 1, 6, 11, 16, 21, ...

(3) 100, 95, 90, ... എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 21-ാമത്തെ പദം എത്രയാണ്?
പരിഹാരം:

• ഒന്നാം പദം (x1) = 100.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 95 - 100 = -5.
• 21-ാമത്തെ പദം (x21) കണ്ടെത്താൻ, ഒന്നാം പദത്തിൽ നിന്ന് തുടങ്ങി, സ്ഥാനം 21 - 1 = 20 വർദ്ധിക്കുന്നു.
• 21-ാമത്തെ പദം = x1 + (20 × d) = 100 + (20 × -5) = 100 - 100 = 0.

(4) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 10-ാമത്തെ പദം 56 ഉം 11-ാമത്തെ പദം 51 ഉം ആണ്. (i) അതിന്റെ ഒന്നാം പദം എത്രയാണ്? (ii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
പരിഹാരം:

• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 11-ാമത്തെ പദം - 10-ാമത്തെ പദം = 51 - 56 = -5.
  (i) അതിന്റെ ഒന്നാം പദം എത്രയാണ്?
• 10-ാമത്തെ പദത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നാം പദത്തിലേക്ക് എത്താൻ, സ്ഥാനം 10 - 1 = 9 കുറയ്ക്കണം.
• ഒന്നാം പദം = 10-ാമത്തെ പദം - (9 × d) = 56 - (9 × -5) = 56 + 45 = 101.
  (ii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
• ഒന്നാം പദം = 101, പൊതുവ്യത്യാസം = -5.
• ശ്രേണി: 101, 96, 91, 86, 81, ...

വിഭാഗം: സ്ഥാനങ്ങളിലും പദങ്ങളിലും മാറ്റങ്ങൾ (പദം പരിശോധിച്ചതിന് ശേഷം)
(1) 13, 24, 35, ... എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണോ 101? 1001-ന്റെ കാര്യത്തിലോ?
പരിഹാരം:

• അങ്കഗണിത ശ്രേണി: 13, 24, 35, ...
• ഒന്നാം പദം (x1) = 13.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 24 - 13 = 11.
• ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ, ഏതെങ്കിലും പദവ്യത്യാസം (ഒരു പദവും ഒന്നാം പദവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം) പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഒരു ഗുണിതമായിരിക്കണം.
• 101-ന്:
  • ഒന്നാം പദത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം = 101 - 13 = 88.
  • 88 എന്നത് 11-ന്റെ ഗുണിതമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക: 88 ÷ 11 = 8. അതെ, അങ്ങനെയാണ്.
  • 101 എന്നത് n-ാമത്തെ പദമാണെങ്കിൽ, 101 = 13 + (n-1)11. അപ്പോൾ 88 = (n-1)11, അതായത് n-1 = 8, അപ്പോൾ n = 9.
  • ഉപസംഹാരം: അതെ, 101 ഈ ശ്രേണിയുടെ 9-ാമത്തെ പദമാണ്.
• 1001-ന്:
  • ഒന്നാം പദത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം = 1001 - 13 = 988.
  • 988 എന്നത് 11-ന്റെ ഗുണിതമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക: 988 ÷ 11 = 89.81... (ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല).
  • ഉപസംഹാരം: ഇല്ല, 1001 ഈ ശ്രേണിയുടെ ഒരു പദമല്ല.

(2) താഴെക്കൊടുത്ത പട്ടികയിൽ, ചില അങ്കഗണിത ശ്രേണികളും ഓരോന്നിനും നേരെ രണ്ട് സംഖ്യകളും നൽകിയിരിക്കുന്നു. സംഖ്യകൾ അതാത് ശ്രേണികളിലെ പദങ്ങളാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക:
ശ്രേണി
സംഖ്യകൾ
അതെ/അല്ല
11, 22, 33, ...
123
132
12, 23, 34, ...
100
1000
21, 32, 43, ...
100
1000
1/4, 1/2, 3/4, ...
3/4
1 1/2
3/4, 1, 1 1/4, ...
3/4
1 1/2

പരിഹാരം: നിയമം ഉപയോഗിക്കുക: (പദം - ഒന്നാം പദം) എന്നത് പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഒരു ഗുണിതമായിരിക്കണം.

• ശ്രേണി 1: 11, 22, 33, ...
  • ഒന്നാം പദം = 11, പൊതുവ്യത്യാസം = 11.
  • 123: 123 - 11 = 112. 112 ÷ 11 = 10.18... (ഗുണിതമല്ല). അല്ല.
  • 132: 132 - 11 = 121. 121 ÷ 11 = 11. (ഗുണിതമാണ്). അതെ.
• ശ്രേണി 2: 12, 23, 34, ...
  • ഒന്നാം പദം = 12, പൊതുവ്യത്യാസം = 11.
  • 100: 100 - 12 = 88. 88 ÷ 11 = 8. (ഗുണിതമാണ്). അതെ.
  • 1000: 1000 - 12 = 988. 988 ÷ 11 = 89.81... (ഗുണിതമല്ല). അല്ല.
• ശ്രേണി 3: 21, 32, 43, ...
  • ഒന്നാം പദം = 21, പൊതുവ്യത്യാസം = 11.
  • 100: 100 - 21 = 79. 79 ÷ 11 = 7.18... (ഗുണിതമല്ല). അല്ല.
  • 1000: 1000 - 21 = 979. 979 ÷ 11 = 89. (ഗുണിതമാണ്). അതെ.
• ശ്രേണി 4: 1/4, 1/2, 3/4, ...
  • ഒന്നാം പദം = 1/4, പൊതുവ്യത്യാസം = 1/2 - 1/4 = 1/4.
  • 3/4: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2. (1/2) ÷ (1/4) = 2. (ഗുണിതമാണ്). അതെ.
  • 1 1/2 = 3/2: 3/2 - 1/4 = 6/4 - 1/4 = 5/4. (5/4) ÷ (1/4) = 5. (ഗുണിതമാണ്). അതെ.
• ശ്രേണി 5: 3/4, 1, 1 1/4, ...
  • ഒന്നാം പദം = 3/4, പൊതുവ്യത്യാസം = 1 - 3/4 = 1/4.
  • 3/4: 3/4 - 3/4 = 0. 0 ÷ 1/4 = 0. (ഗുണിതമാണ്, ഇത് ഒന്നാം പദമാണ്). അതെ.
  • 1 1/2 = 3/2: 3/2 - 3/4 = 6/4 - 3/4 = 3/4. (3/4) ÷ (1/4) = 3. (ഗുണിതമാണ്). അതെ.

പട്ടിക പൂർത്തിയാക്കിയത്:
ശ്രേണി
സംഖ്യകൾ
അതെ/അല്ല
11, 22, 33, ...
123
അല്ല
132
അതെ
12, 23, 34, ...
100
അതെ
1000
അല്ല
21, 32, 43, ...
100
അല്ല
1000
അതെ
1/4, 1/2, 3/4, ...
3/4
അതെ
1 1/2
അതെ
3/4, 1, 1 1/4, ...
3/4
അതെ
1 1/2
അതെ

(3) മുകളിലെ പട്ടികയിൽ, അതാത് ശ്രേണികളിലെ പദങ്ങളായ സംഖ്യകളുടെ സ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം: x_n എന്നത് n-ാമത്തെ പദവും x_1 എന്നത് ഒന്നാം പദവും d എന്നത് പൊതുവ്യത്യാസവുമാണെങ്കിൽ, x_n = x_1 + (n-1)d. അതിനാൽ, n-1 = (x_n - x_1) / d, n = ((x_n - x_1) / d) + 1.

• ശ്രേണി 1: 11, 22, 33, ... (x1=11, d=11)
  • 132: n = ((132 - 11) / 11) + 1 = (121 / 11) + 1 = 11 + 1 = 12-ാം സ്ഥാനം.
• ശ്രേണി 2: 12, 23, 34, ... (x1=12, d=11)
  • 100: n = ((100 - 12) / 11) + 1 = (88 / 11) + 1 = 8 + 1 = 9-ാം സ്ഥാനം.
• ശ്രേണി 3: 21, 32, 43, ... (x1=21, d=11)
  • 1000: n = ((1000 - 21) / 11) + 1 = (979 / 11) + 1 = 89 + 1 = 90-ാം സ്ഥാനം.
• ശ്രേണി 4: 1/4, 1/2, 3/4, ... (x1=1/4, d=1/4)
  • 3/4: n = ((3/4 - 1/4) / (1/4)) + 1 = ((2/4) / (1/4)) + 1 = (1/2 / 1/4) + 1 = 2 + 1 = 3-ാം സ്ഥാനം.
  • 1 1/2 (3/2): n = ((3/2 - 1/4) / (1/4)) + 1 = ((5/4) / (1/4)) + 1 = 5 + 1 = 6-ാം സ്ഥാനം.
• ശ്രേണി 5: 3/4, 1, 1 1/4, ... (x1=3/4, d=1/4)
  • 3/4: n = ((3/4 - 3/4) / (1/4)) + 1 = (0 / (1/4)) + 1 = 0 + 1 = 1-ാം സ്ഥാനം.
  • 1 1/2 (3/2): n = ((3/2 - 3/4) / (1/4)) + 1 = ((3/4) / (1/4)) + 1 = 3 + 1 = 4-ാം സ്ഥാനം.

വിഭാഗം: പദബന്ധങ്ങൾ
(1) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 4-ാമത്തെ പദം 8 ആണ്. (i) താഴെക്കൊടുത്ത പദജോഡികളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക: (a) 3-ാമത്തെയും 5-ാമത്തെയും (b) 2-ാമത്തെയും 6-ാമത്തെയും (c) 1-ാമത്തെയും 7-ാമത്തെയും (ii) 3-ാമത്തെ, 4-ാമത്തെ, 5-ാമത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക എത്രയാണ്? (iii) 2-ാമത്തെ മുതൽ 6-ാമത്തെ വരെയുള്ള 5 പദങ്ങളുടെ തുക എത്രയാണ്? (iv) 1-ാമത്തെ മുതൽ 7-ാമത്തെ വരെയുള്ള 7 പദങ്ങളുടെ തുക എത്രയാണ്?
പരിഹാരം: നൽകിയിട്ടുള്ളത്: 4-ാമത്തെ പദം = 8.
(i) പദജോഡികളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക:

• പൊതുതത്വം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ, ഒരു മധ്യപദത്തിന് മുൻപിലും പിൻപിലുമായി ഒരേ ദൂരത്തിലുള്ള രണ്ട് പദങ്ങളുടെ തുക ആ മധ്യപദത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
• മധ്യപദം: 4-ാമത്തെ പദം = 8.
• (a) 3-ാമത്തെയും 5-ാമത്തെയും: 3-ാമത്തെ പദം 4-ാമത്തെ പദത്തിന് 1 സ്ഥാനം പിന്നിലും, 5-ാമത്തെ പദം 1 സ്ഥാനം മുന്നിലുമാണ്. അതിനാൽ, അവയുടെ തുക = 2 × 4-ാമത്തെ പദം = 2 × 8 = 16.
• (b) 2-ാമത്തെയും 6-ാമത്തെയും: 2-ാമത്തെ പദം 4-ാമത്തെ പദത്തിന് 2 സ്ഥാനങ്ങൾ പിന്നിലും, 6-ാമത്തെ പദം 2 സ്ഥാനങ്ങൾ മുന്നിലുമാണ്. അതിനാൽ, അവയുടെ തുക = 2 × 4-ാമത്തെ പദം = 2 × 8 = 16.
• (c) 1-ാമത്തെയും 7-ാമത്തെയും: 1-ാമത്തെ പദം 4-ാമത്തെ പദത്തിന് 3 സ്ഥാനങ്ങൾ പിന്നിലും, 7-ാമത്തെ പദം 3 സ്ഥാനങ്ങൾ മുന്നിലുമാണ്. അതിനാൽ, അവയുടെ തുക = 2 × 4-ാമത്തെ പദം = 2 × 8 = 16.

(ii) 3-ാമത്തെ, 4-ാമത്തെ, 5-ാമത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക എത്രയാണ്?

• പൊതുതത്വം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലെ ഒറ്റ സംഖ്യാ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിന്റെയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.
• ഇവിടെ, 3 പദങ്ങൾ, മധ്യപദം 4-ാമത്തെ പദം = 8.
• തുക = 3 × 4-ാമത്തെ പദം = 3 × 8 = 24.

(iii) 2-ാമത്തെ മുതൽ 6-ാമത്തെ വരെയുള്ള 5 പദങ്ങളുടെ തുക എത്രയാണ്?

• പദങ്ങൾ 2-ാമത്തെ, 3-ാമത്തെ, 4-ാമത്തെ, 5-ാമത്തെ, 6-ാമത്തെ എന്നിവയാണ്. ഇത് ഒറ്റ സംഖ്യാ പദങ്ങളാണ് (5 പദങ്ങൾ).
• മധ്യപദം 4-ാമത്തെ പദം = 8.
• തുക = 5 × 4-ാമത്തെ പദം = 5 × 8 = 40.

(iv) 1-ാമത്തെ മുതൽ 7-ാമത്തെ വരെയുള്ള 7 പദങ്ങളുടെ തുക എത്രയാണ്?

• പദങ്ങൾ 1-ാമത്തെ, 2-ാമത്തെ, 3-ാമത്തെ, 4-ാമത്തെ, 5-ാമത്തെ, 6-ാമത്തെ, 7-ാമത്തെ എന്നിവയാണ്. ഇത് ഒറ്റ സംഖ്യാ പദങ്ങളാണ് (7 പദങ്ങൾ).
• മധ്യപദം 4-ാമത്തെ പദം = 8.
• തുക = 7 × 4-ാമത്തെ പദം = 7 × 8 = 56.

(2) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം 2 ഉം 9-ാമത്തെ, 10-ാമത്തെ, 11-ാമത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക 90 ഉം ആണ്. ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം:

• നൽകിയിട്ടുള്ള പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 2.
• 9-ാമത്തെ, 10-ാമത്തെ, 11-ാമത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക 90 ആണ്. ഇത് ഒറ്റ സംഖ്യാ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളാണ് (3 പദങ്ങൾ).
• മധ്യപദം 10-ാമത്തെ പദമാണ്.
• പൊതുതത്വം: മൂന്ന് തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടിയാണ്.
• അതിനാൽ, 3 × 10-ാമത്തെ പദം = 90.
• 10-ാമത്തെ പദം = 90 / 3 = 30.
• ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 10-ാമത്തെ പദം (30) ഉം പൊതുവ്യത്യാസം (2) ഉം ഉണ്ട്.
• 9-ാമത്തെ പദം = 10-ാമത്തെ പദം - d = 30 - 2 = 28.
• 8-ാമത്തെ പദം = 9-ാമത്തെ പദം - d = 28 - 2 = 26.
• ...
• ഒന്നാം പദം (x1) കണ്ടെത്താൻ: x1 = 10-ാമത്തെ പദം - (9 × d) = 30 - (9 × 2) = 30 - 18 = 12.
• ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ:
  • ഒന്നാം പദം = 12
  • രണ്ടാം പദം = 12 + 2 = 14
  • മൂന്നാം പദം = 14 + 2 = 16
• ശ്രേണി: 12, 14, 16, ...

വിഭാഗം: പദബന്ധങ്ങൾ (രണ്ടാം ബ്ലോക്ക്)
(1) ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുക 70 ആയ മൂന്ന് അങ്കഗണിത ശ്രേണികൾ എഴുതുക.
പരിഹാരം:

• പൊതുതത്വം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലെ ഒറ്റ സംഖ്യാ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിന്റെയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.
• ഇവിടെ, പദങ്ങളുടെ എണ്ണം = 7, തുക = 70.
• മധ്യപദം 4-ാമത്തെ പദമാണ് (7 പദങ്ങളുള്ളതുകൊണ്ട് 4 മധ്യസ്ഥാനമാണ്).
• അതിനാൽ, 7 × 4-ാമത്തെ പദം = 70.
• 4-ാമത്തെ പദം = 70 / 7 = 10.
• വ്യത്യസ്ത ശ്രേണികൾ ഉണ്ടാക്കാൻ, നമുക്ക് പൊതുവ്യത്യാസം (d) ���ാറ്റിക്കൊണ്ട് ഒന്നാം പദം കണ്ടെത്താം.

ശ്രേണി 1 (d = 1):

• 4-ാമത്തെ പദം = 10.
• ഒന്നാം പദം = 4-ാമത്തെ പദം - 3d = 10 - (3 × 1) = 10 - 3 = 7.
• ശ്രേണി: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...

ശ്രേണി 2 (d = 2):

• 4-ാമത്തെ പദം = 10.
• ഒന്നാം പദം = 4-ാമത്തെ പദം - 3d = 10 - (3 × 2) = 10 - 6 = 4.
• ശ്രേണി: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...

ശ്രേണി 3 (d = -1):

• 4-ാമത്തെ പദം = 10.
• ഒന്നാം പദം = 4-ാമത്തെ പദം - 3d = 10 - (3 × -1) = 10 + 3 = 13.
• ശ്രേണി: 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, ...

(2) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 3 പദങ്ങളുടെ തുക 30 ഉം ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുക 140 ഉം ആണ്. (i) ശ്രേണിയുടെ 2-ാമത്തെ പദം എത്രയാണ്? (ii) ശ്രേണിയുടെ 4-ാമത്തെ പദം എത്രയാണ്? (iii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ ഏതാണ്?
പരിഹാരം:
(i) ശ്രേണിയുടെ 2-ാമത്തെ പദം എത്രയാണ്?

• ആദ്യത്തെ 3 പദങ്ങളുടെ തുക = 30.
• പൊതുതത്വം: ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യാ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിന്റെയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.
• 3 പദങ്ങൾക്ക്, മധ്യപദം 2-ാമത്തെ പദമാണ്.
• 3 × 2-ാമത്തെ പദം = 30.
• 2-ാമത്തെ പദം = 30 / 3 = 10.

(ii) ശ്രേണിയുടെ 4-ാമത്തെ പദം എത്രയാണ്?

• ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുക = 140.
• 7 പദങ്ങൾക്ക്, മധ്യപദം 4-ാമത്തെ പദമാണ്.
• 7 × 4-ാമത്തെ പദം = 140.
• 4-ാമത്തെ പദം = 140 / 7 = 20.

(iii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ ഏതാണ്?

• നമുക്ക് 2-ാമത്തെ പദം = 10 ഉം 4-ാമത്തെ പദം = 20 ഉം ഉണ്ട്.
• 2-ാമത്തെ പദത്തിൽ നിന്ന് 4-ാമത്തെ പദത്തിലേക്ക് പോകാൻ, പൊതുവ്യത്യാസം രണ്ടുതവണ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.
• 2d = 4-ാമത്തെ പദം - 2-ാമത്തെ പദം = 20 - 10 = 10.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 10 / 2 = 5.
• 1-ാമത്തെ പദം = 2-ാമത്തെ പദം - d = 10 - 5 = 5.
• ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 5, 10, 15, ...

(3) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങളുടെ തുക 150 ഉം ആദ്യത്തെ പത്ത് പദങ്ങളുടെ തുക 550 ഉം ആണ്. (i) ശ്രേണിയുടെ മൂന്നാമത്തെ പദം എത്രയാണ്? (ii) ശ്രേണിയുടെ എട്ടാമത്തെ പദം എത്രയാണ്? (iii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക.
പരിഹാരം:
(i) ശ്രേണിയുടെ മൂന്നാമത്തെ പദം എത്രയാണ്?

• ആദ്യത്തെ 5 പദങ്ങളുടെ തുക = 150.
• പൊതുതത്വം: ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യാ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിന്റെയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.
• 5 പദങ്ങൾക്ക്, മധ്യപദം 3-ാമത്തെ പദമാണ്.
• 5 × 3-ാമത്തെ പദം = 150.
• 3-ാമത്തെ പദം = 150 / 5 = 30.

(ii) ശ്രേണിയുടെ എട്ടാമത്തെ പദം എത്രയാണ്?

• പദങ്ങൾ x1, x2, ..., x10 ആയിരിക്കട്ടെ.
• ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ തുക = 550.
• ആദ്യത്തെ 5 പദങ്ങളുടെ തുക = 150.
• 6-ാമത്തെ മുതൽ 10-ാമത്തെ വരെയുള്ള പദങ്ങളുടെ തുക = ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ തുക - ആദ്യത്തെ 5 പദങ്ങളുടെ തുക = 550 - 150 = 400.
• ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ തുകയുടെ പൊതുതത്വം: xk + x(n-k+1) = x1 + xn.
• ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ തുകയിൽ: x1 + x10 = x2 + x9 = x3 + x8 = x4 + x7 = x5 + x6. ഈ തുകകളെല്ലാം തുല്യമാണ്.
• ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ തുക = (10/2) × (x1 + x10) = 5 × (x1 + x10) = 550.
• അതിനാൽ, x1 + x10 = 550 / 5 = 110.
• നമുക്കറിയാം x3 + x8 = x1 + x10 = 110.
• x3 = 30 എന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനാൽ 30 + x8 = 110.
• x8 = 110 - 30 = 80.

(iii) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക.

• നമുക്ക് x3 = 30 ഉം x8 = 80 ഉം ഉണ്ട്.
• സ്ഥാനമാറ്റം: 8 - 3 = 5.
• പദമാറ്റം: 80 - 30 = 50.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 50 / 5 = 10.
• 1-ാമത്തെ പദം = x3 - 2d = 30 - (2 × 10) = 30 - 20 = 10.
• ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 10, 20, 30, ...

(4) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 11-ാമത്തെയും 21-ാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ തുക 80 ആണ്. 16-ാമത്തെ പദം എത്രയാണ്?
പരിഹാരം:

• നൽകിയിട്ടുള്ളത്: x11 + x21 = 80.
• പൊതുതത്വം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ, ഒരു മധ്യപദത്തിന് മുൻപിലും പിൻപിലുമായി ഒരേ ദൂരത്തിലുള്ള രണ്ട് പദങ്ങളുടെ തുക ആ മധ്യപദത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
• 16-ാമത്തെ പദം 11-ാമത്തെയും 21-ാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ കൃത്യം മധ്യത്തിലാണ്.
  • 11-ൽ നിന്ന് 16-ലേക്കുള്ള ദൂരം = 16 - 11 = 5.
  • 16-ൽ നിന്ന് 21-ലേക്കുള്ള ദൂരം = 21 - 16 = 5.
• അതിനാൽ, x11 ഉം x21 ഉം x16-ൽ നിന്ന് തുല്യ ദൂരത്തിലാണ്.
• അതുകൊണ്ട്, x11 + x21 = 2 × x16.
• 80 = 2 × x16.
• x16 = 80 / 2 = 40.

(5) ഒരു പഞ്ചഭുജത്തിന്റെ കോണുകൾ അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലാണ്. (i) കോണുകളെ അവയുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ കോൺ എത്രയായിരിക്കും? (ii) ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ 40° ആണെങ്കിൽ, മറ്റ് കോണുകൾ ഏതാണ്? (iii) ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ 36° ആകാൻ കഴിയുമോ?
പരിഹാരം:

• ഒരു പഞ്ചഭുജത്തിന് 5 കോണുകളുണ്ട്.
• n വശങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ തുക (n-2) × 180° ആണ്.
• ഒരു പഞ്ചഭുജത്തിന് (n=5), കോണുകളുടെ തുക = (5-2) × 180° = 3 × 180° = 540°.
• 5 കോണുകളും ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലാണ്. അവ x1, x2, x3, x4, x5 ആയിരിക്കട്ടെ.

(i) കോണുകളെ അവയുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ കോൺ എത്രയായിരിക്കും?

• 5 കോണുകളുള്ളതിനാൽ (ഒറ്റ സംഖ്യ), മൂന്നാമത്തെ കോൺ മധ്യപദമാണ്.
• പൊതുതത്വം: ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യാ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ തുക മധ്യപദത്തിന്റെയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.
• അതിനാൽ, 5 × 3-ാമത്തെ കോൺ = 540°.
• 3-ാമത്തെ കോൺ = 540° / 5 = 108°.

(ii) ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ 40° ആണെങ്കിൽ, മറ്റ് കോണുകൾ ഏതാണ്?

• ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ (x1) = 40°.
• നമുക്കറിയാം x3 = 108°.
• ഒന്നാം പദത്തിൽ നിന്ന് മൂന്നാം പദത്തിലേക്ക് പോകാൻ, പൊതുവ്യത്യാസം രണ്ടുതവണ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു: 2d = x3 - x1.
• 2d = 108° - 40° = 68°.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 68° / 2 = 34°.
• കോണുകൾ ഇവയാണ്:
  • x1 = 40°
  • x2 = 40° + 34° = 74°
  • x3 = 74° + 34° = 108° (നമ്മൾ മുൻപ് കണ്ടെത്തിയതുമായി യോജിക്കുന്നു)
  • x4 = 108° + 34° = 142°
  • x5 = 142° + 34° = 176°
• തുക പരിശോധിക്കുക: 40 + 74 + 108 + 142 + 176 = 540°. ഇത് ശരിയാണ്.

(iii) ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ 36° ആകാൻ കഴിയുമോ?

• x1 = 36° ആണെങ്കിൽ.
• നമുക്കറിയാം x3 = 108° (ഭാഗം (i) ൽ നിന്ന്).
• 2d = x3 - x1 = 108° - 36° = 72°.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 72° / 2 = 36°.
• കോണുകൾ ഇവയായിരിക്കും:
  • x1 = 36°
  • x2 = 36° + 36° = 72°
  • x3 = 72° + 36° = 108°
  • x4 = 108° + 36° = 144°
  • x5 = 144° + 36° = 180°
• ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോൺ 180°-ൽ കുറവായിരിക്കണം (കാരണം അത് ഒരു നേർരേഖയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു). ഒരു കോൺ 180° ആണെങ്കിൽ, അത് ബഹുഭുജം ദുർബലമാണെന്ന് (പരന്നതാണെന്ന്) അർത്ഥമാക്കുന്നു. ഒരു കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ആന്തരിക കോൺ 180° ഓ അതിൽ കൂടുതലോ ആകാൻ കഴിയില്ല.
• ഉപസംഹാരം: ഇല്ല, ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺ 36° ആകാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അഞ്ചാമത്തെ കോൺ 180° ആയിരിക്കും, ഇത് ഒരു കോൺവെക്സ് പഞ്ചഭുജത്തിന് സാധുവായ ആന്തരിക കോണല്ല.

വിഭാഗം: പദബന്ധങ്ങൾ (മൂന്നാം ബ്ലോക്ക്)
(1) ആദ്യത്തെ നാല് പദങ്ങളുടെ തുക 100 ആയ നാല് അങ്കഗണിത ശ്രേണികൾ എഴുതുക.
പരിഹാരം:

• ആദ്യത്തെ 4 പദങ്ങളുടെ തുക = 100.
• പൊതുതത്വം: രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങളുടെ തുക മറ്റ് രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഓരോ ജോഡിയിലെയും പദങ്ങളുടെ തുക തുല്യമാണ്.
• ആദ്യത്തെ നാല് പദങ്ങൾക്ക്, (x1 + x4) ഉം (x2 + x3) ഉം ഒരേ സ്ഥാന തുകയുള്ള ജോഡികളാണ് (1+4=5, 2+3=5).
• 4 പദങ്ങളുടെ ആകെ തുക 100 ആണ്, ഇത് ഈ രണ്ട് ജോഡികളുടെ തുകയാണ്.
• അതിനാൽ, (x1 + x4) + (x2 + x3) = 100.
• (x1 + x4) = (x2 + x3) ആയതുകൊണ്ട്, ഈ തുക S_pair ആയിരിക്കട്ടെ.
• 2 × S_pair = 100, അതിനാൽ S_pair = 50.
• അതുകൊണ്ട്, x1 + x4 = 50 ഉം x2 + x3 = 50 ഉം ആണ്.
• നമുക്ക് ഒരു ഒന്നാം പദം (x1) ഉം ഒരു പൊതുവ്യത്യാസം (d) ഉം തിരഞ്ഞെടുക്കണം, അങ്ങനെ x1 + (x1 + 3d) = 50 ആകണം, ഇത് 2x1 + 3d = 50 എന്ന് ലളിതമാക്കാം.

ശ്രേണി 1 (x1=10 തിരഞ്ഞെടുക്കുക):

• 2(10) + 3d = 50 => 20 + 3d = 50 => 3d = 30 => d = 10.
• ശ്രേണി: 10, 20, 30, 40, ... (ആദ്യത്തെ 4-ന്റെ തുക: 10+20+30+40 = 100).

ശ്രേണി 2 (x1=1 തിരഞ്ഞെടുക്കുക):

• 2(1) + 3d = 50 => 2 + 3d = 50 => 3d = 48 => d = 16.
• ശ്രേണി: 1, 17, 33, 49, ... (ആദ്യത്തെ 4-ന്റെ തുക: 1+17+33+49 = 100).

ശ്രേണി 3 (d=0 തിരഞ്ഞെടുക്കുക):

• 2x1 + 3(0) = 50 => 2x1 = 50 => x1 = 25.
• ശ്രേണി: 25, 25, 25, 25, ... (ആദ്യത്തെ 4-ന്റെ തുക: 25+25+25+25 = 100).

ശ്രേണി 4 (d=1 തിരഞ്ഞെടുക്കുക):

• 2x1 + 3(1) = 50 => 2x1 = 47 => x1 = 23.5.
• ശ്രേണി: 23.5, 24.5, 25.5, 26.5, ... (ആദ്യത്തെ 4-ന്റെ തുക: 23.5+24.5+25.5+26.5 = 100).

(2) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 1-ാമത്തെ പദം 5 ഉം ആദ്യത്തെ 6 പദങ്ങളുടെ തുക 105 ഉം ആണ്. ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ ആറ് പദങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം:

• ഒന്നാം പദം (x1) = 5.
• ആദ്യത്തെ 6 പദങ്ങളുടെ തുക = 105.
• പൊതുതത്വം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലെ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും പദങ്ങളുടെ തുകയെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ പകുതി കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതാണ്.
• തുക = (പദങ്ങളുടെ എണ്ണം / 2) × (ഒന്നാം പദം + അവസാന പദം).
• 105 = (6 / 2) × (x1 + x6).
• 105 = 3 × (5 + x6).
• 105 / 3 = 5 + x6.
• 35 = 5 + x6.
• x6 = 35 - 5 = 30.
• ഇപ്പോൾ നമുക്ക് x1 = 5 ഉം x6 = 30 ഉം ഉണ്ട്.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) കണ്ടെത്താൻ: x6 = x1 + (6-1)d.
• 30 = 5 + 5d.
• 25 = 5d.
• d = 25 / 5 = 5.
• ആദ്യത്തെ ആറ് പദങ്ങൾ:
  • x1 = 5
  • x2 = 5 + 5 = 10
  • x3 = 10 + 5 = 15
  • x4 = 15 + 5 = 20
  • x5 = 20 + 5 = 25
  • x6 = 25 + 5 = 30
• ശ്രേണി: 5, 10, 15, 20, 25, 30.

(3) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 7-ാമത്തെയും 8-ാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ തുക 50 ആണ്. ആദ്യത്തെ 14 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം:

• നൽകിയിട്ടുള്ളത്: x7 + x8 = 50.
• പൊതുതത്വം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ, രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങളുടെ തുക മറ്റ് രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഓരോ ജോഡിയിലെയും പദങ്ങളുടെ തുക തുല്യമാണ്.
• ആദ്യത്തെ 14 പദങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക്, നമുക്ക് ജോഡികൾ രൂപീകരിക്കാം: (x1, x14), (x2, x13), ..., (x7, x8).
• x7 + x8-ന്റെ സ്ഥാന തുക 7 + 8 = 15 ആണ്.
• x1 + x14-ന്റെ സ്ഥാന തുക 1 + 14 = 15 ആണ്.
• അതിനാൽ, x1 + x14 = x7 + x8 = 50.
• ആദ്യത്തെ 14 പദങ്ങളുടെ തുക = (14 / 2) × (x1 + x14).
• തുക = 7 × 50 = 350.

(4) താഴെക്കൊടുത്ത ഓരോ അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെയും ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക:
(i) 1-ാമത്തെ പദം 30 ഉം ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങളുടെ തുക 300 ഉം ആണ്
(ii) 1-ാമത്തെ പദം 30 ഉം ആദ്യത്തെ നാല് പദങ്ങളുടെ തുക 300 ഉം ആണ്
(iii) 1-ാമത്തെ പദം 30 ഉം ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങളുടെ തുക 300 ഉം ആണ്
(iv) 1-ാമത്തെ പദം 30 ഉം ആദ്യത്തെ ആറ് പദങ്ങളുടെ തുക 300 ഉം ആണ്
പരിഹാരം:
(i) 1-ാമത്തെ പദം 30 ഉം ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങളുടെ തുക 300 ഉം ആണ്

• x1 = 30. ആദ്യത്തെ 3 പദങ്ങളുടെ തുക = 300.
• 3 പദങ്ങൾക്ക്, മധ്യപദം 2-ാമത്തെ പദമാണ്.
• 3 × x2 = 300 => x2 = 100.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = x2 - x1 = 100 - 30 = 70.
• ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 30, 100, 170, ...

(ii) 1-ാമത്തെ പദം 30 ഉം ആദ്യത്തെ നാല് പദങ്ങളുടെ തുക 300 ഉം ആണ്

• x1 = 30. ആദ്യത്തെ 4 പദങ്ങളുടെ തുക = 300.
• x1 + x4 = ആദ്യത്തെ 4 പദങ്ങളുടെ തുക / 2 = 300 / 2 = 150.
• 30 + x4 = 150 => x4 = 120.
• x4 = x1 + 3d => 120 = 30 + 3d => 90 = 3d => d = 30.
• ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 30, 60, 90, ...

(iii) 1-ാമത്തെ പദം 30 ഉം ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങളുടെ തുക 300 ഉം ആണ്

• x1 = 30. ആദ്യത്തെ 5 പദങ്ങളുടെ തുക = 300.
• 5 പദങ്ങൾക്ക്, മധ്യപദം 3-ാമത്തെ പദമാണ്.
• 5 × x3 = 300 => x3 = 60.
• x3 = x1 + 2d => 60 = 30 + 2d => 30 = 2d => d = 15.
• ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 30, 45, 60, ...

(iv) 1-ാമത്തെ പദം 30 ഉം ആദ്യത്തെ ആറ് പദങ്ങളുടെ തുക 300 ഉം ആണ്

• x1 = 30. ആദ്യത്തെ 6 പദങ്ങളുടെ തുക = 300.
• x1 + x6 = ആദ്യത്തെ 6 പദങ്ങളുടെ തുക / 2 = 300 / 2 = 150.
• 30 + x6 = 150 => x6 = 120.
• x6 = x1 + 5d => 120 = 30 + 5d => 90 = 5d => d = 18.
• ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ: 30, 48, 66, ...

---

അധ്യായം 2: വൃത്തങ്ങളും കോണുകളും
വിഭാഗം: ചാപങ്ങളും കോണുകളും
(1) താഴെക്കൊടുത്ത ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയ ചാപം വൃത്തത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗമാണ്?
പരിഹാരം:

• ചിത്രം ഒരു വൃത്തത്തിലെ ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി (ചാപത്തിനു പുറത്തുള്ള) ഉണ്ടാക്കുന്ന 60° കോൺ കാണിക്കുന്നു.
• പൊതുതത്വം: ഒരു വൃത്തത്തിലെ ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി (ചാപത്തിൽ ഇല്ലാത്ത ഒരു ബിന്ദു) യോജിപ്പിച്ചാൽ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ ആ ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയാണ്.
• അതിനാൽ, വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുവിലെ കോൺ = (1/2) × കേന്ദ്രകോൺ.
• 60° = (1/2) × കേന്ദ്രകോൺ.
• കേന്ദ്രകോൺ = 2 × 60° = 120°.
• ചാപം വൃത്തത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗമാണ് എന്നത് (കേന്ദ്രകോൺ / 360°) ആണ്.
• ഭാഗം = 120° / 360° = 1/3.

(2) ഒരു വളഞ്ഞ കമ്പിയുടെ അഗ്രം വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ വെച്ചപ്പോൾ, വൃത്തത്തിന്റെ 1/10 ഭാഗം അതിനുള്ളിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഈ കമ്പിയുടെ അഗ്രം രണ്ടാം ചിത്രത്തിലെന്നപോലെ ഈ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചാൽ, വൃത്തത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗം അതിനുള്ളിൽ ഉൾക്കൊള്ളും? മൂന്നാം ചിത്രത്തിലെന്നപോലെ മറ്റൊരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചാലോ?
പരിഹാരം:

• കമ്പി കേന്ദ്രത്തിൽ വെക്കുമ്പോൾ, അത് ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ കേന്ദ്രകോണാണ്.
• വൃത്തത്തിന്റെ 1/10 ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ കേന്ദ്രകോൺ = (1/10) × 360° = 36°.
• അഗ്രം ഈ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചാൽ (രണ്ടാം ചിത്രം):
  • പൊതുതത്വം: ഒരു വൃത്തത്തിലെ ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി (ചാപത്തിനു പുറത്തുള്ള) ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ ആ ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയാണ്.
  • അതിനാൽ, വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുവിലെ കോൺ = (1/2) × കേന്ദ്രകോൺ = (1/2) × 36° = 18°.
  • ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗം = 18° / 360° = 1/20.
• മൂന്നാം ചിത്രത്തിലെന്നപോലെ മറ്റൊരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വെച്ചാലോ?
  • പ്രശ്നം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഭൗ���ിക കമ്പി അവിടെ വെക്കുന്നു എന്നാണ്, അതായത് കമ്പിയുടെ കോൺ 36° ആയിത്തന്നെ നിലനിൽക്കുന്നു. ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ചാപം എന്താണെന്നതിലാണ് പ്രധാനം. കമ്പി ഇപ്പോഴും 36° കോൺ വൃത്തത്തിലെ ആ ബിന്ദുവിൽ ഉണ്ടാക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ഒരു കേന്ദ്രകോൺ 2 * 36 = 72 ഡിഗ്രി ഉണ്ടാക്കും, അതുകൊണ്ട് വൃത്തത്തിന്റെ 72/360 = 1/5 ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളും.
  • കമ്പിയുടെ കോൺ (36°) വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയിലെ കോണായിട്ടാണ് കണക്കാക്കുന്നതെങ്കിൽ, അതിന് അനുബന്ധമായ കേന്ദ്രകോൺ 2 × 36° = 72° ആയിരിക്കും.
  • പുതിയ വൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗം = 72° / 360° = 1/5. (കമ്പിയുടെ കോൺ ഇപ്പോഴും 36 ഡിഗ്രിയാണെന്നും, ഇത് വൃത്തത്തിന്റെ 'ഉൾക്കൊള്ളുന്ന' ഭാഗത്തെ നിർണ്ണയിക്കുന്നുവെന്നും അനുമാനിക്കുന്നു, അത് ഒരു ചാപം വരയ്ക്കുന്നത് പോലെ).

കേന്ദ്രകോണുകളുള്ള പ്രശ്നം: താഴെക്കൊടുത്ത ഓരോ ചിത്രത്തിലും, ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു: ഓരോന്നിലും മറ്റ് രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിൽ ചാപം ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകൾ കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം: പ്രശ്നം മൂന്ന് ചിത്രങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു, ഓരോന്നിലും ഒരു ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണും, ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന വൃത്തത്തിലെ മറ്റ് രണ്ട് ബിന്ദുക്കളും.

• പൊതുതത്വം: ഒരു വൃത്തത്തിലെ ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി (ചാപത്തിൽ ഇല്ലാത്ത ഒരു ബിന്ദു) യോജിപ്പിച്ചാൽ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ ആ ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയാണ്.
• പൊതുതത്വം: ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപത്തിലും വിപരീത ചാപത്തിലും ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.

കേസ് 1: കേന്ദ്രകോൺ < 180°

• കേന്ദ്രകോൺ c° ആണെന്ന് കരുതുക.
• വലിയ ചാപത്തിലെ ബിന്ദുവിലെ കോൺ (വിപരീത ഭാഗം): c°/2.
• ചെറിയ ചാപത്തിലെ ബിന്ദുവിലെ കോൺ (ചാപത്തിൽ തന്നെ): ഇത് "ചാപത്തിനു പുറത്ത്" എന്ന തത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമല്ല. എന്നിരുന്നാലും, പ്രശ്നം മറ്റ് ചാപങ്ങളെക്കുറിച്ചാണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതെങ്കിൽ, അത് പ്രതിഫലിക്കുന്ന കേന്ദ്രകോണിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
• ഉദാഹരണത്തിന്, കേന്ദ്രകോൺ 100° ആണെങ്കിൽ:
  • കേന്ദ്രകോൺ = 100°.
  • വലിയ ചാപത്തിലെ കോൺ (വിപരീത ഭാഗം) = 100° / 2 = 50°.
  • ചെറിയ ചാപത്തിലെ കോൺ (ചാപത്തിൽ തന്നെ): മുഴുവൻ വൃത്തം 360° ആണ്. ചെറിയ ചാപത്തിന്റെ പ്രതിഫലിക്കുന്ന കേന്ദ്രകോൺ 360° - 100° = 260°. ചെറിയ ചാപത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലെ കോൺ (ചാപത്തിൽ തന്നെ) (260°/2) = 130° ആയിരിക്കും.

കേസ് 2: കേന്ദ്രകോൺ > 180°

• ചിത്രത്തിലെ ഉദാഹരണം 220° കേന്ദ്രകോൺ (പ്രതിഫലിക്കുന്ന കോൺ) കാണിക്കുന്നു.
  • കേന്ദ്രകോൺ = 220°.
  • ഈ ചാപം വിപരീത (ചെറിയ) ചാപത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന 'ചെറിയ' കോൺ 220°-ന്റെ പകുതിയാണ്, അതായത് 110°.
  • പൂരക ചാപം (360-220 = 140) വലിയ ചാപത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ 140/2 = 70 ആയിരിക്കും.

കേസ് 3: കേന്ദ്രകോൺ = 180° (അർദ്ധവൃത്തം)

• കേന്ദ്രകോൺ = 180°.
• വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിലെ കോൺ (വ്യാസത്തിൽ ഇല്ലാത്ത, അതായത് വിപരീത ചാപത്തിലെ, മറ്റൊരു അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ) = 180° / 2 = 90°.
• പൊതുതത്വം: ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ ഒരു മട്ടകോണാണ്.

വിഭാഗം: ചാപങ്ങളും കോണുകളും (ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ ഒരു മട്ടകോണാണ് എന്ന് പറഞ്ഞതിന് ശേഷം)
(1) ഒരു ക്ലോക്ക് ഫേസിലെ സംഖ്യകൾ 1, 4, 8 എന്നിവ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ത്രികോണം വരച്ചിരിക്കുന്നു: (i) ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ കണക്കാക്കുക. (ii) ഒരു ക്ലോക്ക് ഫേസിലെ സംഖ്യകൾ യോജിപ്പിച്ച് എത്ര സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയും?
പരിഹാരം:
(i) ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ കണക്കാക്കുക.

• ഒരു ക്ലോക്ക് ഫേസിൽ 12 സംഖ്യകളുണ്ട്. തുടർച്ചയായ സംഖ്യകൾക്കിടയിലുള്ള കേന്ദ്രത്തിലെ കോൺ 360° / 12 = 30° ആണ്.
• ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകൾ 1, 4, 8 എന്നിവയിലാണ്. ക്ലോക്കിന്റെ കേന്ദ്രം O ആയിരിക്കട്ടെ.
• ചാപം 1-4: 4 - 1 = 3 ഡിവിഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. കേന്ദ്രകോൺ = 3 × 30° = 90°.
• ചാപം 4-8: 8 - 4 = 4 ഡിവിഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. കേന്ദ്രകോൺ = 4 × 30° = 120°.
• ചാപം 8-1 (അല്ലെങ്കിൽ 8-12-1): 12 - 8 + 1 = 5 ഡിവിഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. കേന്ദ്രകോൺ = 5 × 30° = 150°.
• ത്രികോണം ABC ആയിരിക്കട്ടെ, അതിൽ A 1-ലും, B 4-ലും, C 8-ലും ആണ്.
• ചാപം 1-4-ന് എതിരായ C കോൺ (8-ൽ): പരിധിയിലെ കോൺ = (1/2) × ചാപം 1-4-ന്റെ കേന്ദ്രകോൺ = (1/2) × 90° = 45°.
• ചാപം 4-8-ന് എതിരായ A കോൺ (1-ൽ): പരിധിയിലെ കോൺ = (1/2) × ചാപം 4-8-ന്റെ കേന്ദ്രകോൺ = (1/2) × 120° = 60°.
• ചാപം 8-1-ന് എതിരായ B കോൺ (4-ൽ): പരിധിയിലെ കോൺ = (1/2) × ചാപം 8-1-ന്റെ കേന്ദ്രകോൺ = (1/2) × 150° = 75°.
• കോണുകളുടെ തുക പരിശോധിക്കുക: 45° + 60° + 75° = 180°.
• ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ 45°, 60°, 75° എന്നിവയാണ്.

(ii) ഒരു ക്ലോക്ക് ഫേസിലെ സംഖ്യകൾ യോജിപ്പിച്ച് എത്ര സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയും?

• ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന് എല്ലാ കോണുകളും 60° ആണ്.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ കോൺ 60° ആകണമെങ്കിൽ, അത് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ 2 × 60° = 120° ആയിരിക്കണം.
• 120° കേന്ദ്രകോൺ ക്ലോക്ക് ഫേസിൽ 120° / 30° = 4 ഡിവിഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
• അതിനാൽ, സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ ഓരോ വശവും 4 ഡിവിഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളണം.
• സാധ്യമായ ത്രികോണങ്ങൾ:
  • (1, 5, 9)
  • (2, 6, 10)
  • (3, 7, 11)
  • (4, 8, 12)
• അത്തരം 4 സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളുണ്ട്.

(2) 3.5 സെന്റീമീറ്റർ പരിവൃത്തി ആരമുള്ള ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
പരിഹാരം:

• പരിവൃത്തി ആരം മനസ്സിലാക്കൽ: പരിവൃത്തി ആരം എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് മൂലകളിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്.
• ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്, എല്ലാ കോണുകളും 60° ആണ്.
• സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ ഓരോ വശവും പരിവൃത്തി വൃത്തത്തിലെ ഒരു ഞാണാണ്. ഓരോ വശവും (ഞാൺ) കേന്ദ്രത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ 2 × 60° = 120° ആണ്.
• വരയ്ക്കാൻ:
  1. 3.5 സെന്റീമീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക (പരിവൃത്തി ആരം). അതിന്റെ കേന്ദ്രം O അടയാളപ്പെടുത്തുക.
  2. ഒരു കേന്ദ്രകോൺ 120° വരയ്ക്കുക. വൃത്തത്തിൽ A, B എന്നീ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക, അങ്ങനെ AOB = 120° കോൺ കേന്ദ്രത്തിൽ രൂപപ്പെടുന്നു.
  3. ഞാൺ AB വരയ്ക്കുക. ഈ ഞാണിന്റെ നീളം സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശമായിരിക്കും.
  4. ബിന്ദു B-യിൽ നിന്ന് ഈ പ്രക്രിയ ആവർത്തിച്ച് അതേ നീളമുള്ള മറ്റൊരു ഞാൺ BC വരയ്ക്കുക (അല്ലെങ്കിൽ കേന്ദ്രത്തിൽ 120° ഉൾക്കൊള്ളുന്ന).
  5. A, B, C എന്നിവ യോജിപ്പിച്ച് സമഭുജ ത്രികോണം രൂപീകരിക്കുക. അല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണമായതുകൊണ്ട്, വൃത്തത്തെ മൂന്ന് 120° ചാപങ്ങളായി വിഭജിച്ച്, അവസാന ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തി അവയെ യോജിപ്പിച്ചാൽ മതി.
  6. വരയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ലളിതമായ രീതി: 3.5 സെന്റീമീറ്റർ പരിവൃത്തി ആരമുള്ള വൃത്തം വരയ്ക്കുക. വൃത്തത്തിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു ബിന്ദു A തിരഞ്ഞെടുക്കുക. A-യിൽ നിന്ന് 120° കേന്ദ്രകോൺ വരച്ച് B നേടുക. B-യിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു 120° കേന്ദ്രകോൺ വരച്ച് C നേടുക. A, B, C എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക. ഇത് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

(3) 3 സെന്റീമീറ്റർ പരിവൃത്തി ആരവും രണ്ട് കോണുകൾ 32 1/2° ഉം 37 1/2° ഉം ആയ ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
പരിഹാരം:

• പരിവൃത്തി ആരം (r) = 3 cm.
• രണ്ട് കോണുകൾ 32.5° ഉം 37.5° ഉം ആണ്.
• മൂന്നാമത്തെ കോൺ = 180° - (32.5° + 37.5°) = 180° - 70° = 110°.
• കോണുകൾ A=32.5°, B=37.5°, C=110° ആയിരിക്കട്ടെ.
• ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ പരിവൃത്തി വൃത്തത്തിലെ ഞാണുകളാണ്. ഒരു ഞാണിന്റെ നീളം 2r sin(ഞാണിന് എതിരായ കോൺ) ആണ്.
• പൊതുതത്വം: ഒരു ഞാണിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ ത്രികോണത്തിൽ അതിനെതിരായ കോണിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
  • 32.5° കോണിന് എതിരായ വശം 2 × 32.5° = 65° കേന്ദ്രകോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
  • 37.5° കോണിന് എതിരായ വശം 2 × 37.5° = 75° കേന്ദ്രകോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
  • 110° കോണിന് എതിരായ വശം 2 × 110° = 220° കേന്ദ്രകോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
• വരയ്ക്കാൻ:
  1. 3 സെന്റീമീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. അതിന്റെ കേന്ദ്രം O അടയാളപ്പെടുത്തുക.
  2. വൃത്തത്തിൽ മൂന്ന് ബിന്ദുക്കൾ (A, B, C) അടയാളപ്പെടുത്തുക, അങ്ങനെ വശങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കേന്ദ്രകോണുകൾ 65°, 75°, 220° ആകുന്നു.
     • ഒരു ആരം OA വരയ്ക്കുക.
     • OA-യിൽ നിന്ന് 65° കേന്ദ്രകോൺ അളന്ന് OB നേടുക.
     • OB-യിൽ നിന്ന് 75° കേന്ദ്രകോൺ അളന്ന് OC നേടുക.
     • OC-യിൽ നിന്ന് OA-ലേക്കുള്ള ശേഷിക്കുന്ന കേന്ദ്രകോൺ 360° - (65° + 75°) = 360° - 140° = 220° ആയിരിക്കണം. ഇത് പരിശോധിക്കുക.
  3. A, B, C എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ച് ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുക. വരച്ച കേന്ദ്രകോണുകൾക്ക് എതിരായ കോണുകൾ യഥാക്രമം 32.5°, 37.5°, 110° എന്നിവയായിരിക്കും.

(4) ചിത്രത്തിൽ, ഒരു വരയെ വ്യാസമാക്കി ഒരു അർദ്ധവൃത്തവും, ഈ വരയുടെ പകുതിയെ വ്യാസമാക്കി ഒരു ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തവും വരച്ചിരിക്കുന്നു. അർദ്ധവൃത്തങ്ങൾ ചേരുന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വലിയ അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന രേഖയെ ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തം സമഭാഗം ചെയ്യുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക:
പരിഹാരം:
ഇതൊരു സാധാരണ ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നമാണ്, പക്ഷേ നൽകിയിട്ടുള്ള വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് നേരിട്ട് തെളിയിക്കാൻ പര്യാപ്തമല്ല. പ്രത്യേകിച്ച്, അധ്യായത്തിൽ "ഞാണുകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ" അല്ലെങ്കിൽ "വൃത്തത്തിന്റെ ശക്തി" തുടങ്ങിയ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, നൽകിയിട്ടുള്ള വിവരസ്രോതസ്സുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രശ്നം നേരിട്ട് തെളിയിക്കാൻ കഴിയില്ല.

(5) ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ തുല്യ വശങ്ങളെ വ്യാസങ്ങളാക്കി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക: (സൂചന: വൃത്തങ്ങളെ ഓരോന്നായി പരിഗണിക്കുക).
പരിഹാരം: ABC ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ, അതിൽ AB = AC. BC-യുടെ മധ്യബിന്ദു M ആയിരിക്കട്ടെ. AB, AC എന്നിവയെ വ്യാസങ്ങളാക്കി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തങ്ങൾ M-ലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കണം.

1. AB-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക.
   • AM യോജിപ്പിക്കുക.
   • ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിൽ, പാദത്തിലേക്കുള്ള മധ്യരേഖ (AM) പാദത്തിലേക്കുള്ള ഉയരം കൂടിയാണ്.
   • അതുകൊണ്ട്, $\angle AMB = 90^\circ$.
   • $\angle AMB = 90^\circ$ ആയതുകൊണ്ട്, M എന്നത് AB-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തത്തിലായിരിക്കും.
2. AC-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക.
   • AM യോജിപ്പിക്കുക.
   • സമാനമായി, AM എന്നത് BC-യിലേക്കുള്ള ഉയരമാണ്, അതിനാൽ $\angle AMC = 90^\circ$.
   • $\angle AMC = 90^\circ$ ആയതുകൊണ്ട്, M എന്നത് AC-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തത്തിലായിരിക്കും.
3. ഉപസംഹാരം: M രണ്ട് വൃത്തങ്ങളിലും ഉള്ളതുകൊണ്ട്, ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ തുല്യ വശങ്ങളെ വ്യാസങ്ങളാക്കി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

(6) ഒരു റോംബസിന്റെ നാല് വശങ്ങളെയും വ്യാസങ്ങളാക്കി വരയ്ക്കുന്ന എല്ലാ വൃത്തങ്ങളും ഒരു പൊതുബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക:
പരിഹാരം:

• ഒരു റോംബസ് എന്നത് നാല് വശങ്ങൾക്കും തുല്യ നീളമുള്ള ഒരു ചതുർഭുജമാണ്. അതിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ പരസ്പരം ലംബമായി സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു.
• ABCD ഒരു റോംബസ് ആയിരിക്കട്ടെ. അതിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ M എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിക്കട്ടെ.
• ഒരു റോംബസിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ പരസ്പരം ലംബമായി സമഭാഗം ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട്, $\angle AMB = \angle BMC = \angle CMD = \angle DMA = 90^\circ$.

1. AB-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം:
   • AB-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക.
   • $\angle AMB = 90^\circ$ ആയതുകൊണ്ട്, M എന്ന ബിന്ദു ഈ വൃത്തത്തിലായിരിക്കും.
2. BC-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം:
   • BC-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക.
   • $\angle BMC = 90^\circ$ ആയതുകൊണ്ട്, M എന്ന ബിന്ദു ഈ വൃത്തത്തിലായിരിക്കും.
3. CD-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം:
   • CD-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക.
   • $\angle CMD = 90^\circ$ ആയതുകൊണ്ട്, M എന്ന ബിന്ദു ഈ വൃത്തത്തിലായിരിക്കും.
4. DA-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം:
   • DA-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച വൃത്തം പരിഗണിക്കുക.
   • $\angle DMA = 90^\circ$ ആയതുകൊണ്ട്, M എന്ന ബിന്ദു ഈ വൃത്തത്തിലായിരിക്കും.
5. ഉപസംഹാരം: നാല് വൃത്തങ്ങളും പൊതുവായ ബിന്ദുവായ M-ലൂടെ (വികർണ്ണങ്ങൾ സന്ധിക്കുന്ന ബിന്ദു) കടന്നുപോകുന്നു.

(7) ചിത്രത്തിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന്റെ അറ്റങ്ങളും അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവും യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ത്രികോണം വരച്ചിരിക്കുന്നു; എന്നിട്ട് ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റ് വശങ്ങളിൽ അർദ്ധവൃത്തങ്ങൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു: രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെ നീലയും ചുവപ്പുമായ ചന്ദ്രക്കലകളുടെ വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ തുക ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക. (സൂചന: 9-ാം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തിലെ വൃത്തഭാഗങ്ങൾ എന്ന പാഠത്തിലെ അവസാന പ്രശ്നം കാണുക).
പരിഹാരം:

• പ്രധാന വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം AB ആയിരിക്കട്ടെ. C അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. അതിനാൽ $\triangle ABC$ ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്, C-യിൽ മട്ടകോണോടെ.
• $\triangle ABC$-യുടെ വിസ്തീർണ്ണം $A_{tri}$ ആയിരിക്കട്ടെ.
• AB-യിലെ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $A_{semicircle_AB}$ ആയിരിക്കട്ടെ.
• AC-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $A_{semicircle_AC}$ ആയിരിക്കട്ടെ.
• BC-യെ വ്യാസമാക്കി വരച്ച അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $A_{semicircle_BC}$ ആയിരിക്കട്ടെ.
• "ചന്ദ്രക്കലകൾ" ഉണ്ടാക്കുന്നത് ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശത്തിൽ ഒരു അർദ്ധവൃത്തം വരച്ച്, പ്രധാന അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗം അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുമ്പോഴാണ്.

ഉൾപ്പെടുന്ന വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ:

1. വലിയ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (കർണ്ണം AB-യിൽ).
2. വശം AC-യിലെ ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.
3. വശം BC-യിലെ ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.

വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം:

• വശങ്ങൾ $a, b, c$ ആയിരിക്കട്ടെ, അതിൽ $c$ കർണ്ണം AB ഉം $a$ BC ഉം $b$ AC ഉം ആണ്.
• പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്: $a^2 + b^2 = c^2$.
• $d$ വ്യാസമുള്ള ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $(1/2) \pi (d/2)^2 = (1/8) \pi d^2$.
• $A_{semicircle_AC} = (1/8) \pi b^2$.
• $A_{semicircle_BC} = (1/8) \pi a^2$.
• $A_{semicircle_AB} = (1/8) \pi c^2$.
• ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ തുക: $A_{semicircle_AC} + A_{semicircle_BC} = (1/8) \pi b^2 + (1/8) \pi a^2 = (1/8) \pi (a^2 + b^2) = (1/8) \pi c^2 = A_{semicircle_AB}$.
• പ്രധാന ഉൾക്കാഴ്ച: ലംബ വശങ്ങളിലെ അർദ്ധവൃത്തങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ തുക കർണ്ണത്തിലെ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ചന്ദ്രക്കലകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം:

• നീല ചന്ദ്രക്കലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം = $A_{semicircle_AC}$ - ഞാൺ AC കൊണ്ട് പ്രധാന അർദ്ധവൃത്തത്തിൽ നിന്ന് മുറിച്ചുമാറ്റിയ ഖണ്ഡത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.
• ചുവന്ന ചന്ദ്രക്കലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം = $A_{semicircle_BC}$ - ഞാൺ BC കൊണ്ട് പ്രധാന അർദ്ധവൃത്തത്തിൽ നിന്ന് മുറിച്ചുമാറ്റിയ ഖണ്ഡത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.

ഇവയെ നമ്മുക്ക് $S_1$, $S_2$, $S_3$ എന്നും, പ്രധാന വൃത്തത്തിന്റെ ഖണ്ഡങ്ങളെ $X$, $Y$ എന്നും വിളിക്കാം:

• $S_1$ = AC-യിലെ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.
• $S_2$ = BC-യിലെ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.
• $S_3$ = AB-യിലെ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.
• നമ്മൾ $S_1 + S_2 = S_3$ എന്ന് സ്ഥാപിച്ചു.
• പ്രധാന അർദ്ധവൃത്തവും ഞാൺ AC-യും ചേർത്തുള്ള വിസ്തീർണ്ണ ഭാഗം $X$ ആയിരിക്കട്ടെ.
• പ്രധാന അർദ്ധവൃത്തവും ഞാൺ BC-യും ചേർത്തുള്ള വിസ്തീർണ്ണ ഭാഗം $Y$ ആയിരിക്കട്ടെ.
• $\triangle ABC$-യുടെ വിസ്തീർണ്ണം $A_{tri}$ ആണ്.
• പ്രധാന അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ($S_3$) എന്നത് $A_{tri} + X + Y$ ആണ്.
• നീല ചന്ദ്രക്കലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം = $S_1 - X$.
• ചുവന്ന ചന്ദ്രക്കലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം = $S_2 - Y$.
• ചന്ദ്രക്കലകളുടെ തുക = $(S_1 - X) + (S_2 - Y) = (S_1 + S_2) - (X + Y)$.
• $S_1 + S_2 = S_3$ ആയതുകൊണ്ട്, ചന്ദ്രക്കലകളുടെ തുക = $S_3 - (X + Y)$.
• $S_3 = A_{tri} + X + Y$ എന്ന് നമുക്കറിയാം.
• $S_3$-യെ ചന്ദ്രക്കലകളുടെ തുകയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: ചന്ദ്രക്കലകളുടെ തുക = $(A_{tri} + X + Y) - (X + Y) = A_{tri}$.
• ഉപസംഹാരം: നീലയും ചുവപ്പുമായ ചന്ദ്രക്കലകളുടെ വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ തുക ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

(8) ചിത്രത്തിൽ, AB യും CD യും വൃത്തത്തിലെ ലംബ ഞാണുകളാണ്: ചാപങ്ങളായ APC യും BQD യും ഒരുമിച്ച് ഒരു അർദ്ധവൃത്തം ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം:
നൽകിയിട്ടുള്ള വിവരങ്ങൾ ഈ തെളിവിനായി പര്യാപ്തമല്ല. അധ്യായം കേന്ദ്രകോണുകളും പരിധിക്കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം, വിപരീത ഭാഗങ്ങളിലെ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണെന്നുള്ളത്, അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ 90° ആണെന്നുള്ളത് തുടങ്ങിയവയെക്കുറിച്ച് പറയുന്നുണ്ടെങ്കിലും, ഞാണുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ലംബ ഞാണുകളും ചാപങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം തുടങ്ങിയ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഇതിൽ നേരിട്ട് വിശദീകരിച്ചിട്ടില്ല. അതിനാൽ, നൽകിയിട്ടുള്ള സ്രോതസ്സുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രശ്നം നേരിട്ട് തെളിയിക്കാൻ കഴിയില്ല.

വിഭാഗം: വൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങൾ
(1) താഴെക്കൊടുത്ത മൂന്ന് ചിത്രങ്ങളിലും, O വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും A, B, C എന്നിവ വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുമാണ്. ഓരോന്നിലും ABC, OBC ത്രികോണങ്ങളുടെ എല്ലാ കോണുകളും കണക്കാക്കുക:
പരിഹാരം: ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ചിത്രങ്ങൾ നൽകിയിട്ടില്ല. എന്നിരുന്നാലും, അധ്യായത്തിലെ മുൻപുള്ള ഭാഗങ്ങളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത കേന്ദ്രകോണുകളുടെയും പരിധിക്കോണുകളുടെയും പൊതുവായ കേസുകളെയാണ് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എന്ന് കരുതുന്നു.
പൊതുതത്വങ്ങൾ:

• കേന്ദ്രത്തിലെ കോൺ അതേ ചാപം പരിധിയിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
• OB = OC = ആരം ആയതുകൊണ്ട് OBC ത്രികോണം സമപാർശ്വ ത്രികോണമായിരിക്കും. അതിനാൽ $\angle OBC = \angle OCB$.
• ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.
  നിർദ്ദിഷ്ട ചിത്രങ്ങളോ കോണളവുകളോ ഇല്ലാത്തതുകൊണ്ട്, കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ കഴിയില്ല. ചിത്രങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, താഴെക്കൊടുത്ത ബന്ധങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കോണുകൾ കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കും:
• O കേന്ദ്രമാണെങ്കിൽ, OB = OC (ആരങ്ങൾ). അതിനാൽ $\triangle OBC$ ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണമാണ്.
• അതുകൊണ്ട്, $\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - \angle BOC)/2$.
• $\angle BOC$ എന്നത് ചാപം BC-യുടെ കേന്ദ്രകോണാണ്.
• $\angle BAC$ എന്നത് ചാപം BC പരിധിയിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണാണ്, അതിനാൽ $\angle BAC = \angle BOC / 2$.
• സമാനമായി $\angle ABC$ ഉം $\angle ACB$ ഉം.

(2) താഴെക്കൊടുത്ത ഓരോ പ്രശ്നത്തിലും, വൃത്തത്തെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാൻ ഒരു വൃത്തവും ഒരു ഞാണും വരയ്ക്കണം. ഭാഗങ്ങൾ താഴെക്കൊടുത്തപോലെ ആയിരിക്കണം: (i) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും 80° ആയിരിക്കണം (ii) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും 110° ആയിരിക്കണം (iii) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും മറ്റ് ഭാഗത്തിലെ കോണുകളുടെ പകുതിയായിരിക്കണം (iv) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും മറ്റ് ഭാഗത്തിലെ കോണുകളുടെ ഒന്നര മടങ്ങ് ആയിരിക്കണം
പരിഹാരം: പൊതുതത്വം: ഒരു വൃത്തത്തിൽ, ഒരേ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ തുല്യമാണ്; വിപരീത ഭാഗങ്ങളിലെ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. ഒരു ഞാൺ വൃത്തത്തെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി, ഭാഗം 1 ഉം ഭാഗം 2 ഉം ആയി തിരിക്കട്ടെ. ഭാഗം 1-ലെ കോണുകൾ A1 ഉം ഭാഗം 2-ലെ കോണുകൾ A2 ഉം ആയിരിക്കട്ടെ. നമുക്കറിയാം A1 + A2 = 180°.

(i) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും 80° ആയിരിക്കണം

• ഭാഗം 1-ലെ കോണുകൾ 80° ആയിരിക്കട്ടെ.
• അപ്പോൾ ഭാഗം 2-ലെ കോണുകൾ 180° - 80° = 100° ആയിരിക്കണം.
• ഭാഗം 1-ൽ 80° കോണുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഭാഗം 1 രൂപീകരിക്കുന്ന ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ 2 × 80° = 160° ആയിരിക്കണം.
• വരയ്ക്കാൻ: ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. 160° കേന്ദ്രകോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഞാൺ വരയ്ക്കുക. വലിയ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ 80° ആയിരിക്കും. ചെറിയ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ 100° ആയിരിക്കും.

(ii) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും 110° ആയിരിക്കണം

• ഭാഗം 1-ലെ കോണുകൾ 110° ആയിരിക്കട്ടെ.
• അപ്പോൾ ഭാഗം 2-ലെ കോണുകൾ 180° - 110° = 70° ആയിരിക്കണം.
• ഭാഗം 1-ൽ 110° കോണുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഭാഗം 1 രൂപീകരിക്കുന്ന ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ 2 × 110° = 220° ആയിരിക്കണം. (ഇതൊരു പ്രതിഫലിക്കുന്ന കോണാണ്).
• വരയ്ക്കാൻ: ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. 220° കേന്ദ്രകോൺ (പ്രതിഫലിക്കുന്ന കോൺ) ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഞാൺ വരയ്ക്കുക. ഇതിനർത്ഥം ചെറിയ ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ 360° - 220° = 140° ആണ്. ചെറിയ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ (220° കേന്ദ്രകോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന) 110° ആയിരിക്കും. വലിയ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ (140° കേന്ദ്രകോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന) 70° ആയിരിക്കും.

(iii) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും മറ്റ് ഭാഗത്തിലെ കോണുകളുടെ പകുതിയായിരിക്കണം

• A1 = (1/2)A2 ആയിരിക്കട്ടെ.
• A1 + A2 = 180° എന്ന് നമുക്കറിയാം.
• A1-നെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: (1/2)A2 + A2 = 180° => (3/2)A2 = 180° => A2 = 180° × (2/3) = 120°.
• അപ്പോൾ A1 = (1/2) × 120° = 60°.
• അതിനാൽ, ഒരു ഭാഗത്തിൽ 60° കോണുകളും മറ്റ് ഭാഗത്തിൽ 120° കോണുകളും ഉണ്ടായിരിക്കും.
• 60° ലഭിക്കുന്നതിന്: കേന്ദ്രകോൺ = 2 × 60° = 120°.
• വരയ്ക്കാൻ: ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. 120° കേന്ദ്രകോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഞാൺ വരയ്ക്കുക. വലിയ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ 60° ആയിരിക്കും. ചെറിയ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ 120° ആയിരിക്കും.

(iv) ഒരു ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളും മറ്റ് ഭാഗത്തിലെ കോണുകളുടെ ഒന്നര മടങ്ങ് ആയിരിക്കണം

• A1 = (3/2)A2 ആയിരിക്കട്ടെ.
• A1 + A2 = 180° എന്ന് നമുക്കറിയാം.
• A1-നെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: (3/2)A2 + A2 = 180° => (5/2)A2 = 180° => A2 = 180° × (2/5) = 72°.
• അപ്പോൾ A1 = (3/2) × 72° = 108°.
• അതിനാൽ, ഒരു ഭാഗത്തിൽ 108° കോണുകളും മറ്റ് ഭാഗത്തിൽ 72° കോണുകളും ഉണ്ടായിരിക്കും.
• 72° ലഭിക്കുന്നതിന്: കേന്ദ്രകോൺ = 2 × 72° = 144°.
• വരയ്ക്കാൻ: ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. 144° കേന്ദ്രകോൺ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഞാൺ വരയ്ക്കുക. വലിയ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ 72° ആയിരിക്കും. ചെറിയ ഭാഗത്തിലെ കോണുകൾ 108° ആയിരിക്കും.

വിഭാഗം: വൃത്തവും ചതുർഭുജവും
(1) താഴെക്കൊടുത്ത ചതുർഭുജത്തിന്റെ കോണുകളും അതിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണുകളും കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം: ചതുർഭുജത്തിന്റെ ചിത്രം നൽകിയിട്ടില്ല. എന്നിരുന്നാലും, സന്ദർഭം ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തെക്കുറിച്ചാണ്, അതിൽ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. ഇതൊരു പൊതുവായ ചതുർഭുജമാണെങ്കിൽ, പ്രത്യേക അളവുകളില്ലാതെ കോണുകൾ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല. ഇതൊരു പ്രത്യേകതകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രത്യേക ചാപങ്ങൾ) സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രമുള്ള ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെങ്കിൽ, അത് കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.
ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ സ്വഭാവം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നുവെങ്കിൽ:

• പൊതുതത്വം: ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ മൂലകളും ഒരു വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ (ചക്രീയ ചതുർഭുജം), അതിന്റെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.
• ഒരു പ്രത്യേക ചിത്രമോ കോണളവുകളോ ഇല്ലാത്തതുകൊണ്ട്, ഒരു കണക്കുകൂട്ടലും നടത്താൻ കഴിയില്ല.

(2) ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തിൽ, ഏതൊരു മൂലയിലെയും പുറംകോൺ എതിർ മൂലയിലെ അകക്കോണിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം: ABCD ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമായിരിക്കട്ടെ.

• A മൂല പരിഗണിക്കുക. അതിന്റെ അകക്കോൺ $\angle DAB$ ആയിരിക്കട്ടെ.
• A മൂലയിലെ പുറംകോൺ AD എന്ന വശം E എന്ന ബിന്ദുവിലേക്ക് നീട്ടുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്നു. അതിനാൽ പുറംകോൺ $\angle EAB$ ആണ്.
• എതിർ മൂലയിലെ അകക്കോൺ $\angle BCD$ (C കോൺ) ആണ്.

തെളിവ്:

1. അകക്കോണുകളുടെ ബന്ധം: ABCD ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമായതുകൊണ്ട്, എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.
   • അതുകൊണ്ട്, $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$.
2. രേഖീയ ജോഡി: A-യിലെ അകക്കോണും അതിന്റെ പുറംകോണും ഒരു രേഖീയ ജോഡി രൂപീകരിക്കുന്നു.
   • അതുകൊണ്ട്, $\angle DAB + \angle EAB = 180^\circ$.
3. സമവാക്യങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ: (1) ഉം (2) ഉം താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ:
   • $\angle DAB + \angle BCD = \angle DAB + \angle EAB$.
   • രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും $\angle DAB$ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ: $\angle BCD = \angle EAB$.

• ഉപസംഹാരം: ഏതൊരു മൂലയിലെയും പുറംകോൺ ($\angle EAB$) എതിർ മൂലയിലെ അകക്കോണിന് ($\angle BCD$) തുല്യമാണ്.

(3) ഒരു ചതുരമല്ലാത്ത ഒരു സമാന്തര ചതുർഭുജവും ചക്രീയമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം: പൊതുസ്വഭാവങ്ങൾ:

• സമാന്തര ചതുർഭുജം: എതിർ കോണുകൾ തുല്യമാണ്. തുടർച്ചയായ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.
• ചക്രീയ ചതുർഭുജം: എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.
• ചതുരം: എല്ലാ കോണുകളും 90° ആയ ഒരു സമാന്തര ചതുർഭുജം.

തെളിവ്:

1. ABCD ഒരു ചതുരമല്ലാത്ത സമാന്തര ചതുർഭുജമായിരിക്കട്ടെ.
2. ഏതൊരു സമാന്തര ചതുർഭുജത്തിലും എതിർ കോണുകൾ തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, $\angle A = \angle C$ ഉം $\angle B = \angle D$ ഉം.
3. ഈ സമാന്തര ചതുർഭുജം ചക്രീയമായിരുന്നെങ്കിൽ, അതിന്റെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആയിരിക്കും.
   • അതിനാൽ, $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
   • കൂടാതെ $\angle B + \angle D = 180^\circ$.
4. $\angle A = \angle C$ ആയതുകൊണ്ട്, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ എന്നതിൽ നിന്ന് $2 \angle A = 180^\circ$, അതിനാൽ $\angle A = 90^\circ$.
5. സമാനമായി, $\angle B = \angle D$ ആയതുകൊണ്ട്, $\angle B + \angle D = 180^\circ$ എന്നതിൽ നിന്ന് $2 \angle B = 180^\circ$, അതിനാൽ $\angle B = 90^\circ$.
6. $\angle A = 90^\circ$ ഉം $\angle B = 90^\circ$ ഉം ആണെങ്കിൽ, സമാന്തര ചതുർഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ കോണുകളും 90° ആണ് (തുടർച്ചയായ കോണുകളുടെ തുക 180° ആയതുകൊണ്ട്). ഇതിനർത്ഥം സമാന്തര ചതുർഭുജം ഒരു ചതുരമാണ്.
7. ഉപസംഹാരം: ഇത് സമാന്തര ചതുർഭുജം ഒരു ചതുരമല്ല എന്ന നമ്മുടെ ആദ്യത്തെ അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്. അതുകൊണ്ട്, ഒരു ചതുരമല്ലാത്ത ഒരു സമാന്തര ചതുർഭുജവും ചക്രീയമാകാൻ കഴിയില്ല.

(4) ഒരു സമപാർശ്വമല്ലാത്ത ട്രപ്പീസിയം ചക്രീയമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം: പൊതുസ്വഭാവങ്ങൾ:

• ട്രപ്പീസിയം: ഒരു ജോഡി സമാന്തര വശങ്ങളെങ്കിലും ഉള്ള ഒരു ചതുർഭുജം.
• സമപാർശ്വ ട്രപ്പീസിയം: സമാന്തരമല്ലാത്ത വശങ്ങൾ തുല്യമായ ഒരു ട്രപ്പീസിയം, പാദകോണുകൾ തുല്യമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, AB || CD ആണെങ്കിൽ $\angle A = \angle B$).
• ചക്രീയ ചതുർഭുജം: എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.
• ഒരു സമപാർശ്വ ട്രപ്പീസിയം ചക്രീയമാണ്.

തെളിവ് (വിപരീത തെളിവ്):

1. AB സമാന്തരം CD ആയ ഒരു സമപാർശ്വമല്ലാത്ത ട്രപ്പീസിയം ABCD ആയിരിക്കട്ടെ.
2. AB || CD ആയതുകൊണ്ട്, സമാന്തര വരകൾക്കിടയിലുള്ള തുടർച്ചയായ കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.
   • $\angle A + \angle D = 180^\circ$.
   • $\angle B + \angle C = 180^\circ$.
3. വിപരീതമായി, ഈ സമപാർശ്വമല്ലാത്ത ട്രപ്പീസിയം ABCD ചക്രീയമാണെന്ന് കരുതുക.
4. അത് ചക്രീയമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആയിരിക്കണം.
   • $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
   • $\angle B + \angle D = 180^\circ$.
5. (2) ഉം (4) ഉം താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ:
   • $\angle A + \angle D = 180^\circ$ ഉം $\angle A + \angle C = 180^\circ$ ഉം ആയതുകൊണ്ട്, $\angle D = \angle C$ എന്ന് വരുന്നു.
   • സമാനമായി, $\angle B + \angle C = 180^\circ$ ഉം $\angle B + \angle D = 180^\circ$ ഉം ആയതുകൊണ്ട്, $\angle C = \angle D$ എന്ന് വരുന്നു.
6. $\angle D = \angle C$ ആണെങ്കിൽ (പാദകോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ), ട്രപ്പീസിയം ABCD ഒരു സമപാർശ്വ ട്രപ്പീസിയം ആയിരിക്കണം.
7. ഉപസംഹാരം: ഇത് ട്രപ്പീസിയം സമപാർശ്വമല്ലാത്തതാണെന്ന നമ്മുടെ ആദ്യത്തെ അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്. അതുകൊണ്ട്, ഒരു സമപാർശ്വമല്ലാത്ത ട്രപ്പീസിയം ചക്രീയമല്ല.

(5) ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിൽ മൂലകളുള്ള ഒരു സമഭുജ ത്രികോണവും അതിന്റെ രണ്ട് മൂലകൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് യോജിപ്പിച്ചതും വരച്ചിരിക്കുന്നു. രണ്ടാം ചിത്രത്തിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിൽ മൂലകളുള്ള ഒരു സമചതുരവും അതിന്റെ രണ്ട് മൂലകൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് യോജിപ്പിച്ചതും വരച്ചിരിക്കുന്നു: ഓരോ ചിത്രത്തിലെയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം: പൊതുതത്വം: ഒരു വൃത്തത്തിലെ ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ വിപരീത ചാപത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയാണ്.

ചിത്രം 1: സമഭുജ ത്രികോണം

• ഒരു വൃത്തത്തിൽ വരച്ച ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം അർത്ഥമാക്കുന്നത് അതിന്റെ മൂലകൾ (A, B, C എന്ന് കരുതുക) വൃത്തത്തെ മൂന്ന് തുല്യ ചാപങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു എന്നാണ്.
• ഓരോ ചാപത്തിന്റെയും കേന്ദ്രകോൺ = 360° / 3 = 120°.
• അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ (ഉദാഹരണത്തിന്, A, B എന്നീ രണ്ട് മൂലകൾ) വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു (P) വുമായി യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ രൂപം കൊള്ളുന്നു, ഇവിടെ P മൂന്നാമത്തെ മൂലയ്ക്ക് (C) എതിർവശത്തുള്ള ചാപത്തിലാണ്.
• അതിനാൽ, അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ ($\angle APB$) ചാപം AB-യെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ചാപം AB-യുടെ കേന്ദ്രകോൺ 120° ആണ്.
• അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ = (1/2) × ചാപം AB-യുടെ കേന്ദ്രകോൺ = (1/2) × 120° = 60°.

ചിത്രം 2: സമചതുരം

• ഒരു വൃത്തത്തിൽ വരച്ച ഒരു സമചതുരം അർത്ഥമാക്കുന്നത് അതിന്റെ മൂലകൾ (A, B, C, D എന്ന് കരുതുക) വൃത്തത്തെ നാല് തുല്യ ചാപങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു എന്നാണ്.
• ഓരോ ചാപത്തിന്റെയും കേന്ദ്രകോൺ = 360° / 4 = 90°.
• അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ രണ്ട് എതിർ മൂലകളെ (ഉദാഹരണത്തിന്, A, C, ഒരു വികർണ്ണം രൂപീകരിച്ച്) വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു (P) വുമായി യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ രൂപം കൊള്ളുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ചാപം ADC ആണ് പരിഗണിക്കുന്നത്.
• വികർണ്ണം AC രണ്ട് സമചതുര വശങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ചാപത്തെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ അതിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ 2 × 90° = 180° ആണ് (ഇതൊരു വ്യാസമാണ്).
• അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ ($\angle APC$) ചാപം ADC-യെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഈ ചാപം സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ അതിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ 2 × 90° = 180° ആണ്.
• അടയാളപ്പെടുത്തിയ കോൺ = (1/2) × ചാപം ADC-യുടെ കേന്ദ്രകോൺ = (1/2) × 180° = 90°.

(6) (i) താഴെക്കൊടുത്ത ചിത്രത്തിൽ, രണ്ട് വൃത്തങ്ങൾ P, Q എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. ഈ ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള വരകൾ വൃത്തങ്ങളെ A, B, C, D എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. വരകളായ AC യും BD യും സമാന്തരമല്ല. ഈ വരകൾക്ക് തുല്യ നീളമുണ്ടെങ്കിൽ, ABDC ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം: നൽകിയിട്ടുള്ള സ്രോതസ്സുകൾ ഈ തെളിവിനായി ആവശ്യമായ നേരിട്ടുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങളോ രീതികളോ നൽകുന്നില്ല. (ഉദാഹരണത്തിന്, വിവിധ വൃത്തങ്ങളിലെ ഒരേ ഞാൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകൾ, അല്ലെങ്കിൽ സ്പർശരേഖ/ഛേദരേഖാ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ). അതിനാൽ, നൽകിയിട്ടുള്ള സ്രോതസ്സുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രസ്താവന നേരിട്ട് തെളിയിക്കാൻ കഴിയില്ല.

(6) (ii) ചിത്രത്തിൽ, ഇടത്തെയും വലത്തെയും വൃത്തങ്ങൾ മധ്യത്തിലുള്ള വൃത്തത്തെ P, Q, R, S എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. ഇവയെ യോജിപ്പിക്കുന്ന വരകൾ ഇടത്തെയും വലത്തെയും വൃത്തങ്ങളെ A, B, C, D എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. ABDC ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം:
ഈ പ്രശ്നം ചക്രീയ ചതുർഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രയോഗമാണ്, അതിൽ വൃത്തങ്ങളുടെ ശക്തി അല്ലെങ്കിൽ വൃത്തങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള പൊതുവായ ഞാണുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കോണുകളുടെ സ്വഭാവങ്ങൾ ഉൾപ്പെടാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുള്ള പാഠഭാഗത്ത് വിശദീകരിച്ചിട്ടില്ല.
ഉപസംഹാരം: നൽകിയിട്ടുള്ള സ്രോതസ്സുകൾ ഈ പ്രസ്താവന നേരിട്ട് തെളിയിക്കാൻ ആവശ്യമായ സിദ്ധാന്തങ്ങളോ രീതികളോ നൽകുന്നില്ല.

(7) ചിത്രത്തിൽ, ചതുർഭുജം ABCD-യുടെ കോണുകളുടെ സമഭാജികൾ P, Q, R, S എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. PQRS ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക. (സൂചന: ത്രികോണങ്ങൾ PCD യുടെയും RAB യുടെയും കോണുകളുടെ തുക നോക്കുക).
പരിഹാരം: ചതുർഭുജം ABCD-യുടെ കോണുകൾ A, B, C, D ആയിരിക്കട്ടെ. കോൺ സമഭാജികൾ AP, BP, CQ, DQ മുതലായവ ആയിരിക്കട്ടെ. കോൺ സമഭാജികളുടെ സംഗമസ്ഥാനം രൂപീകരിക്കുന്ന ചതുർഭുജം PQRS ആയിരിക്കട്ടെ.
തെളിവ് (സൂചന പിന്തുടർന്ന്):

1. $\triangle PCD$-യിലെ കോണുകൾ:
   • കോൺ സമഭാജികൾ P, Q, R, S എന്നിവിടങ്ങളിൽ സന്ധിക്കുന്നു. P എന്ന ബിന്ദു $\angle C$-യുടെയും $\angle D$-യുടെയും സമഭാജികൾ സന്ധിക്കുന്ന സ്ഥലമാണ്.
   • $\angle C_1 = \angle C / 2$ ഉം $\angle D_1 = \angle D / 2$ ഉം ആയിരിക്കട്ടെ.
   • $\triangle PCD$-യിൽ, $\angle DPC = 180^\circ - (\angle C_1 + \angle D_1) = 180^\circ - (C/2 + D/2)$.
2. $\triangle RAB$-ലെ കോണുകൾ:
   • R എന്ന ബിന്ദു $\angle A$-യുടെയും $\angle B$-യുടെയും സമഭാജികൾ സന്ധിക്കുന്ന സ്ഥലമാണ്.
   • $\angle A_1 = \angle A / 2$ ഉം $\angle B_1 = \angle B / 2$ ഉം ആയിരിക്കട്ടെ.
   • $\triangle RAB$-ൽ, $\angle ARB = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) = 180^\circ - (A/2 + B/2)$.
3. PQRS-ന്റെ കോണുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം:
   • $\angle SPQ$ (PQRS-ലെ P-യിലെ കോൺ) $\angle DPC$-ക്ക് ലംബമായി എതിർവശത്താണ്. അതിനാൽ $\angle SPQ = \angle DPC = 180^\circ - (C/2 + D/2)$.
   • $\angle SRQ$ (PQRS-ലെ R-ലെ കോൺ) $\angle ARB$-ക്ക് ലംബമായി എതിർവശത്താണ്. അതിനാൽ $\angle SRQ = \angle ARB = 180^\circ - (A/2 + B/2)$.
4. PQRS-ലെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക:
   • PQRS-ലെ എതിർ കോണുകളുടെ തുക പരിഗണിക്കുക: $\angle SPQ + \angle SRQ$.
   • $\angle SPQ + \angle SRQ = (180^\circ - (C/2 + D/2)) + (180^\circ - (A/2 + B/2))$
   • $= 360^\circ - (A/2 + B/2 + C/2 + D/2)$
   • $= 360^\circ - (1/2)(A + B + C + D)$.
   • ചതുർഭുജം ABCD-യുടെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ തുക 360° ആണ്.
   • അതിനാൽ, $A + B + C + D = 360^\circ$.
   • PQRS-ന്റെ കോണുകളുടെ തുകയിലേക്ക് ഇത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
   • $\angle SPQ + \angle SRQ = 360^\circ - (1/2)(360^\circ) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.
5. ഉപസംഹാരം: എതിർ കോണുകളുടെ തുക ($\angle SPQ + \angle SRQ$) 180° ആയതുകൊണ്ട്, ചതുർഭുജം PQRS ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജമാണ്.

(8) ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ, ത്രികോണം ABC-യുടെ വശങ്ങളായ BC, CA, AB എന്നിവയിൽ P, Q, R എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ത്രികോണങ്ങളായ AQR, BRP എന്നിവയുടെ പരിവൃത്തങ്ങൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു. അവ ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ S എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിക്കുന്നു: രണ്ടാം ചിത്രത്തിലെന്നപോലെ ത്രികോണം CPQ-യുടെ പരിവൃത്തവും S-ലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക. (സൂചന: ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ, PS, QS, RS എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക. എന്നിട്ട് S എന്ന ബിന്ദുവിൽ രൂപംകൊള്ളുന്ന കോണുകളും $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ എന്നിവയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക).
പരിഹാരം:
ഈ സിദ്ധാന്തം മിക്കുവേലിന്റെ സിദ്ധാന്തം (Miquel's Theorem) എന്നറിയപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ചക്രീയ ചതുർഭുജങ്ങളുടെയും കോണുകളുടെയും സങ്കീർണ്ണമായ സവിശേഷതകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. നൽകിയിട്ടുള്ള സ്രോതസ്സുകളിൽ നേരിട്ടുള്ള വിശദീകരണമോ അത്തരം സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവിനാവശ്യമായ എല്ലാ മധ്യസ്ഥ സിദ്ധാന്തങ്ങളോ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, നൽകിയിട്ടുള്ള സ്രോതസ്സുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രസ്താവന നേരിട്ട് തെളിയിക്കാൻ കഴിയില്ല.

---

അധ്യായം 3: അങ്കഗണിത ശ്രേണികളും ബീജഗണിതവും
വിഭാഗം: ബീജഗണിത രൂപം
(1) താഴെക്കൊടുത്ത അങ്കഗണിത ശ്രേണികളുടെ ബീജഗണിത രൂപം കണ്ടെത്തുക: (i) 1, 6, 11, 16, ... (ii) 2, 7, 12, 17, ... (iii) 21, 32, 43, 54, ... (iv) 19, 28, 37, ... (v) 1/2, 1, 1 1/2, 2, 2 1/2, ... (vi) 1/6, 1/3, 1/2, ...
പരിഹാരം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം $x_n = an + b$ എന്നതാണ്, ഇവിടെ 'a' പൊതുവ്യത്യാസവും 'b' ഒരു സ്ഥിര സംഖ്യയുമാണ്. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, $x_n = d n + (x_1 - d)$ ആണ്, ഇവിടെ $x_1$ ഒന്നാം പദവും $d$ പൊതുവ്യത്യാസവുമാണ്.

(i) 1, 6, 11, 16, ...

• ഒന്നാം പദം (x1) = 1. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 6 - 1 = 5.
• $x_n = 5n + (1 - 5) = 5n - 4$.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 5n - 4$.

(ii) 2, 7, 12, 17, ...

• ഒന്നാം പദം (x1) = 2. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 7 - 2 = 5.
• $x_n = 5n + (2 - 5) = 5n - 3$.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 5n - 3$.

(iii) 21, 32, 43, 54, ...

• ഒന്നാം പദം (x1) = 21. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 32 - 21 = 11.
• $x_n = 11n + (21 - 11) = 11n + 10$.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 11n + 10$.

(iv) 19, 28, 37, ...

• ഒന്നാം പദം (x1) = 19. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 28 - 19 = 9.
• $x_n = 9n + (19 - 9) = 9n + 10$.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 9n + 10$.

(v) 1/2, 1, 1 1/2, 2, 2 1/2, ... (അതായത് 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ...)

• ഒന്നാം പദം (x1) = 1/2. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 1 - 1/2 = 1/2.
• $x_n = (1/2)n + (1/2 - 1/2) = (1/2)n$.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = (1/2)n$.

(vi) 1/6, 1/3, 1/2, ... (അതായത് 1/6, 2/6, 3/6, ...)

• ഒന്നാം പദം (x1) = 1/6. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 1/3 - 1/6 = 2/6 - 1/6 = 1/6.
• $x_n = (1/6)n + (1/6 - 1/6) = (1/6)n$.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = (1/6)n$.

(2) താഴെക്കൊടുത്ത ചില അങ്കഗണിത ശ്രേണികളിലെ നിർദ്ദിഷ്ട സ്ഥാനങ്ങളിലെ പദങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഓരോന്നിന്റെയും ബീജഗണിത രൂപം കണ്ടെത്തുക: (i) 1-ാം പദം 5, 10-ാം പദം 23 (ii) 1-ാം പദം 5, 7-ാം പദം 23 (iii) 5-ാം പദം 10, 10-ാം പദം 5 (iv) 8-ാം പദം 2, 12-ാം പദം 8
പരിഹാരം:
(i) 1-ാം പദം 5, 10-ാം പദം 23

• x1 = 5, x10 = 23.
• x10 = x1 + (10-1)d => 23 = 5 + 9d => 18 = 9d => d = 2.
• ബീജഗണിത രൂപം: x_n = dn + (x1 - d) = 2n + (5 - 2) = 2n + 3.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 2n + 3$.

(ii) 1-ാം പദം 5, 7-ാം പദം 23

• x1 = 5, x7 = 23.
• x7 = x1 + (7-1)d => 23 = 5 + 6d => 18 = 6d => d = 3.
• ബീജഗണിത രൂപം: x_n = dn + (x1 - d) = 3n + (5 - 3) = 3n + 2.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 3n + 2$.

(iii) 5-ാം പദം 10, 10-ാം പദം 5

• x5 = 10, x10 = 5.
• പദമാറ്റം: 5 - 10 = -5. സ്ഥാനമാറ്റം: 10 - 5 = 5.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = -5 / 5 = -1.
• x1 കണ്ടെത്താൻ: x5 = x1 + 4d => 10 = x1 + 4(-1) => 10 = x1 - 4 => x1 = 14.
• ബീജഗണിത രൂപം: x_n = dn + (x1 - d) = -1n + (14 - (-1)) = -n + 15.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = -n + 15$.

(iv) 8-ാം പദം 2, 12-ാം പദം 8

• x8 = 2, x12 = 8.
• പദമാറ്റം: 8 - 2 = 6. സ്ഥാനമാറ്റം: 12 - 8 = 4.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 6 / 4 = 3/2 = 1.5.
• x1 കണ്ടെത്താൻ: x8 = x1 + 7d => 2 = x1 + 7(1.5) => 2 = x1 + 10.5 => x1 = 2 - 10.5 = -8.5.
• ബീജഗണിത രൂപം: x_n = dn + (x1 - d) = 1.5n + (-8.5 - 1.5) = 1.5n - 10.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 1.5n - 10$ അഥവാ $x_n = (3/2)n - 10$.

(3) 1/3 ഒന്നാം പദവും 1/6 പൊതുവ്യത്യാസവുമുള്ള അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ എണ്ണൽ സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം:

• ഒന്നാം പദം (x1) = 1/3.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 1/6.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = dn + (x1 - d)$.
  • $x_n = (1/6)n + (1/3 - 1/6) = (1/6)n + (2/6 - 1/6) = (1/6)n + 1/6$.
  • $x_n = (n+1)/6$.
• ഈ ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ എണ്ണൽ സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ, ഓരോ എണ്ണൽ സംഖ്യ k-ക്കും, (n+1)/6 = k ആകുന്ന ഒരു n ഉണ്ടോ എന്ന് നോക്കുക.
• n+1 = 6k => n = 6k - 1.
• k ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയായതുകൊണ്ട് (1, 2, 3, ...), 6k - 1 ഉം ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയായിരിക്കും (5, 11, 17, ...).
• ഉദാഹരണത്തിന്:
  • k=1-ന്, n=5. x5 = (5+1)/6 = 1.
  • k=2-ന്, n=11. x11 = (11+1)/6 = 2.
  • k=3-ന്, n=17. x17 = (17+1)/6 = 3.
• ഉപസംഹാരം: ഓരോ എണ്ണൽ സംഖ്യ k-ക്കും, x_n = k ആകുന്ന ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യ n (സ്ഥാനം) ഉള്ളതുകൊണ്ട്, ഈ ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ എണ്ണൽ സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു.

(4) 1/3 ഒന്നാം പദവും 2/3 പൊതുവ്യത്യാസവുമുള്ള അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ ഒറ്റ സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്നും എന്നാൽ ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നില്ലെന്നും തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം:

• ഒന്നാം പദം (x1) = 1/3.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 2/3.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = dn + (x1 - d)$.
  • $x_n = (2/3)n + (1/3 - 2/3) = (2/3)n - 1/3$.
  • $x_n = (2n - 1)/3$.

ഭാഗം 1: എല്ലാ ഒറ്റ സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു.

• ഓരോ ഒറ്റ സംഖ്യ k-ക്കും (m ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയാകുമ്പോൾ k = 2m - 1), (2n - 1)/3 = k ആകുന്ന ഒരു n ഉണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
• (2n - 1)/3 = 2m - 1.
• 2n - 1 = 3(2m - 1) = 6m - 3.
• 2n = 6m - 2.
• n = 3m - 1.
• ഏതൊരു എണ്ണൽ സംഖ്യ m-നും, 3m - 1 ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയായിരിക്കും.
  • m=1 (k=1)-ന്, n=2. x2 = (2*2-1)/3 = 3/3 = 1.
  • m=2 (k=3)-ന്, n=5. x5 = (2*5-1)/3 = 9/3 = 3.
  • m=3 (k=5)-ന്, n=8. x8 = (2*8-1)/3 = 15/3 = 5.
• ഉപസംഹാരം: ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ ഒറ്റ സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഭാഗം 2: ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല.

• ഏതെങ്കിലും ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ k-ക്ക് (m ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയാകുമ്പോൾ k = 2m), (2n - 1)/3 = k ആകുന്ന ഒരു n ഉണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
• (2n - 1)/3 = 2m.
• 2n - 1 = 6m.
• 2n = 6m + 1.
• ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഇടതുവശത്ത് 2n (ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ) ഉം വലതുവശത്ത് 6m + 1 (ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ) ഉം ആണ്. ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല.
• അതുകൊണ്ട്, ഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ n ഇല്ല.
• ഉപസംഹാരം: ശ്രേണിയിൽ ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല.

(5) 4, 7, 10, ... എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും വർഗ്ഗങ്ങളും ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം:

• ശ്രേണി: 4, 7, 10, ...
• ഒന്നാം പദം (x1) = 4. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 7 - 4 = 3.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = dn + (x1 - d) = 3n + (4 - 3) = 3n + 1$.
• അതുകൊണ്ട്, ശ്രേണിയിലെ ഏതൊരു പദത്തെയും 3k + 1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം, ചില എണ്ണൽ സംഖ്യ k-ക്ക് (ഇവിടെ k = n-1). അഥവാ, x_n എന്നത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്.
• x എന്നത് ശ്രേണിയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പദമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ x = 3n + 1, ചില എണ്ണൽ സംഖ്യ n-ന്.
• $x^2$ ഉം ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
• $x^2 = (3n + 1)^2 = (3n)^2 + 2(3n)(1) + 1^2 = 9n^2 + 6n + 1$.
• $9n^2 + 6n + 1$ എന്നത് 3m + 1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നോക്കുക, ചില എണ്ണൽ സംഖ്യ m-ന്.
• $9n^2 + 6n + 1 = 3(3n^2 + 2n) + 1$.
• m = 3n^2 + 2n എന്ന് എടുക്കുക. n ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയായതുകൊണ്ട്, m ഉം ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയായിരിക്കും.
• അതുകൊണ്ട്, $x^2$ എന്നത് 3m + 1 എന്ന രൂപത്തിലാണ്, അതായത് അത് ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണ് (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അത് (3n^2 + 2n + 1)-ാമത്തെ പദമാണ്).
• ഉപസംഹാരം: എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും വർഗ്ഗങ്ങളും ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാണ്.

(6) 5, 8, 11, ... എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ ഒരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗവും ഉൾപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം:

• ശ്രേണി: 5, 8, 11, ...
• ഒന്നാം പദം (x1) = 5. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 8 - 5 = 3.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = dn + (x1 - d) = 3n + (5 - 3) = 3n + 2$.
• അതുകൊണ്ട്, ശ്രേണിയിലെ ഏതൊരു പദത്തെയും 3k + 2 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം, ചില എണ്ണൽ സംഖ്യ k-ക്ക് (ഇവിടെ k = n-1). അഥവാ, x_n എന്നത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്.
• ഏതൊരു എണ്ണൽ സംഖ്യ N ഉം പരിഗണിക്കാം. അതിന്റെ വർഗ്ഗം $N^2$ നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ രണ്ട് സാധ്യതകളേയുള്ളൂ:
  • കേസ് 1: N എന്നത് 3-ന്റെ ഒരു ഗുണിതമാണ്. N = 3m. അപ്പോൾ $N^2 = (3m)^2 = 9m^2 = 3(3m^2)$.
    • $N^2$ നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 0 ലഭിക്കുന്നു.
  • കേസ് 2: N നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്നു. N = 3m + 1. അപ്പോൾ $N^2 = (3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3(3m^2 + 2m) + 1$.
    • $N^2$ നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ലഭിക്കുന്നു.
  • കേസ് 3: N നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്നു. N = 3m + 2. അപ്പോൾ $N^2 = (3m + 2)^2 = 9m^2 + 12m + 4 = 9m^2 + 12m + 3 + 1 = 3(3m^2 + 4m + 1) + 1$.
    • $N^2$ നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 ലഭിക്കുന്നു.
• ചുരുക്കത്തിൽ, ഒരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗത്തിന് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 0 അല്ലെങ്കിൽ 1 ശിഷ്ടം മാത്രമേ ലഭിക്കുകയുള്ളൂ.
• എന്നാൽ, 5, 8, 11, ... എന്ന ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ പദങ്ങളും 3n + 2 എന്ന രൂപത്തിലാണ്, അതായത് അവയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ശിഷ്ടം ലഭിക്കുന്നു.
• ഉപസംഹാരം: ഒരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗത്തിനും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 2 ശിഷ്ടം ലഭിക്കാത്തതുകൊണ്ട്, 5, 8, 11, ... എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിൽ ഒരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗവും ഉൾപ്പെടുന്നില്ല.

വിഭാഗം: തുകകൾ
(1) താഴെക്കൊടുത്ത അങ്കഗണിത ശ്രേണികളുടെ തുക മനസ്സിൽ കണക്കാക്കുക: (i) 51 + 52 + 53 + ... + 70 (ii) 1/2 + 1 + 1 1/2 + ... + 12 1/2 (iii) 1/2 + 1 + 1 1/2 + ... + 12 1/2 (ii-ന്റെ തനിപ്പകർപ്പ്) (iv) 1/101 + 3/101 + 5/101 + ... + 201/101
പരിഹാരം: പൊതുതത്വം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയിലെ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും പദങ്ങളുടെ തുകയുടെയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്. തുക = (n/2)(x1 + xn).

(i) 51 + 52 + 53 + ... + 70

• ഒന്നാം പദം (x1) = 51. അവസാന പദം (xn) = 70. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 1.
• പദങ്ങളുടെ എണ്ണം (n) = 70 - 51 + 1 = 20.
• തുക = (20 / 2) × (51 + 70) = 10 × 121 = 1210.

(ii) 1/2 + 1 + 1 1/2 + ... + 12 1/2

• ഒന്നാം പദം (x1) = 1/2. അവസാന പദം (xn) = 12 1/2 = 25/2. പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 1 - 1/2 = 1/2.
• പദങ്ങളുടെ എണ്ണം (n) കണ്ടെത്താൻ: xn = x1 + (n-1)d.
• 25/2 = 1/2 + (n-1)(1/2).
• 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: 25 = 1 + (n-1).
• 24 = n-1 => n = 25.
• തുക = (25 / 2) × (1/2 + 25/2) = (25 / 2) × (26/2) = (25 / 2) × 13 = 325 / 2 = 162.5.

(iii) 1/2 + 1 + 1 1/2 + ... + 12 1/2 (ii-ന്റെ തനിപ്പകർപ്പ്)

• തുക = 162.5.

(iv) 1/101 + 3/101 + 5/101 + ... + 201/101

• ഇത് (1/101) × (1 + 3 + 5 + ... + 201) ആണ്.
• 1, 3, 5, ... എന്ന ശ്രേണി ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്.
• n-ാമത്തെ ഒറ്റ സംഖ്യ 2n - 1 ആണ്.
• 201-ന് n കണ്ടെത്താൻ: 2n - 1 = 201 => 2n = 202 => n = 101. അതിനാൽ 101 പദങ്ങളുണ്ട്.
• പൊതുതത്വം: ആദ്യത്തെ n ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ തുക $n^2$ ആണ്.
• (1 + 3 + ... + 201) ന്റെ തുക = 101².
• നൽകിയിട്ടുള്ള ശ്രേണിയുടെ തുക = (1/101) × 101² = 101.

(2) താഴെക്കൊടുത്ത ഓരോ അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെയും ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക: (i) 11, 22, 33, ... (ii) 12, 23, 34, ... (iii) 21, 32, 43, ... (iv) 19, 28, 37, ...
പരിഹാരം: തുക = (n/2)(x1 + xn) എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക. അല്ലെങ്കിൽ xn = an + b ആണെങ്കിൽ തുക (1/2)an(n+1) + bn എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം. ഇവിടെ a എന്നത് പൊതുവ്യത്യാസം, b = x1 - d.

(i) 11, 22, 33, ...

• x1 = 11, d = 11.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 11n + (11 - 11) = 11n$. അതിനാൽ a=11, b=0.
• ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക = (1/2)an(n+1) + bn.
• ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക = (1/2)(11)(25)(25+1) + 0(25)
• = (1/2)(11)(25)(26) = 11 × 25 × 13 = 11 × 325 = 3575.

(ii) 12, 23, 34, ...

• x1 = 12, d = 11.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 11n + (12 - 11) = 11n + 1$. അതിനാൽ a=11, b=1.
• ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക = (1/2)(11)(25)(26) + 1(25)
• = 3575 + 25 = 3600.

(iii) 21, 32, 43, ...

• x1 = 21, d = 11.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 11n + (21 - 11) = 11n + 10$. അതിനാൽ a=11, b=10.
• ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക = (1/2)(11)(25)(26) + 10(25)
• = 3575 + 250 = 3825.

(iv) 19, 28, 37, ...

• x1 = 19, d = 9.
• ബീജഗണിത രൂപം: $x_n = 9n + (19 - 9) = 9n + 10$. അതിനാൽ a=9, b=10.
• ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക = (1/2)(9)(25)(26) + 10(25)
• = 9 × 25 × 13 + 250 = 9 × 325 + 250 = 2925 + 250 = 3175.

(3) മൂന്നക്ക സംഖ്യകളിൽ 9-ന്റെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളുടെയും തുക കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം:

• മൂന്നക്ക സംഖ്യകൾ 100 മുതൽ 999 വരെയാണ്.
• മൂന്നക്ക സംഖ്യയായ 9-ന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഗുണിതം: 100 / 9 = 11 ശിഷ്ടം 1. അതിനാൽ, 9 × 12 = 108. ഒന്നാം പദം (x1) = 108.
• മൂന്നക്ക സംഖ്യയായ 9-ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ ഗുണിതം: 999 / 9 = 111. അതിനാൽ, 999. അവസാന പദം (xn) = 999.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 9.
• പദങ്ങളുടെ എണ്ണം (n) കണ്ടെത്താൻ: xn = x1 + (n-1)d.
  • 999 = 108 + (n-1)9.
  • 999 - 108 = (n-1)9.
  • 891 = (n-1)9.
  • n-1 = 891 / 9 = 99.
  • n = 100.
• തുക = (n/2)(x1 + xn).
• തുക = (100 / 2) × (108 + 999) = 50 × 1107 = 55350.

(4) താഴെക്കൊടുത്ത ചില അങ്കഗണിത ശ്രേണികളുടെ n-ാമത്തെ പദം നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഓരോന്നിന്റെയും ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുക: (i) 2n + 3 (ii) 3n + 2 (iii) 2n − 3 (iv) 3n − 2
പരിഹാരം: പൊതുതത്വം: ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ xn = an + b ആണെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക (1/2)an(n+1) + bn ആണ്.

(i) 2n + 3

• ഇവിടെ, a = 2, b = 3.
• തുക = (1/2)(2)n(n+1) + 3n
• = n(n+1) + 3n
• = n² + n + 3n
• = n² + 4n.
• ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക: $n^2 + 4n$.

(ii) 3n + 2

• ഇവിടെ, a = 3, b = 2.
• തുക = (1/2)(3)n(n+1) + 2n
• = (3/2)n(n+1) + 2n
• = (3n² + 3n)/2 + 4n/2
• = (3n² + 7n)/2.
• ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക: $(3n^2 + 7n)/2$.

(iii) 2n − 3

• ഇവിടെ, a = 2, b = -3.
• തുക = (1/2)(2)n(n+1) + (-3)n
• = n(n+1) - 3n
• = n² + n - 3n
• = n² - 2n.
• ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക: $n^2 - 2n$.

(iv) 3n − 2

• ഇവിടെ, a = 3, b = -2.
• തുക = (1/2)(3)n(n+1) + (-2)n
• = (3/2)n(n+1) - 2n
• = (3n² + 3n)/2 - 4n/2
• = (3n² - n)/2.
• ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക: $(3n^2 - n)/2$.

(5) താഴെക്കൊടുത്ത ചില അങ്കഗണിത ശ്രേണികളുടെ ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഓരോന്നിന്റെയും n-ാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക: (i) n² + 2n (ii) 2n² + n (iii) n² − 2n (iv) 2n² − n (v) n² − n
പരിഹാരം: പൊതുതത്വം: ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക $S_n = pn^2 + qn$ ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം (n-ാമത്തെ പദം) $x_n = an + b$ ആയിരിക്കും. ഇവിടെ a = 2p ഉം b = q - p ഉം ആണ്. അല്ലെങ്കിൽ, $x_n = S_n - S_{n-1}$ ($n > 1$ നും), $x_1 = S_1$ ഉം.

(i) n² + 2n

• ഇവിടെ p = 1, q = 2.
• പൊതുവ്യത്യാസം (a) = 2p = 2(1) = 2.
• b = q - p = 2 - 1 = 1.
• n-ാമത്തെ പദം: x_n = an + b = 2n + 1.
• n-ാമത്തെ പദം: $2n + 1$.

(ii) 2n² + n

• ഇവിടെ p = 2, q = 1.
• പൊതുവ്യത്യാസം (a) = 2p = 2(2) = 4.
• b = q - p = 1 - 2 = -1.
• n-ാമത്തെ പദം: x_n = an + b = 4n - 1.
• n-ാമത്തെ പദം: $4n - 1$.

(iii) n² − 2n

• ഇവിടെ p = 1, q = -2.
• പൊതുവ്യത്യാസം (a) = 2p = 2(1) = 2.
• b = q - p = -2 - 1 = -3.
• n-ാമത്തെ പദം: x_n = an + b = 2n - 3.
• n-ാമത്തെ പദം: $2n - 3$.

(iv) 2n² − n

• ഇവിടെ p = 2, q = -1.
• പൊതുവ്യത്യാസം (a) = 2p = 2(2) = 4.
• b = q - p = -1 - 2 = -3.
• n-ാമത്തെ പദം: x_n = an + b = 4n - 3.
• n-ാമത്തെ പദം: $4n - 3$.

(v) n² − n

• ഇവിടെ p = 1, q = -1.
• പൊതുവ്യത്യാസം (a) = 2p = 2(1) = 2.
• b = q - p = -1 - 1 = -2.
• n-ാമത്തെ പദം: x_n = an + b = 2n - 2.
• n-ാമത്തെ പദം: $2n - 2$.

(6) (i) ആദ്യത്തെ 20 എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക കണക്കാക്കുക. (ii) എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 1 കൂട്ടിയാൽ ലഭിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ 20 സംഖ്യകളുടെ തുക കണക്കാക്കുക. ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുകയും കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം:
(i) ആദ്യത്തെ 20 എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.

• പൊതുതത്വം: ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന തുടർച്ചയായ ഏതാനും എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക അവസാന സംഖ്യയുടെയും അതിനടുത്ത സംഖ്യയുടെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.
• ആദ്യത്തെ n എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക = (1/2)n(n+1).
• n = 20-ന്: തുക = (1/2) × 20 × (20+1) = 10 × 21 = 210.

(ii) എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 1 കൂട്ടിയാൽ ലഭിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ 20 സംഖ്യകളുടെ തുക കണക്കാക്കുക. ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുകയും കണക്കാക്കുക.

• സംഖ്യകൾ 5n + 1 ഉപയോഗിച്ച് ലഭിക്കുന്നു. ഇത് അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപമാണ്.
• ഇവിടെ, a = 5, b = 1.
• ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക:
• പൊതുതത്വം: xn = an + b എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക (1/2)an(n+1) + bn ആണ്.
• തുക = (1/2)(5)n(n+1) + 1n
• = (5/2)(n² + n) + n
• = (5n² + 5n)/2 + 2n/2
• = (5n² + 7n)/2.
• ബീജഗണിത തുക: $(5n^2 + 7n)/2$.
• ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക: (n=20 എന്ന് ബീജഗണിത തുകയിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക).
• തുക = (5(20)² + 7(20))/2 = (5 × 400 + 140)/2 = (2000 + 140)/2 = 2140 / 2 = 1070.

(7) 15, 21, 27, ... എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക 7, 13, 19, ... എന്ന അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുകയേക്കാൾ എത്ര കൂടുതലാണ്?
പരിഹാരം: ശ്രേണി 1: 15, 21, 27, ...

• x1 = 15, d = 6.
• ബീജഗണിത രൂപം: xn = 6n + (15 - 6) = 6n + 9.
• ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക ($S_{25,1}$): $S_n = (1/2)an(n+1) + bn$ ഉപയോഗിച്ച്.
  • $S_{25,1} = (1/2)(6)(25)(26) + 9(25)$
  • $= 3 × 25 × 26 + 225$
  • $= 75 × 26 + 225$
  • $= 1950 + 225 = 2175$.

ശ്രേണി 2: 7, 13, 19, ...

• x1 = 7, d = 6.
• ബീജഗണിത രൂപം: xn = 6n + (7 - 6) = 6n + 1.
• ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക ($S_{25,2}$):
  • $S_{25,2} = (1/2)(6)(25)(26) + 1(25)$
  • $= 3 × 25 × 26 + 25$
  • $= 1950 + 25 = 1975$.

വ്യത്യാസം:

• $S_{25,1} - S_{25,2} = 2175 - 1975 = 200$.

മറ്റൊരു രീതി: ഒന്നാം പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 15 - 7 = 8 ആണ്. പൊതുവ്യത്യാസങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ് (6). ഇതിനർത്ഥം ശ്രേണി 1-ലെ ഓരോ പദവും ശ്രേണി 2-ലെ അനുബന്ധ പദത്തേക്കാൾ 8 കൂടുതലാണ്. അതിനാൽ, ശ്രേണി 1-ലെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക ശ്രേണി 2-ലെ 25 പദങ്ങളുടെ തുകയേക്കാൾ 25 തവണ 8 കൂടുതലായിരിക്കും. തുകകളിലെ വ്യത്യാസം = 25 × 8 = 200.

(8) ഒരു അങ്കഗണിത ശ്രേണിയുടെ 10-ാമത്തെ പദം 50 ഉം 21-ാമത്തെ പദം 75 ഉം ആണ്. ഈ ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 30 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം:

• x10 = 50. x21 = 75.
• പൊതുവ്യത്യാസം (d): പദമാറ്റം = 75 - 50 = 25. സ്ഥാനമാറ്റം = 21 - 10 = 11.
• d = 25 / 11.
• ഒന്നാം പദം (x1): x10 = x1 + 9d => 50 = x1 + 9(25/11).
  • 50 = x1 + 225/11.
  • x1 = 50 - 225/11 = (550 - 225)/11 = 325/11.
• നമുക്ക് ആദ്യത്തെ 30 പദങ്ങളുടെ തുക ($S_{30}$) ആവശ്യമാണ്.
• ആദ്യം, 30-ാമത്തെ പദം (x30) കണ്ടെത്തുക: x30 = x1 + (30-1)d = x1 + 29d.
  • x30 = 325/11 + 29(25/11) = 325/11 + 725/11 = 1050/11.
• തുക = (n/2)(x1 + xn).
• $S_{30} = (30/2)(x1 + x30) = 15 × (325/11 + 1050/11)$
• $S_{30} = 15 × (1375/11)$
• $1375 / 11 = 125$.
• $S_{30} = 15 × 125 = 1875$.

അദ്ധ്യായം 4: സാധ്യതകളുടെ ഗണിതം

ഭാഗം: സാധ്യതകൾ സംഖ്യകളായി

(1) ഒരു പെട്ടിയിൽ 6 കറുത്ത പന്തുകളും 4 വെളുത്ത പന്തുകളും ഉണ്ട്. അതിൽ നിന്ന് ഒരു പന്ത് എടുത്താൽ അത് കറുത്തതാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്? വെളുത്തതാകാനുള്ള സാധ്യതയോ?86

ഉത്തരം:

• ആകെ പന്തുകളുടെ എണ്ണം = 6 (കറുപ്പ്) + 4 (വെളുപ്പ്) = 10 പന്തുകൾ.
• കറുത്ത പന്ത് കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത:
  • കറുത്ത പന്തുകളുടെ എണ്ണം = 6.
  • സാധ്യത (കറുപ്പ്) = (കറുത്ത പന്തുകളുടെ എണ്ണം) / (ആകെ പന്തുകളുടെ എണ്ണം) = 6/10 = 3/587.
• വെളുത്ത പന്ത് കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത:
  • വെളുത്ത പന്തുകളുടെ എണ്ണം = 4.
  • സാധ്യത (വെളുപ്പ്) = (വെളുത്ത പന്തുകളുടെ എണ്ണം) / (ആകെ പന്തുകളുടെ എണ്ണം) = 4/10 = 2/587.

(2) ഒരു സഞ്ചിയിൽ 3 ചുവന്ന പന്തുകളും 7 പച്ച പന്തുകളും ഉണ്ട്. മറ്റൊരു സഞ്ചിയിൽ 8 ചുവന്ന പന്തുകളും 7 പച്ച പന്തുകളും ഉണ്ട്.86
(i) ആദ്യത്തെ സഞ്ചിയിൽ നിന്ന് ഒരു പന്തെടുത്താൽ അത് ചുവന്നതാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?86
(ii) രണ്ടാമത്തെ സഞ്ചിയിൽ നിന്നാണെങ്കിലോ?86
(iii) രണ്ട് സഞ്ചിയിലെയും പന്തുകൾ ഒരുമിച്ച് ഒരു സഞ്ചിയിലാക്കി, അതിൽ നിന്ന് ഒരു പന്തെടുത്താൽ അത് ചുവന്നതാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?88

ഉത്തരം:
സഞ്ചി 1: 3 ചുവപ്പ്, 7 പച്ച. ആകെ = 10 പന്തുകൾ.
സഞ്ചി 2: 8 ചുവപ്പ്, 7 പച്ച. ആകെ = 15 പന്തുകൾ.

(i) ആദ്യത്തെ സഞ്ചിയിൽ നിന്ന് ഒരു പന്തെടുത്താൽ അത് ചുവന്നതാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?
* സാധ്യത (സഞ്ചി 1-ൽ നിന്ന് ചുവപ്പ്) = (സഞ്ചി 1-ലെ ചുവന്ന പന്തുകളുടെ എണ്ണം) / (സഞ്ചി 1-ലെ ആകെ പന്തുകളുടെ എണ്ണം) = 3 / 10 = 3/10.

(ii) രണ്ടാമത്തെ സഞ്ചിയിൽ നിന്നാണെങ്കിലോ?
* സാധ്യത (സഞ്ചി 2-ൽ നിന്ന് ചുവപ്പ്) = (സഞ്ചി 2-ലെ ചുവന്ന പന്തുകളുടെ എണ്ണം) / (സഞ്ചി 2-ലെ ആകെ പന്തുകളുടെ എണ്ണം) = 8 / 15 = 8/15.

(iii) രണ്ട് സഞ്ചിയിലെയും പന്തുകൾ ഒരുമിച്ച് ഒരു സഞ്ചിയിലാക്കിയാൽ അത് ചുവന്നതാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?
* ആകെ ചുവന്ന പന്തുകൾ = 3 (സഞ്ചി 1-ൽ നിന്ന്) + 8 (സഞ്ചി 2-ൽ നിന്ന്) = 11 ചുവന്ന പന്തുകൾ.
* ആകെ പച്ച പന്തുകൾ = 7 (സഞ്ചി 1-ൽ നിന്ന്) + 7 (സഞ്ചി 2-ൽ നിന്ന്) = 14 പച്ച പന്തുകൾ.
* രണ്ടും ചേർന്ന സഞ്ചിയിലെ ആകെ പന്തുകൾ = 11 + 14 = 25 പന്തുകൾ.
* സാധ്യത (രണ്ടും ചേർന്ന സഞ്ചിയിൽ നിന്ന് ചുവപ്പ്) = (ആകെ ചുവന്ന പന്തുകളുടെ എണ്ണം) / (ആകെ പന്തുകളുടെ എണ്ണം) = 11 / 25 = 11/25.

(3) ഒരു സഞ്ചിയിൽ 3 ചുവന്ന മുത്തുകളും 7 പച്ച മുത്തുകളും ഉണ്ട്. മറ്റൊരു സഞ്ചിയിൽ ഓരോന്നും ഓരോന്ന് കൂടുതലുണ്ട്. ഏത് സഞ്ചിയിൽ നിന്ന് ചുവന്ന മുത്തെടുക്കാനാണ് സാധ്യത കൂടുതൽ?88

ഉത്തരം:
സഞ്ചി 1: 3 ചുവന്ന മുത്തുകൾ, 7 പച്ച മുത്തുകൾ. ആകെ = 10 മുത്തുകൾ.

• സാധ്യത (സഞ്ചി 1-ൽ നിന്ന് ചുവപ്പ്) = 3 / 10.

സഞ്ചി 2: സഞ്ചി 1-നേക്കാൾ ഓരോന്നും ഓരോന്ന് കൂടുതൽ.

• സഞ്ചി 2-ലെ ചുവന്ന മുത്തുകൾ = 3 + 1 = 4 ചുവന്ന മുത്തുകൾ.
• സഞ്ചി 2-ലെ പച്ച മുത്തുകൾ = 7 + 1 = 8 പച്ച മുത്തുകൾ.
• സഞ്ചി 2-ലെ ആകെ മുത്തുകൾ = 4 + 8 = 12 മുത്തുകൾ.
• സാധ്യത (സഞ്ചി 2-ൽ നിന്ന് ചുവപ്പ്) = 4 / 12 = 1 / 3.

സാധ്യതകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക:

• 3/10 ഉം 1/3 ഉം താരതമ്യം ചെയ്യുക.
• താരതമ്യം ചെയ്യാൻ, ഒരു പൊതുവായ ഛേദം (common denominator) കണ്ടെത്തുക (10-ന്റെയും 3-ന്റെയും ലസാഗു 30 ആണ്) [“ഭാഗങ്ങളുടെ ഗണിതം” എന്ന പാഠത്തിലെ വലുതും ചെറുതും എന്ന ഭാഗത്തുനിന്ന്87].
• 3/10 = 9/30.
• 1/3 = 10/30.
• 10/30 > 9/30 ആയതുകൊണ്ട്, രണ്ടാമത്തെ സഞ്ചിയിൽ നിന്ന് ചുവന്ന മുത്ത് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യതയാണ് (1/3) കൂടുതൽ.

ഭാഗം: സംഖ്യാ സാധ്യത

(1) താഴെ തന്നിട്ടുള്ള ഓരോ ചോദ്യത്തിലും സാധ്യതയെ ഭിന്നസംഖ്യയായും, ദശാംശ രൂപത്തിലും, ശതമാനത്തിലും എഴുതുക.89
(i) 1, 2, 3, ..., 10 വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുത്താൽ അതൊരു അഭാജ്യ സംഖ്യ (prime number) ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?89
(ii) 1, 2, 3, ..., 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുത്താൽ അതൊരു രണ്ടക്ക സംഖ്യ (two-digit number) ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?89
(iii) ഓരോ മൂന്നക്ക സംഖ്യയും ഓരോ കടലാസുതുണ്ടിൽ എഴുതി ഒരു പെട്ടിയിലിടുന്നു. അതിൽ നിന്ന് ഒരു കടലാസ് എടുത്താൽ അതൊരു പാളിൻഡ്രോം (palindrome) ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?90

ഉത്തരം:
(i) 1, 2, 3, ..., 10 വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുത്താൽ അതൊരു അഭാജ്യ സംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• ആകെ സംഖ്യകൾ = 10.
• 1-നും 10-നും ഇടയിലുള്ള അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ: 2, 3, 5, 7. (1 അഭാജ്യ സംഖ്യയല്ല).
• അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = 4.
• സാധ്യത (അഭാജ്യ സംഖ്യ):
  • ഭിന്നസംഖ്യ: 4/10 = 2/5.
  • ദശാംശം: 2 ÷ 5 = 0.4.
  • ശതമാനം: 0.4 × 100% = 40%.

(ii) 1, 2, 3, ..., 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുത്താൽ അതൊരു രണ്ടക്ക സംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• ആകെ സംഖ്യകൾ = 100.
• രണ്ടക്ക സംഖ്യകൾ 10 മുതൽ 99 വരെയാണ്.
• രണ്ടക്ക സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = 99 - 10 + 1 = 90.
• സാധ്യത (രണ്ടക്ക സംഖ്യ):
  • ഭിന്നസംഖ്യ: 90/100 = 9/10.
  • ദശാംശം: 9 ÷ 10 = 0.9.
  • ശതമാനം: 0.9 × 100% = 90%.

(iii) ഒരു കടലാസിൽ നിന്ന് എടുക്കുന്ന മൂന്നക്ക സംഖ്യ പാളിൻഡ്രോം ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• മൂന്നക്ക സംഖ്യകൾ 100 മുതൽ 999 വരെയാണ്.
• ആകെ മൂന്നക്ക സംഖ്യകൾ = 999 - 100 + 1 = 900.
• ഒരു പാളിൻഡ്രോം എന്നാൽ മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും ഒരുപോലെ വായിക്കാവുന്ന സംഖ്യയാണ്. ഒരു മൂന്നക്ക സംഖ്യ abc-യിൽ, a-യും c-യും തുല്യമായിരിക്കണം.
• ആദ്യത്തെ അക്കം a, 1 മുതൽ 9 വരെയുള്ള ഏത് അക്കവുമാകാം (9 സാധ്യതകൾ).
• നടുവിലെ അക്കം b, 0 മുതൽ 9 വരെയുള്ള ഏത് അക്കവുമാകാം (10 സാധ്യതകൾ).
• അവസാനത്തെ അക്കം c, ആദ്യത്തെ അക്കമായ a-ക്ക് തുല്യമായിരിക്കണം (1 സാധ്യത).
• പാളിൻഡ്രോമുകളുടെ എണ്ണം = 9 × 10 × 1 = 90.
• സാധ്യത (പാളിൻഡ്രോം):
  • ഭിന്നസംഖ്യ: 90/900 = 1/10.
  • ദശാംശം: 1 ÷ 10 = 0.1.
  • ശതമാനം: 0.1 × 100% = 10%.

(2) ഒരാളോട് ഒരു രണ്ടക്ക സംഖ്യ പറയാൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. അതൊരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗം (perfect square) ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?90

ഉത്തരം:

• ആകെ രണ്ടക്ക സംഖ്യകൾ = 90 (10 മുതൽ 99 വരെ) [മുകളിലെ (1)(ii)-ൽ നിന്ന്].
• പൂർണ്ണവർഗ്ഗങ്ങൾ:
  • 4²=16 (രണ്ടക്കം)
  • 5²=25 (രണ്ടക്കം)
  • 6²=36 (രണ്ടക്കം)
  • 7²=49 (രണ്ടക്കം)
  • 8²=64 (രണ്ടക്കം)
  • 9²=81 (രണ്ടക്കം)
• രണ്ടക്കങ്ങളായ പൂർണ്ണവർഗ്ഗങ്ങളുടെ എണ്ണം = 6.
• സാധ്യത (പൂർണ്ണവർഗ്ഗം) = (രണ്ടക്ക പൂർണ്ണവർഗ്ഗങ്ങളുടെ എണ്ണം) / (ആകെ രണ്ടക്ക സംഖ്യകൾ) = 6/90 = 1/15.

(3) ഒരാളോട് ഒരു മൂന്നക്ക സംഖ്യ പറയാൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നു.90
(i) ഈ സംഖ്യയിലെ മൂന്ന് അക്കങ്ങളും ഒരുപോലെ ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?91
(ii) ഈ സംഖ്യയുടെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം പൂജ്യം ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?91
(iii) ഈ സംഖ്യ 3-ന്റെ ഗുണിതം ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?91

ഉത്തരം:

• ആകെ മൂന്നക്ക സംഖ്യകൾ = 900 (100 മുതൽ 999 വരെ) [മുകളിലെ (1)(iii)-ൽ നിന്ന്].

(i) മൂന്ന് അക്കങ്ങളും ഒരുപോലെ ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• സംഖ്യകൾ: 111, 222, ..., 999.
• ആദ്യത്തെ അക്കം 1 മുതൽ 9 വരെ ആകാം (9 സാധ്യതകൾ). മറ്റു രണ്ട് അക്കങ്ങളും ആദ്യത്തെ അക്കത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
• ഇത്തരം സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = 9.
• സാധ്യത = 9 / 900 = 1/100.

(ii) ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം പൂജ്യം ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• ഒരു മൂന്നക്ക സംഖ്യ abc-യിൽ c = 0.
• ആദ്യത്തെ അക്കം a, 1 മുതൽ 9 വരെ ആകാം (9 സാധ്യതകൾ).
• രണ്ടാമത്തെ അക്കം b, 0 മുതൽ 9 വരെ ആകാം (10 സാധ്യതകൾ).
• മൂന്നാമത്തെ അക്കം c, പൂജ്യം ആയിരിക്കണം (1 സാധ്യത).
• ഇത്തരം സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = 9 × 10 × 1 = 90.
• സാധ്യത = 90 / 900 = 1/10.

(iii) സംഖ്യ 3-ന്റെ ഗുണിതം ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• അക്കങ്ങളുടെ തുക 3-ന്റെ ഗുണിതമാണെങ്കിൽ സംഖ്യ 3-ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും.
• ഏറ്റവും ചെറിയ മൂന്നക്ക ഗുണിതം: 102.
• ഏറ്റവും വലിയ മൂന്നക്ക ഗുണിതം: 999.
• 3-ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ എണ്ണം = (999 - 102) / 3 + 1 = 897 / 3 + 1 = 299 + 1 = 300.
• സാധ്യത = 300 / 900 = 1/3.

(4) 1, 2, 3, 4 എന്നീ സംഖ്യകൾ എഴുതിയ നാല് കാർഡുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നാലക്ക സംഖ്യ ഉണ്ടാക്കുന്നു.91
(i) സംഖ്യ നാലായിരത്തിൽ കൂടുതൽ ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?91
(ii) സംഖ്യ നാലായിരത്തിൽ കുറവ് ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?91

ഉത്തരം:

• കാർഡുകൾ 1, 2, 3, 4 ആണ്. ഓരോ അക്കവും ഒരു തവണ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
• ഉണ്ടാക്കാൻ സാധിക്കുന്ന ആകെ സംഖ്യകൾ = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

(i) സംഖ്യ നാലായിരത്തിൽ കൂടുതൽ ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• സംഖ്യ 4000-ൽ കൂടുതൽ ആകണമെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ അക്കം 4 ആയിരിക്കണം.
• ആദ്യത്തെ അക്കം 4 ആയാൽ (1 സാധ്യത), ബാക്കിയുള്ള 3 അക്കങ്ങൾ (1, 2, 3) 3! രീതിയിൽ ക്രമീകരിക്കാം.
• അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = 1 × 3! = 1 × 6 = 6.
• സാധ്യത = 6 / 24 = 1/4.

(ii) സംഖ്യ നാലായിരത്തിൽ കുറവ് ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• സംഖ്യ 4000-ൽ കുറവാകണമെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ അക്കം 1, 2, അല്ലെങ്കിൽ 3 ആകാം (3 സാധ്യതകൾ).
• ആദ്യത്തെ അക്കം തിരഞ്ഞെടുത്താൽ (3 സാധ്യതകൾ), ബാക്കിയുള്ള 3 അക്കങ്ങൾ 3! രീതിയിൽ ക്രമീകരിക്കാം.
• അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = 3 × 3! = 3 × 6 = 18.
• സാധ്യത = 18 / 24 = 3/4.
• മറ്റൊരു രീതിയിൽ, ഇത് 1 - (നാലായിരമോ അതിൽ കൂടുതലോ ആകാനുള്ള സാധ്യത) ആണ്. കൃത്യം 4000 ആകാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, 1 - P(4000-ൽ കൂടുതൽ) = 1 - 1/4 = 3/4.

ഭാഗം: ജ്യാമിതീയ സാധ്യത
(ഈ ഭാഗത്തെ ചോദ്യങ്ങളിൽ, മഞ്ഞ നിറമുള്ള ഒരു രൂപത്തിനുള്ളിൽ ഒരു കുത്തിട്ടാൽ അത് പച്ച നിറമുള്ള ഭാഗത്ത് വരാനുള്ള സാധ്യതയാണ് കാണേണ്ടത്. ഇത് (പച്ച ഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) / (മഞ്ഞ ഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) എന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു92).

(1) ഒരു വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാക്കുന്ന സമചതുരം93
ഉത്തരം:

• വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം s ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $s^2$ ആണ്.
• മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഉള്ളിൽ മറ്റൊരു സമചതുരം ഉണ്ടാകുന്നു.
• വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു കോണിൽ ഉണ്ടാകുന്ന ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങൾ s/2 വീതമായിരിക്കും.
• ഉള്ളിലെ സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം (s_inner) = $\sqrt{(s/2)^2 + (s/2)^2} = s/\sqrt{2}$.
• ഉള്ളിലെ (പച്ച) സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = $(s/\sqrt{2})^2 = s^2/2$.
• സാധ്യത = (ഉള്ളിലെ സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) / (പുറത്തെ സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) = $(s^2/2) / s^2 = 1/2$.

(2) ഒരു സമ ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ ഒന്നിടവിട്ട മൂലകൾ യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാക്കുന്ന ത്രികോണം93
ഉത്തരം:

• സമ ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ ഒന്നിടവിട്ട മൂലകൾ യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം ലഭിക്കുന്നു.
• ഒരു സമ ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, അതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമുള്ള 6 സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
• ഉള്ളിൽ രൂപപ്പെടുന്ന (പച്ച) ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ പകുതിയായിരിക്കും.
• വിശദീകരണം: ഉള്ളിലെ വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചെറിയ 3 ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ആകെ 6 ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുണ്ട്.
• സാധ്യത = (പച്ച ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) / (മഞ്ഞ ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) = (3 ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം) / (6 ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം) = 3/6 = 1/2.

(3) തുല്യമായ രണ്ട് സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾക്കിടയിൽ രൂപപ്പെടുന്ന സമ ഷഡ്ഭുജം93
ഉത്തരം:

• ഇവിടെ രണ്ട് സമഭുജ ത്രികോണങ്ങൾ ഒന്നിനുമുകളിൽ ഒന്നായി വെക്കുമ്പോൾ നടുവിൽ ഒരു സമ ഷഡ്ഭുജം (പച്ച) രൂപപ്പെടുന്നു.
• പുറമെയുള്ള മഞ്ഞ ഭാഗം എന്നത് രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളും ചേർന്നുള്ള ആകെ സ്ഥലമാണ്.
• നടുവിലെ ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, പുറമെയുള്ള 6 ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
• മഞ്ഞ നിറമുള്ള ആകെ സ്ഥലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 12 ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ഷഡ്ഭുജത്തിലെ 6 + പുറമെയുള്ള 6).
• സാധ്യത = (ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) / (രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളും ചേർന്നുള്ള ആകെ വിസ്തീർണ്ണം) = (6 ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം) / (12 ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം) = 6/12 = 1/2.

(4) ഒരു വൃത്തത്തിൽ മൂലകൾ വരുന്ന രീതിയിൽ വരച്ച സമചതുരം93
ഉത്തരം:

• വൃത്തത്തിന്റെ ആരം (radius) r ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. വൃത്തത്തിന്റെ (മഞ്ഞ) വിസ്തീർണ്ണം = $\pi r^2$.
• സമചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണം (diagonal) വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന് (diameter) തുല്യമായിരിക്കും (2r).
• സമചതുരത്തിന്റെ വശം s ആണെങ്കിൽ, s√2 = 2r => s = r√2.
• സമചതുരത്തിന്റെ (പച്ച) വിസ്തീർണ്ണം = $s^2 = (r√2)^2 = 2r^2$.
• സാധ്യത = (സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) / (വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) = $2r^2 / (\pi r^2) = 2/\pi$.

(5) ഒരു സമചതുരത്തിൽ കൃത്യമായി ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വൃത്തം93
ഉത്തരം:

• സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം s ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. സമചതുരത്തിന്റെ (മഞ്ഞ) വിസ്തീർണ്ണം = $s^2$.
• ഉള്ളിലെ വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും (s).
• വൃത്തത്തിന്റെ ആരം = s/2.
• വൃത്തത്തിന്റെ (പച്ച) വിസ്തീർണ്ണം = $\pi (s/2)^2 = \pi s^2/4$.
• സാധ്യത = (വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) / (സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) = $(\pi s^2/4) / s^2 = \pi/4$.

ഭാഗം: ജോടികൾ

(1) രജനിയുടെ കയ്യിൽ പച്ച, നീല, ചുവപ്പ് കല്ലുകളുള്ള മൂന്ന് മാലകളും മൂന്ന് കമ്മലുകളും ഉണ്ട്. അവൾക്ക് എത്ര വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ ഇവ അണിയാൻ കഴിയും? അവൾ ഒരേ നിറത്തിലുള്ള മാലയും കമ്മലും അണിയാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്? വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളിലുള്ളവ അണിയാനുള്ള സാധ്യതയോ?94

ഉത്തരം:

• അണിയാനുള്ള ആകെ രീതികൾ: അവൾക്ക് 3 മാലകളിൽ നിന്നും 3 കമ്മലുകളിൽ നിന്നും ഓരോന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കാം.
  • ആകെ വഴികൾ = 3 × 3 = 9 വഴികൾ.
• ഒരേ നിറത്തിലുള്ള മാലയും കമ്മലും അണിയാനുള്ള സാധ്യത:
  • അനുകൂലമായ ജോടികൾ: (പച്ച, പച്ച), (നീല, നീല), (ചുവപ്പ്, ചുവപ്പ്).
  • അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = 3.
  • സാധ്യത (ഒരേ നിറം) = 3 / 9 = 1/3.
• വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളിലുള്ള മാലയും കമ്മലും അണിയാനുള്ള സാധ്യത:
  • ഇത് ഒരേ നിറം അണിയുന്നതിന്റെ വിപരീതമാണ്.
  • സാധ്യത (വ്യത്യസ്ത നിറം) = 1 - സാധ്യത (ഒരേ നിറം) = 1 - 1/3 = 2/3.
  • അല്ലെങ്കിൽ, അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = ആകെ വഴികൾ - ഒരേ നിറമുള്ള വഴികൾ = 9 - 3 = 6.
  • സാധ്യത (വ്യത്യസ്ത നിറം) = 6 / 9 = 2/3.

(2) ഒരു പെട്ടിയിൽ 1, 2, 3, 4 എന്ന് നമ്പരിട്ട നാല് കടലാസുകളും മറ്റൊരു പെട്ടിയിൽ 1, 2 എന്ന് നമ്പരിട്ട രണ്ട് കടലാസുകളുമുണ്ട്. ഓരോ പെട്ടിയിൽ നിന്നും ഓരോ കടലാസ് എടുത്താൽ, സംഖ്യകളുടെ തുക ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്? തുക ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യതയോ?94

ഉത്തരം:

• പെട്ടി 1: {1, 2, 3, 4}. (2 ഒറ്റ, 2 ഇരട്ട).
• പെട്ടി 2: {1, 2}. (1 ഒറ്റ, 1 ഇരട്ട).
• സാധ്യമായ ആകെ ജോടികൾ: 4 × 2 = 8 ജോടികൾ95.
  • ജോടികൾ: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2).
• തുക ഒറ്റസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത:
  • തുക ഒറ്റസംഖ്യയാകുന്നത് (ഒറ്റ + ഇരട്ട) അല്ലെങ്കിൽ (ഇരട്ട + ഒറ്റ) ആകുമ്പോഴാണ്.
  • (ഒറ്റ, ഇരട്ട): (1,2), (3,2). (2 ജോടികൾ)
  • (ഇരട്ട, ഒറ്റ): (2,1), (4,1). (2 ജോടികൾ)
  • അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = 2 + 2 = 4.
  • സാധ്യത (തുക ഒറ്റ) = 4 / 8 = 1/2.
• തുക ഇരട്ടസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത:
  • ഇത് തുക ഒറ്റസംഖ്യ ആകുന്നതിന്റെ വിപരീതമാണ്.
  • സാധ്യത (തുക ഇരട്ട) = 1 - സാധ്യത (തുക ഒറ്റ) = 1 - 1/2 = 1/2.

(3) ഒരു പെട്ടിയിൽ 1, 2, 3, 4 എന്ന് നമ്പരിട്ട നാല് കടലാസുകളും മറ്റൊരു പെട്ടിയിൽ 1, 2, 3 എന്ന് നമ്പരിട്ട മൂന്ന് കടലാസുകളുമുണ്ട്. ഓരോ പെട്ടിയിൽ നിന്നും ഓരോ കടലാസ് എടുത്താൽ, സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്? ഗുണനഫലം ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യതയോ?96

ഉത്തരം:

• പെട്ടി 1: {1, 2, 3, 4}. (ഒറ്റ: 1, 3; ഇരട്ട: 2, 4).
• പെട്ടി 2: {1, 2, 3}. (ഒറ്റ: 1, 3; ഇരട്ട: 2).
• സാധ്യമായ ആകെ ജോടികൾ: 4 × 3 = 12 ജോടികൾ.
• ഗുണനഫലം ഒറ്റസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത:
  • ഗുണനഫലം ഒറ്റസംഖ്യയാകുന്നത് (ഒറ്റ × ഒറ്റ) ആകുമ്പോൾ മാത്രമാണ്.
  • അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = (പെട്ടി 1-ലെ ഒറ്റസംഖ്യകൾ) × (പെട്ടി 2-ലെ ഒറ്റസംഖ്യകൾ) = 2 × 2 = 4.
  • സാധ്യത (ഗുണനഫലം ഒറ്റ) = 4 / 12 = 1/3.
• ഗുണനഫലം ഇരട്ടസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത:
  • ഇത് ഗുണനഫലം ഒറ്റസംഖ്യ ആകുന്നതിന്റെ വിപരീതമാണ്.
  • സാധ്യത (ഗുണനഫലം ഇരട്ട) = 1 - സാധ്യത (ഗുണനഫലം ഒറ്റ) = 1 - 1/3 = 2/3.

ഭാഗം: കൂടുതൽ ജോടികൾ

(4) 1, 2, 3 എന്നീ അക്കങ്ങൾ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഉണ്ടാക്കാവുന്ന എല്ലാ രണ്ടക്ക സംഖ്യകളിൽ നിന്നും ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.97
(i) രണ്ട് അക്കങ്ങളും ഒരുപോലെ ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?98
(ii) അക്കങ്ങളുടെ തുക 4 ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?98

ഉത്തരം:

• ഉപയോഗിക്കുന്ന അക്കങ്ങൾ 1, 2, 3 മാത്രം.
• ആദ്യത്തെ അക്കത്തിന് 3 വഴികൾ, രണ്ടാമത്തെ അക്കത്തിനും 3 വഴികൾ.
• ആകെ സാധ്യമായ രണ്ടക്ക സംഖ്യകൾ = 3 × 3 = 9.
  • സംഖ്യകൾ: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

(i) രണ്ട് അക്കങ്ങളും ഒരുപോലെ ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• അനുകൂല സംഖ്യകൾ: 11, 22, 33.
• അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = 3.
• സാധ്യത = 3 / 9 = 1/3.

(ii) അക്കങ്ങളുടെ തുക 4 ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• അനുകൂല സംഖ്യകൾ: 13, 22, 31.
• അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = 3.
• സാധ്യത = 3 / 9 = 1/3.

(5) രണ്ടുപേർക്കുള്ള ഒരു കളി. തുടങ്ങുന്നതിന് മുൻപ് ഓരോ കളിക്കാരനും ഒറ്റസംഖ്യ വേണോ ഇരട്ടസംഖ്യ വേണോ എന്ന് തീരുമാനിക്കണം. എന്നിട്ട് ഇരുവരും ഒരേ സമയം ഒരു കയ്യിലെ കുറച്ച് വിരലുകൾ ഉയർത്തുന്നു. വിരലുകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ തുക ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, തുടക്കത്തിൽ ഒറ്റസംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുത്തയാൾ ജയിക്കും; ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഇരട്ടസംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുത്തയാൾ ജയിക്കും. തുടക്കത്തിൽ ഒറ്റസംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതാണോ ഇരട്ടസംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതാണോ നല്ലത്?98

ഉത്തരം:

• ഓരോ കളിക്കാരനും 1, 2, 3, 4, 5 എന്നീ എണ്ണം വിരലുകൾ ഉയർത്താം.
• ആകെ സാധ്യമായ ജോടികൾ: 5 × 5 = 25.
• തുക ഒറ്റസംഖ്യ ആകാൻ (ഒറ്റ + ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഇരട്ട + ഒറ്റ):
  • ഒറ്റസംഖ്യകൾ: {1, 3, 5} (3 എണ്ണം).
  • ഇരട്ടസംഖ്യകൾ: {2, 4} (2 എണ്ണം).
  • (ഒറ്റ, ഇരട്ട) രീതികൾ = 3 × 2 = 6.
  • (ഇരട്ട, ഒറ്റ) രീതികൾ = 2 × 3 = 6.
  • തുക ഒറ്റയാകാനുള്ള ആകെ വഴികൾ = 6 + 6 = 12.
  • സാധ്യത (തുക ഒറ്റ) = 12 / 25.
• തുക ഇരട്ടസംഖ്യ ആകാൻ (ഒറ്റ + ഒറ്റ അല്ലെങ്കിൽ ഇരട്ട + ഇരട്ട):
  • (ഒറ്റ, ഒറ്റ) രീതികൾ = 3 × 3 = 9.
  • (ഇരട്ട, ഇരട്ട) രീതികൾ = 2 × 2 = 4.
  • തുക ഇരട്ടയാകാനുള്ള ആകെ വഴികൾ = 9 + 4 = 13.
  • സാധ്യത (തുക ഇരട്ട) = 13 / 25.
• ഉപസംഹാരം: ഇരട്ടസംഖ്യ കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത (13/25) ഒറ്റസംഖ്യ കിട്ടാനുള്ള സാധ്യതയേക്കാൾ (12/25) കൂടുതലാണ്. അതിനാൽ തുടക്കത്തിൽ ഇരട്ടസംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

(1) 10 A ക്ലാസിൽ 30 ആൺകുട്ടികളും 20 പെൺകുട്ടികളുമുണ്ട്. 10 B ക്ലാസിൽ 15 ആൺകുട്ടികളും 25 പെൺകുട്ടികളുമുണ്ട്. ഓരോ ക്ലാസ്സിൽ നിന്നും ഓരോ കുട്ടിയെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.99
(i) രണ്ടും പെൺകുട്ടികളാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?99
(ii) രണ്ടും ആൺകുട്ടികളാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?99
(iii) ഒന്ന് ആൺകുട്ടിയും ഒന്ന് പെൺകുട്ടിയുമാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?99
(iv) കുറഞ്ഞത് ഒരു ആൺകുട്ടിയെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?99

ഉത്തരം:

• ക്ലാസ് 10 A: 30 ആൺകുട്ടികൾ, 20 പെൺകുട്ടികൾ. ആകെ = 50.
• ക്ലാസ് 10 B: 15 ആൺകുട്ടികൾ, 25 പെൺകുട്ടികൾ. ആകെ = 40.
• ആകെ സാധ്യമായ ജോടികൾ = 50 × 40 = 2000100.

(i) രണ്ടും പെൺകുട്ടികളാകാനുള്ള സാധ്യത.

• അനുകൂല വഴികൾ = (A-യിലെ പെൺകുട്ടികൾ) × (B-യിലെ പെൺകുട്ടികൾ) = 20 × 25 = 500.
• സാധ്യത = 500 / 2000 = 1/4.

(ii) രണ്ടും ആൺകുട്ടികളാകാനുള്ള സാധ്യത.

• അനുകൂല വഴികൾ = (A-യിലെ ആൺകുട്ടികൾ) × (B-യിലെ ആൺകുട്ടികൾ) = 30 × 15 = 450.
• സാധ്യത = 450 / 2000 = 9/40.

(iii) ഒന്ന് ആൺകുട്ടിയും ഒന്ന് പെൺകുട്ടിയുമാകാനുള്ള സാധ്യത.

• (A-ആൺ, B-പെൺ): 30 × 25 = 750.
• (A-പെൺ, B-ആൺ): 20 × 15 = 300.
• ആകെ അനുകൂല വഴികൾ = 750 + 300 = 1050.
• സാധ്യത = 1050 / 2000 = 21/40.

(iv) കുറഞ്ഞത് ഒരു ആൺകുട്ടിയെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത.

• ഇത് "രണ്ടും പെൺകുട്ടികൾ" ആകുന്നതിന്റെ വിപരീതമാണ്102.
• സാധ്യത = 1 - (രണ്ടും പെൺകുട്ടികളാകാനുള്ള സാധ്യത) = 1 - 1/4 = 3/4.

(2) ഒരാളോട് ഒരു രണ്ടക്ക സംഖ്യ പറയാൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നു.99
(i) രണ്ട് അക്കങ്ങളും ഒരുപോലെ ആകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?103
(ii) ആദ്യത്തെ അക്കം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?103
(iii) ആദ്യത്തെ അക്കം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ ചെറുതാകാനുള്ള സാധ്യത എത്രയാണ്?103

ഉത്തരം:

• ആകെ രണ്ടക്ക സംഖ്യകൾ = 90 (10 മുതൽ 99 വരെ).

(i) രണ്ട് അക്കങ്ങളും ഒരുപോലെ ആകാനുള്ള സാധ്യത.

• സംഖ്യകൾ: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
• അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = 9.
• സാധ്യത = 9 / 90 = 1/10.

(ii) ആദ്യത്തെ അക്കം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാകാനുള്ള സാധ്യത.

• അത്തരം സംഖ്യകൾ:
  • 21 (1 എണ്ണം)
  • 31, 32 (2 എണ്ണം)
  • 41, 42, 43 (3 എണ്ണം)
  • ...
  • 91 മുതൽ 98 വരെ (8 എണ്ണം)
• ആകെ എണ്ണം = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.
• സാധ്യത = 36 / 90 = 2/5.

(iii) ആദ്യത്തെ അക്കം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ ചെറുതാകാനുള്ള സാധ്യത.

• ആകെ 90 സംഖ്യകളുണ്ട്. ഇതിൽ 9 എണ്ണത്തിൽ അക്കങ്ങൾ തുല്യമാണ്. 36 എണ്ണത്തിൽ ആദ്യ അക്കം വലുതാണ്.
• ബാക്കിയുള്ള സംഖ്യകളിൽ ആദ്യ അക്കം ചെറുതായിരിക്കും.
• അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം = 90 - 9 - 36 = 45.
• സാധ്യത = 45 / 90 = 1/2.