SSLC: Maths Notes
๐ English
เด
เดง്เดฏാเดฏം 1: เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดเตพ
เดช്เดฐเดงാเดจ เดเดถเดฏเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เดธംเด്เดฏാ เดถ്เดฐേเดฃി เดเดจ്เดจเดค് เดเดจ്เดจാเดฎเดค്เดคേเดค്, เดฐเดฃ്เดാเดฎเดค്เดคേเดค്, เดฎൂเดจ്เดจാเดฎเดค്เดคേเดค് เดเดจ്เดจിเด്เดเดจെ เดเดคെเด്เดിเดฒും เดเดฐു เดจിเดฏเดฎเดฎเดจുเดธเดฐിเด്เด് เด เดുเด്เดിเดฏിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจ เดธംเด്เดฏเดเดณുเดെ เดเดฐു เดൂเด്เดเดฎാเดฃ്.
- เดเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃി เดเดฐു เดธംเด്เดฏเดฏിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดคുเดเด്เดി เดเดฐേ เดธംเด്เดฏ เดตീเดฃ്เดും เดตീเดฃ്เดും เดൂเด്เดിเด്เดൊเดฃ്เด് เดฎുเดจ്เดจോเด്เด് เดชോเดുเดจ്เดจു.
- เดเดฐു เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเดฒെ เดธംเด്เดฏเดเดณെ เดชเดฆเด്เดเตพ เดเดจ്เดจ് เดชเดฑเดฏുเดจ്เดจു.
- เดเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเตฝ, เดเดคെเด്เดിเดฒും เดเดฐു เดชเดฆเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เด เดുเดค്เดค เดชเดฆเดค്เดคിเดฒേเด്เด് เดชോเดാเตป เดเดฐേ เดธംเด്เดฏ เดൂเด്เดിเด്เดേเตผเด്เดുเดจ്เดจു. เดฎเดฑിเด്เดാเดฃെเด്เดിเตฝ, เดเดคെเด്เดിเดฒും เดเดฐു เดชเดฆเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เด เดคിเดจ് เดฎുเตปเดชുเดณ്เดณ เดชเดฆเดค്เดคിเดฒേเด്เด് เดชോเดാเตป เดเดฐേ เดธംเด്เดฏ เดുเดฑเดฏ്เด്เดുเดจ്เดจു.
- เด เดธംเด്เดฏเดฏെ, เดเดคെเด്เดിเดฒും เดเดฐു เดชเดฆเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เด เดคിเดจ് เดฎുเตปเดชുเดณ്เดณ เดชเดฆം เดുเดฑเด്เด് เดിเด്เดുเดจ്เดจเดค്, เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธം เดเดจ്เดจ് เดชเดฑเดฏുเดจ്เดจു.
- เดเดคൊเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเดฒും, เดชเดฆเด്เดเดณിเดฒെ เดฎാเดฑ്เดฑം เดธ്เดฅാเดจเด്เดเดณിเดฒെ เดฎാเดฑ്เดฑเดค്เดคിเดจ് เดเดจുเดชാเดคിเดเดฎാเดฃ്.
- เดชเดฆเดฌเดจ്เดงเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเดฒെ เดเดฐു เดชเดฆเดค്เดคിเดจ് เดคൊเด്เดുเดฎുเตปเดชുเดณ്เดณเดคും เดคൊเด്เดเดുเดค്เดคുเดณ്เดณเดคുเดฎാเดฏ เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เด เดชเดฆเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฐเด്เดിเดฏാเดฃ്.
- เดคുเดเตผเด്เดเดฏാเดฏ เดฎൂเดจ്เดจ് เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดฎเดง്เดฏเดชเดฆเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฎൂเดจ്เดจിเดฐเด്เดിเดฏാเดฃ്.
- เดคുเดเตผเด്เดเดฏാเดฏ เดเดฑ്เดฑ เดธംเด്เดฏാ เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดฎเดง്เดฏเดชเดฆเดค്เดคിเดจ്เดฑെเดฏും เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെเดฏും เดുเดฃเดจเดซเดฒเดฎാเดฃ്.
- เดเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเตฝ เดเดฐു เดธ്เดฅാเดจം เดตเตผเดฆ്เดงിเดช്เดชിเด്เดുเดเดฏും เดฎเดฑ്เดฑൊเดฐു เดธ്เดฅാเดจം เด เดคേ เด เดณเดตിเตฝ เดുเดฑเดฏ്เด്เดുเดเดฏും เดെเดฏ്เดคാเตฝ, เด เดธ്เดฅാเดจเด്เดเดณിเดฒെ เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดฎാเดฑിเดฒ്เดฒ.
- เดฐเดฃ്เด് เดธ്เดฅാเดจเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดฎเดฑ്เดฑ് เดฐเดฃ്เด് เดธ്เดฅാเดจเด്เดเดณുเดെ เดคുเดเดฏ്เด്เด് เดคുเดฒ്เดฏเดฎാเดฃെเด്เดിเตฝ, เดเดฐോ เดോเดกിเดฏിเดฒെเดฏും เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดคുเดฒ്เดฏเดฎാเดฃ്.
เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เด เดช്เดฐเดถ്เดจം: เดชเดฆเด്เดเดณും เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธเดตും เดเดฃ്เดെเดค്เดคเตฝ
เดോเดฆ്เดฏം: 3-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം 37 เดം 7-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം 73 เดം เดเดฏ เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ เด
เด്เด് เดชเดฆเด്เดเตพ เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด.
เดชเดฐിเดนാเดฐം:
- เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธം เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- 3-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് 7-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆเดค്เดคിเดฒേเด്เด് เดชോเดാเตป, เดธ്เดฅാเดจം 7 – 3 = 4 เดคเดตเดฃ เดตเตผเดฆ്เดงിเด്เดുเดจ്เดจു.
- 7-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും 3-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും เดชเดฆเด്เดเตพ เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เดธംเด്เดฏാเดชเดฐเดฎാเดฏ เดต്เดฏเดค്เดฏാเดธം 73 – 37 = 36 เดเดฃ്.
- เด เดคുเดൊเดฃ്เด്, เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธเดค്เดคിเดจ്เดฑെ 4 เดฎเดเด്เด് 36 เดเดฃ്.
- เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธം 36 ÷ 4 = 9 เดเดฃ്.
- เดเดจ്เดจാം เดชเดฆം เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- 3-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് 1-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆเดค്เดคിเดฒേเด്เด് เดชോเดാเตป, เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธം 3 – 1 = 2 เดคเดตเดฃ เดുเดฑเดฏ്เด്เดเดฃം.
- 1-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം 37 – (2 × 9) = 37 – 18 = 19 เดเดฃ്.
- เดถ്เดฐേเดฃി เดเดดുเดคുเด:
- เดเดจ്เดจാം เดชเดฆเดค്เดคിเตฝ (19) เดจിเดจ്เดจ് เดคുเดเด്เดി เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธം (9) เดเดตเตผเดค്เดคിเด്เด് เดൂเด്เดിเด്เดേเตผเดค്เดคാเตฝ, เดถ്เดฐേเดฃി เดเด്เดเดจെเดฏാเดฃ്: 19, 28, 37, 46, 55, ...
เดชเดฐിเดถീเดฒเดจ เดോเดฆ്เดฏเด്เดเตพ:
- เดคാเดดെ เดจเตฝเดിเดฏിเด്เดുเดณ്เดณ เดเดฐോ เดถ്เดฐേเดฃിเดฏും เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏാเดฃോ เดเดจ്เดจ്
เดชเดฐിเดถോเดงിเด്เดുเด. เดാเดฐเดฃเดตും เดจเตฝเดുเด. เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดเดณുเดെ เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธเด്เดเตพ
เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- (i) 4 เดൊเดฃ്เด് เดนเดฐിเด്เดുเดฎ്เดชോเตพ เดถിเดท്เดം 1 เดฒเดญിเด്เดുเดจ്เดจ เดเดฃ്เดฃเตฝ เดธംเด്เดฏเดเตพ
- (iii) เดเดฃ്เดฃเตฝ เดธംเด്เดฏเดเดณുเดെ เดตเตผเด്เดเด്เดเตพ
- เดเดฐു เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ 10-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം 46 เดം 11-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം 51 เดം เดเดฃ്.
- (i) เด เดคിเดจ്เดฑെ เดเดจ്เดจാം เดชเดฆം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- (ii) เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ เด เด്เด് เดชเดฆเด്เดเตพ เดเดดുเดคുเด.
- เดเดฐു เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ 3-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം 15 เดം 8-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം 35 เดം เดเดฃ്.
- (i) เด เดคിเดจ്เดฑെ 13-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- (ii) เด เดคിเดจ്เดฑെ 23-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- 13, 24, 35, ... เดเดจ്เดจ เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเดฒെ เดเดฐു เดชเดฆเดฎാเดฃോ 101? 1001-เดจ്เดฑെ เดാเดฐ്เดฏเดค്เดคിเดฒോ?
- เดเดฐു เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ 4-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം 8 เดเดฃ്.
- (i) เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เดชเดฆเดോเดกിเดเดณുเดെ เดคുเด เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด: (a) 3-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും 5-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും (b) 2-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും 6-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും (c) 1-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും 7-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും
- (ii) 3-ാเดฎเดค്เดคെ, 4-ാเดฎเดค്เดคെ, 5-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- เดเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ 7-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും 8-ാเดฎเดค്เดคെเดฏും เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด 50 เดเดฃ്. เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ 14 เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด.
เด
เดง്เดฏാเดฏം 2: เดตൃเดค്เดคเด്เดเดณും เดോเดฃുเดเดณും
เดช്เดฐเดงാเดจ เดเดถเดฏเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดാเดชเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เด เดฑ്เดฑเด്เดเตพ เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆുเดตുเดฎാเดฏി (เดാเดชเดค്เดคിเดจു เดชുเดฑเดค്เดคുเดณ്เดณ) เดเดฃ്เดാเด്เดുเดจ്เดจ เดോเตบ เด เดാเดชเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดേเดจ്เดฆ്เดฐเดോเดฃിเดจ്เดฑെ เดชเดുเดคിเดฏാเดฃ്.
- เดเดฐു เด เตผเดฆ്เดงเดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดോเตบ เดเดฐു เดฎเด്เดเดോเดฃാเดฃ് (90°).
- เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดคെเด്เดിเดฒും เดฐเดฃ്เด് เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเตพ เดตൃเดค്เดคเดค്เดคെ เดฐเดฃ്เด് เดാเดชเด്เดเดณാเดฏി เดตിเดญเดിเด്เดുเดจ്เดจു, เดเดฐോ เดാเดชเดตും เดฎเดฑ്เดฑേเดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดชเดฐീเดค เดാเดชเดฎാเดฃ്.
- เดเดฐു เดാเตบ เดตൃเดค്เดคเดญാเดเดค്เดคെ เดฐเดฃ്เด് เดเดฃ്เดกเด്เดเดณാเดฏി เดตിเดญเดിเด്เดുเดจ്เดจു.
- เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเตฝ, เดเดฐേ เดเดฃ്เดกเดค്เดคിเดฒെ เดോเดฃുเดเตพ เดคുเดฒ്เดฏเดฎാเดฃ്.
- เดตിเดชเดฐീเดค เดเดฃ്เดกเด്เดเดณിเดฒെ เดോเดฃുเดเดณുเดെ เดคുเด 180° เดเดฃ്.
- เดเดฐു เดเด്เดฐീเดฏ เดเดคുเตผเดญുเดം เดเดจ്เดจเดค് เด เดคിเดจ്เดฑെ เดจാเดฒ് เดฎൂเดฒเดเดณും เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเตฝ เดธ്เดฅിเดคി เดെเดฏ്เดฏുเดจ്เดจ เดเดคുเตผเดญുเดเดฎാเดฃ്.
- เดเดฐു เดเดคുเตผเดญുเดเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฒ്เดฒാ เดฎൂเดฒเดเดณും เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒാเดฃെเด്เดിเตฝ, เด เดคിเดจ്เดฑെ เดเดคിเตผ เดോเดฃുเดเดณുเดെ เดคുเด 180° เดเดฃ്.
- เดฎเดฑിเด്เดാเดฃെเด്เดിเตฝ, เดเดฐു เดเดคുเตผเดญുเดเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดคിเตผ เดോเดฃുเดเดณുเดെ เดคുเด 180° เดเดฃെเด്เดിเตฝ, เด เดคിเดจ്เดฑെ เดจാเดฒ് เดฎൂเดฒเดเดณിเดฒൂเดെเดฏും เดเดเดจ്เดจുเดชോเดുเดจ്เดจ เดเดฐു เดตൃเดค്เดคം เดตเดฐเดฏ്เด്เดാเตป เดเดดിเดฏും.
- เดเดคൊเดฐു เดเดคുเดฐเดตും เดเดฐു เดเด്เดฐീเดฏ เดเดคുเตผเดญുเดเดฎാเดฃ്.
- เดเดคൊเดฐു เดธเดฎเดชാเตผเดถ്เดต เด്เดฐเดช്เดชീเดธിเดฏเดตും เดเด്เดฐീเดฏเดฎാเดฃ്.
เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เด เดช്เดฐเดถ്เดจം: เดേเดจ്เดฆ്เดฐเดോเดฃും เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดോเดฃും เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เดฌเดจ്เดงം
เดോเดฆ്เดฏം: เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดจ്เดฑെ 1/5 เดญാเดം เด
เดเดฏാเดณเดช്เดชെเดുเดค്เดคുเดจ്เดจเดคിเดจ് เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆുเดตിเตฝ เดจാം เดเดค്เดฐ เดോเตบ เด
เดเดฏാเดณเดช്เดชെเดുเดค്เดคเดฃം?
เดชเดฐിเดนാเดฐം:
- เดേเดจ്เดฆ്เดฐเดോเตบ เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด: เดเดฐു เดാเดชം เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดจ്เดฑെ 1/5 เดญാเดเดฎാเดฃെเด്เดിเตฝ, เด เดคിเดจ്เดฑെ เดേเดจ്เดฆ്เดฐเดോเตบ (1/5) × 360° = 72° เดเดฃ്.
- เดคเดค്เดตം เดช്เดฐเดฏോเดിเด്เดുเด: เดเดฐു เดാเดชเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เด เดฑ്เดฑเด്เดเตพ เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆുเดตുเดฎാเดฏി (เดാเดชเดค്เดคിเดจു เดชുเดฑเดค്เดคുเดณ്เดณ) เดเดฃ്เดാเด്เดുเดจ്เดจ เดോเตบ เดേเดจ്เดฆ്เดฐเดോเดฃിเดจ്เดฑെ เดชเดുเดคിเดฏാเดฃ്.
- เดോเตบ เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด: เด เดคിเดจാเตฝ, เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆുเดตിเดฒെ เดോเตบ (1/2) × 72° = 36° เดเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം.
เดชเดฐിเดถീเดฒเดจ เดോเดฆ്เดฏเด്เดเตพ:
- เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆുเดตിเดฒെ เดോเตบ 45° เดเดฃെเด്เดിเตฝ, เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เดിเดค്เดฐเดค്เดคിเตฝ เด เดเดฏാเดณเดช്เดชെเดുเดค്เดคിเดฏ เดാเดชം เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดค്เดฐ เดญാเดเดฎാเดฃ്?
- เดเดฐു เด്เดฒോเด്เด് เดซേเดธിเดฒെ เดธംเด്เดฏเดเตพ 1, 4, 8 เดเดจ്เดจിเดต เดฏോเดിเดช്เดชിเด്เด് เดเดฐു เดค്เดฐിเดോเดฃം เดตเดฐเด്เดിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു:
- (i) เด เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดോเดฃുเดเตพ เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด.
- (ii) เดเดฐു เด്เดฒോเด്เด് เดซേเดธിเดฒെ เดธംเด്เดฏเดเตพ เดฏോเดിเดช്เดชിเด്เด് เดเดค്เดฐ เดธเดฎเดญുเด เดค്เดฐിเดോเดฃเด്เดเตพ เดเดฃ്เดാเด്เดാเตป เดเดดിเดฏും?
- เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เดเดฐോ เดช്เดฐเดถ്เดจเดค്เดคിเดฒും, เดตൃเดค്เดคเดค്เดคെ เดฐเดฃ്เด് เดญാเดเด്เดเดณാเดฏി
เดตിเดญเดിเด്เดാเตป เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดตും เดเดฐു เดാเดฃും เดตเดฐเดฏ്เด്เดเดฃം. เดญാเดเด്เดเตพ เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดคเดชോเดฒെ
เดเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം:
- (i) เดเดฐു เดญാเดเดค്เดคിเดฒെ เดเดฒ്เดฒാ เดോเดฃുเดเดณും 80° เดเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം
- (ii) เดเดฐു เดญാเดเดค്เดคിเดฒെ เดเดฒ്เดฒാ เดോเดฃുเดเดณും เดฎเดฑ്เดฑ് เดญാเดเดค്เดคിเดฒെ เดോเดฃുเดเดณുเดെ เดชเดുเดคിเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം
- เดเดฐു เดเด്เดฐീเดฏ เดเดคുเตผเดญുเดเดค്เดคിเตฝ, เดเดคൊเดฐു เดฎൂเดฒเดฏിเดฒെเดฏും เดชുเดฑംเดോเตบ เดเดคിเตผ เดฎൂเดฒเดฏിเดฒെ เด เดเด്เดോเดฃിเดจ് เดคുเดฒ്เดฏเดฎാเดฃെเดจ്เดจ് เดคെเดณിเดฏിเด്เดുเด.
- เดเดฆ്เดฏ เดിเดค്เดฐเดค്เดคിเตฝ, เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเตฝ เดฎൂเดฒเดเดณുเดณ്เดณ เดเดฐു เดธเดฎเดญുเด เดค്เดฐിเดോเดฃเดตും
เด
เดคിเดจ്เดฑെ เดฐเดฃ്เด് เดฎൂเดฒเดเตพ เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆുเดตിเดฒേเด്เด് เดฏോเดിเดช്เดชിเด്เดเดคും
เดตเดฐเด്เดിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു. เดฐเดฃ്เดാം เดിเดค്เดฐเดค്เดคിเตฝ, เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเตฝ เดฎൂเดฒเดเดณുเดณ്เดณ เดเดฐു
เดธเดฎเดเดคുเดฐเดตും เด
เดคിเดจ്เดฑെ เดฐเดฃ്เด് เดฎൂเดฒเดเตพ เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆുเดตിเดฒേเด്เด്
เดฏോเดിเดช്เดชിเด്เดเดคും เดตเดฐเด്เดിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു:
- เดเดฐോ เดിเดค്เดฐเดค്เดคിเดฒെเดฏും เด เดเดฏാเดณเดช്เดชെเดുเดค്เดคിเดฏ เดോเตบ เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด.
เด
เดง്เดฏാเดฏം 3: เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดเดณും เดฌീเดเดเดฃിเดคเดตും
เดช്เดฐเดงാเดจ เดเดถเดฏเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดฌീเดเดเดฃിเดค เดฐൂเดชം, เด เดคിเดจ്เดฑെ เดธ്เดฅാเดจം เด เดിเดธ്เดฅാเดจเดฎാเด്เดി เดเดคൊเดฐു เดชเดฆเดตും เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเดจ്เดจเดคിเดจുเดณ്เดณ เดจിเดฏเดฎം เดธംเด്เดทിเดช്เดคเดฎാเดฏി เดฐേเดเดช്เดชെเดുเดค്เดคുเดจ്เดจเดคിเดจ് เดฌീเดเดเดฃിเดคം เดเดชเดฏോเดിเด്เดുเดจ്เดจു.
- เดเดฐു เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเตฝ, $x_n$ เดเดจ്เดจเดค് $n$-ാเดฎเดค്เดคെ เดธ്เดฅാเดจเดค്เดคുเดณ്เดณ เดชเดฆเดค്เดคെ เดธൂเดിเดช്เดชിเด്เดുเดจ്เดจു.
- เดเดคൊเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെเดฏും เดฌീเดเดเดฃിเดค เดฐൂเดชം $x_n = an + b$ เดเดจ്เดจเดคാเดฃ്, เดเดตിเดെ $a$ เดฏും $b$ เดฏും เดจിเตผเดฆ്เดฆിเดท്เด เดธംเด്เดฏเดเดณാเดฃ്.
- เด เดฐൂเดชเดค്เดคിเตฝ, $a$ เดเดจ്เดจเดค് เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธเดฎാเดฃ്.
- เดเดคൊเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเดฒെเดฏും เดชเดฆเด്เดเตพ เดฒเดญിเด്เดുเดจ്เดจเดค് เดเดฃ്เดฃเตฝ เดธംเด്เดฏเดเดณെ (1, 2, 3, ...) เดเดฐു เดธ്เดฅിเดฐ เดธംเด്เดฏ ($a$) เดൊเดฃ്เด് เดുเดฃിเด്เด് เดเดฐു เดธ്เดฅിเดฐ เดธംเด്เดฏ ($b$) เดൂเด്เดിเด്เดേเตผเด്เดുเดฎ്เดชോเดณാเดฃ്.
- เดเดจ്เดจിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดเดฐംเดญിเด്เดുเดจ്เดจ เดคുเดเตผเด്เดเดฏാเดฏ เดเดคാเดจും เดเดฃ്เดฃเตฝ เดธംเด്เดฏเดเดณുเดെ เดคുเด เด เดตเดธാเดจ เดธംเด്เดฏเดฏുเดെเดฏും เด เดคിเดจเดുเดค്เดค เดธംเด്เดฏเดฏുเดെเดฏും เดുเดฃเดจเดซเดฒเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดชเดുเดคിเดฏാเดฃ്: $1 + 2 + 3 + ... + n = (1/2)n(n + 1)$.
- เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ $n$ เดเดฐเด്เด เดธംเด്เดฏเดเดณുเดെ เดคുเด $n(n + 1)$ เดเดฃ്.
- เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ $n$ เดเดฑ്เดฑ เดธംเด്เดฏเดเดณുเดെ เดคുเด (1-เตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดเดฐംเดญിเด്เด്) $n^2$ เดเดฃ്.
- เดเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ $x_1, x_2, ..., x_n$ เดเดจ്เดจ เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ $n$ เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด $ (1/2)n(x_1 + x_n) $ เดเดจ്เดจ് เดเดฃเด്เดാเด്เดാം. เดเดคിเดจเตผเดค്เดฅം เดคുเด เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെเดฏും เด เดตเดธാเดจเดค്เดคെเดฏും เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเดเดฏുเดെเดฏും เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെเดฏും เดുเดฃเดจเดซเดฒเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดชเดുเดคിเดฏാเดฃ്.
- เดเดฐു เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ $n$ เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเดเดฏുเดെ เดฌീเดเดเดฃിเดค เดฐൂเดชം $pn^2 + qn$ เดเดจ്เดจเดคാเดฃ്, เดเดตിเดെ $p$ เดฏും $q$ เดฏും เดจിเตผเดฆ്เดฆിเดท്เด เดธംเด്เดฏเดเดณാเดฃ്.
เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เด เดช്เดฐเดถ്เดจം: เดเดฐു เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดฌീเดเดเดฃിเดค เดฐൂเดชം เดเดฃ്เดെเดค്เดคเตฝ
เดോเดฆ്เดฏം: 12, 23, 34, ... เดเดจ്เดจ เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดฌീเดเดเดฃിเดค เดฐൂเดชം เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด.
เดชเดฐിเดนാเดฐം:
- เดเดจ്เดจാം เดชเดฆเดตും เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธเดตും เดคിเดฐിเด്เดเดฑിเดฏുเด:
- 1-ാം เดชเดฆം (f) 12 เดเดฃ്.
- เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธം (d) 23 - 12 = 11 เดเดฃ്.
- $n$-ാം เดชเดฆം เดเดฃ്เดെเดค്เดคാเตป เดชൊเดคുเดตാเดฏ เดธൂเดค്เดฐเดตാเด്เดฏം $f + (n - 1)d$ เดเดชเดฏോเดിเด്เดുเด:
- $x_n = 12 + ((n - 1) × 11)$
- เดธൂเดค്เดฐเดตാเด്เดฏം เดฒเดณിเดคเดฎാเด്เดുเด:
- $x_n = 12 + 11n - 11$
- $x_n = 11n + 1$
- เด เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดฌീเดเดเดฃിเดค เดฐൂเดชം $x_n = 11n + 1$ เดเดฃ്.
เดชเดฐിเดถീเดฒเดจ เดോเดฆ്เดฏเด്เดเตพ:
- เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดเดณുเดെ เดฌീเดเดเดฃിเดค เดฐൂเดชം เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- (i) 1, 6, 11, 16, ...
- (iii) 21, 32, 43, 54, ...
- เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เดിเดฒ เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดเดณിเดฒെ เดจിเตผเดฆ്เดฆിเดท്เด เดธ്เดฅാเดจเด്เดเดณിเดฒെ เดชเดฆเด്เดเตพ เดจเตฝเดിเดฏിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു. เดเดฐോเดจ്เดจിเดจ്เดฑെเดฏും เดฌീเดเดเดฃിเดค เดฐൂเดชം เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- (i) 1-ാം เดชเดฆം 5, 10-ാം เดชเดฆം 23
- (iii) 5-ാം เดชเดฆം 10, 10-ാം เดชเดฆം 5
- 1/3 เดเดจ്เดจാം เดชเดฆเดตും 2/3 เดชൊเดคുเดต്เดฏเดค്เดฏാเดธเดตുเดฎുเดณ്เดณ เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏിเตฝ เดเดฒ്เดฒാ เดเดฑ്เดฑ เดธംเด്เดฏเดเดณും เดเตพเดช്เดชെเดുเดจ്เดจുเดตെเดจ്เดจും เดเดจ്เดจാเตฝ เดเดฐเด്เด เดธംเด്เดฏเดเตพ เดเตพเดช്เดชെเดുเดจ്เดจിเดฒ്เดฒെเดจ്เดจും เดคെเดณിเดฏിเด്เดുเด.
- เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เดเดฐോ เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെเดฏും เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ 25 เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด:
- (i) 11, 22, 33, ...
- (ii) 12, 23, 34, ...
- เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เดിเดฒ เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดเดณുเดെ เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ n เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด เดจเตฝเดിเดฏിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു. เดเดฐോเดจ്เดจിเดจ്เดฑെเดฏും n-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- (i) n² + 2n
- (ii) 2n² + n
- เดเดฐു เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ เดฎൂเดจ്เดจ് เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด 30 เดം เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ เดเดด് เดชเดฆเด്เดเดณുเดെ เดคുเด 140 เดം เดเดฃ്.
- (i) เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ 2-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- (ii) เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ 4-ാเดฎเดค്เดคെ เดชเดฆം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
เด
เดง്เดฏാเดฏം 4: เดธാเดง്เดฏเดคเดเดณുเดെ เดเดฃിเดคം
เดช്เดฐเดงാเดจ เดเดถเดฏเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เดธംเดญเดตം เดจเดเด്เดുเดจ്เดจเดคിเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดคเดฏെ เดญിเดจ്เดจเดธംเด്เดฏเดฏാเดฏോ เดฆเดถാംเดถ เดฐൂเดชเดค്เดคിเดฒോ เดถเดคเดฎാเดจเดค്เดคിเดฒോ เดเดฃ് เดช്เดฐเดเดിเดช്เดชിเด്เดുเดจ്เดจเดค്.
- เดธാเดง്เดฏเดค เดเดฃเด്เดാเด്เดുเดฎ്เดชോเตพ, เดธാเดง്เดฏเดฎാเดฏ เดเดെ เดซเดฒเด്เดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃเดตും เด เดจുเดൂเดฒเดฎാเดฏ เดซเดฒเด്เดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃเดตും เดชเดฐിเดเดฃിเด്เดเดฃം.
- เด്เดฏാเดฎിเดคീเดฏ เดธാเดง്เดฏเดค เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃเด്เดเดณുเดെ เด เดจുเดชാเดคเด്เดเดณുเดฎാเดฏി เดฌเดจ്เดงเดช്เดชെเด്เดിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു. เดเดฐു เดตเดฒിเดฏ เดช്เดฐเดฆേเดถเดค്เดคിเดจുเดณ്เดณിเตฝ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆു เด്เดฐเดฎเดฐเดนിเดคเดฎാเดฏി เด เดเดฏാเดณเดช്เดชെเดുเดค്เดคുเดเดฏാเดฃെเด്เดിเตฝ, เด เดค് เดเดฐു เดช്เดฐเดค്เดฏേเด เดเดชเดช്เดฐเดฆേเดถเดค്เดคിเดจുเดณ്เดณിเตฝ เดตเดฐുเดจ്เดจเดคിเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค, เดเดชเดช്เดฐเดฆേเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃเดตും เดตเดฒിเดฏ เดช്เดฐเดฆേเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃเดตും เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เด เดจുเดชാเดคเดฎാเดฃ്.
- เดเดจ്เดจിเดฒเดงിเดം เดเดฃเด്เดเดณിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดคിเดฐเด്เดെเดുเดช്เดชുเดเตพ เดเตพเดช്เดชെเดുเดจ്เดจ เดธംเดญเดตเด്เดเดณിเตฝ (เดเดฆാเดนเดฐเดฃเดค്เดคിเดจ്, เดฐเดฃ്เด് เดชെเด്เดിเดเดณിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดคിเดฐเด്เดെเดുเด്เดുเด), เดธാเดง്เดฏเดฎാเดฏ เดോเดกിเดเดณുเดെ เดเดെ เดเดฃ്เดฃം เดเดฐോ เดเดฃเดค്เดคിเดฒെเดฏും เดเดจเด്เดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดുเดฃเดจเดซเดฒเดฎാเดฃ്.
- "เดുเดฑเด്เดเดค് เดเดฐു" เดธംเดญเดตเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดธാเดง്เดฏเดค "เดเดจ്เดจുเดฎിเดฒ്เดฒ" เดเดจ്เดจเดคിเดจ്เดฑെ เดธാเดง്เดฏเดค 1-เตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดുเดฑเด്เด് เดเดฃ്เดെเดค്เดคാം (เดชൂเดฐเด เดจിเดฏเดฎം).
เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เด เดช്เดฐเดถ്เดจം: เดเดจเด്เดเดณുเดെ เดോเดกിเดเดณുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค
เดോเดฆ്เดฏം: เดเดฐു เดുเด്เดเดฏിเตฝ 50 เดฎാเด്เดเดเดณുเดฃ്เด്, เด
เดคിเตฝ 20 เดเดฃ്เดฃം เดชเดดുเด്เดാเดค്เดคเดคാเดฃ്.
เดฎเดฑ്เดฑൊเดจ്เดจിเตฝ 40 เดฎാเด്เดเดเดณുเดฃ്เด്, เด
เดคിเตฝ 15 เดเดฃ്เดฃം เดชเดดുเด്เดാเดค്เดคเดคാเดฃ്. เดเดฐോ เดുเด്เดเดฏിเตฝ
เดจിเดจ്เดจും เดเดฐോ เดฎാเด്เด เดตീเดคം เดเดുเดค്เดคാเตฝ, เดฐเดฃ്เดും เดชเดดുเดค്เดคเดคാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค
เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
เดชเดฐിเดนാเดฐം:
- เดธാเดง്เดฏเดฎാเดฏ เดോเดกിเดเดณുเดെ เดเดെ เดเดฃ്เดฃം เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด:
- เดเดจ്เดจാเดฎเดค്เดคെ เดുเด്เดเดฏിเตฝ 50 เดฎാเด്เดเดเดณും เดฐเดฃ്เดാเดฎเดค്เดคെ เดുเด്เดเดฏിเตฝ 40 เดฎാเด്เดเดเดณുเดฎുเดฃ്เด്.
- เดเดฐോ เดുเด്เดเดฏിเตฝ เดจിเดจ്เดจും เดเดฐോ เดฎാเด്เด เดตീเดคം เดคിเดฐเด്เดെเดുเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดเดെ เดตเดดിเดเตพ 50 × 40 = 2000 เดോเดกിเดเดณാเดฃ്.
- เดเดฐോ เดുเด്เดเดฏിเดฒെเดฏും เดชเดดുเดค്เดค เดฎാเด്เดเดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃം เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด:
- เดเดจ്เดจാเดฎเดค്เดคെ เดുเด്เด: เดเดെ 50 - 20 เดชเดดുเด്เดാเดค്เดคเดค് = 30 เดชเดดുเดค്เดค เดฎാเด്เดเดเตพ.
- เดฐเดฃ്เดാเดฎเดค്เดคെ เดുเด്เด: เดเดെ 40 - 15 เดชเดดുเด്เดാเดค്เดคเดค് = 25 เดชเดดുเดค്เดค เดฎാเด്เดเดเตพ.
- เดฐเดฃ്เด് เดฎാเด്เดเดเดณും เดชเดดുเดค്เดคเดคാเดฏുเดณ്เดณ เดോเดกിเดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃം เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด:
- เดเดฐോ เดുเด്เดเดฏിเดฒെเดฏും เดชเดดുเดค്เดค เดฎാเด്เดเดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃം เดുเดฃിเด്เดുเด: 30 × 25 = 750 เดോเดกിเดเตพ.
- เดธാเดง്เดฏเดค เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด:
- เดธാเดง്เดฏเดค (เดฐเดฃ്เดും เดชเดดുเดค്เดคเดค്) = (เดฐเดฃ്เดും เดชเดดുเดค്เดคเดคാเดฏുเดณ്เดณ เดോเดกിเดเดณുเดെ เดเดฃ്เดฃം) / (เดธാเดง്เดฏเดฎാเดฏ เดോเดกിเดเดณുเดെ เดเดെ เดเดฃ്เดฃം)
- เดธാเดง്เดฏเดค (เดฐเดฃ്เดും เดชเดดുเดค്เดคเดค്) = 750 / 2000 = 3/8.
เดชเดฐിเดถീเดฒเดจ เดോเดฆ്เดฏเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เดชെเด്เดിเดฏിเตฝ 6 เดเดฑുเดค്เดคเดคും 4 เดตെเดณുเดค്เดคเดคുเดฎാเดฏ เดชเดจ്เดคുเดเดณുเดฃ്เด്. เด เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดเดฐു เดชเดจ്เดค് เดเดുเดค്เดคാเตฝ, เด เดค് เดเดฑുเดค്เดคเดคാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്? เด เดค് เดตെเดณുเดค്เดคเดคാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- 1, 2, 3, ..., 100 เดเดจ്เดจീ เดธംเด്เดฏเดเดณിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดเดฐു เดธംเด്เดฏ เดคിเดฐเด്เดെเดുเด്เดുเดเดฏാเดฃെเด്เดിเตฝ, เด เดค് เดเดฐു เดฐเดฃ്เดเด്เด เดธംเด്เดฏเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- เดเดฐു เดต്เดฏเด്เดคിเดฏോเด് เดเดฐു เดฎൂเดจ്เดจเด്เด เดธംเด്เดฏ เดชเดฑเดฏാเตป เดเดตเดถ്เดฏเดช്เดชെเดുเดจ്เดจു.
- (i) เด เดธംเด്เดฏเดฏുเดെ เดฎൂเดจ്เดจเด്เดเด്เดเดณും เดเดฐേเดชോเดฒെเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- (ii) เด เดธംเด്เดฏ 3-เดจ്เดฑെ เดുเดฃിเดคเดฎാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- เดเดฐു เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐാเดൃเดคിเดฏിเดฒുเดณ്เดณ เดാเตผเดก്เดฌോเตผเดก് เดฎുเดฑിเด്เด്, เดเดฐു เดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฎเดง്เดฏเดฌിเดจ്เดฆുเดตിเดจെ เดเดคിเตผเดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เด เดฑ്เดฑเด്เดเดณുเดฎാเดฏി เดฏോเดിเดช്เดชിเด്เด് เดเดฐു เดค്เดฐിเดോเดฃം เดตเดฐเดฏ്เด്เดുเด. เดเดฃ്เดฃเดเด്เด് เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจുเดณ്เดณിเตฝ เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆു เด เดเดฏാเดณเดช്เดชെเดുเดค്เดคിเดฏാเตฝ, เด เดค് เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจുเดณ്เดณിเตฝ เดเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- เดเดฐു เดชെเด്เดിเดฏിเตฝ 1, 2, 3, 4 เดเดจ്เดจിเด്เดเดจെ เด เด്เดเดฎിเด്เด เดจാเดฒ് เดธ്เดฒിเดช്เดชുเดเดณും เดฎเดฑ്เดฑൊเดฐു เดชെเด്เดിเดฏിเตฝ 1, 2, 3 เดเดจ്เดจിเด്เดเดจെ เด เด്เดเดฎിเด്เด เดฎൂเดจ്เดจ് เดธ്เดฒിเดช്เดชുเดเดณുเดฎുเดฃ്เด്. เดเดฐോ เดชെเด്เดിเดฏിเตฝ เดจിเดจ്เดจും เดเดฐോ เดธ്เดฒിเดช്เดช് เดตീเดคം เดเดുเดค്เดคാเตฝ, เดธംเด്เดฏเดเดณുเดെ เดുเดฃเดจเดซเดฒം เดเดฑ്เดฑเดธംเด്เดฏเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്? เดുเดฃเดจเดซเดฒം เดเดฐเด്เดเดธംเด്เดฏเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- เด്เดฒാเดธ് 10 A เดฏിเตฝ 30 เดเตบเดുเด്เดിเดเดณും 20 เดชെเตบเดുเด്เดിเดเดณുเดฎുเดฃ്เด്, เด്เดฒാเดธ് 10 B
เดฏിเตฝ 15 เดเตบเดുเด്เดിเดเดณും 25 เดชെเตบเดുเด്เดിเดเดณുเดฎുเดฃ്เด്. เดเดฐോ เด്เดฒാเดธ്เดธിเตฝ เดจിเดจ്เดจും เดเดฐോ
เดตിเดฆ്เดฏാเตผเดค്เดฅിเดฏെ เดตീเดคം เดคിเดฐเด്เดെเดുเด്เดเดฃം.
- (i) เดฐเดฃ്เดും เดชെเตบเดുเด്เดിเดเดณാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- (ii) เดുเดฑเด്เดเดค് เดเดฐാเตพ เดเตบเดുเด്เดിเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดാเดจുเดณ്เดณ เดธാเดง്เดฏเดค เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
เด
เดง്เดฏാเดฏം 5: เดฐเดฃ്เดാം เดൃเดคി เดธเดฎเดตാเด്เดฏเด്เดเตพ
เดช്เดฐเดงാเดจ เดเดถเดฏเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เดฐเดฃ്เดാം เดൃเดคി เดธเดฎเดตാเด്เดฏเดค്เดคിเตฝ เดเดฐു เดตേเดฐിเดฏเดฌിเดณിเดจ്เดฑെ เดธ്เด്เดตเดฏเตผ (เดเดฆാเดนเดฐเดฃเดค്เดคിเดจ്, $x^2$) เดเตพเดช്เดชെเดുเดจ്เดจു.
- เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃเด്เดเดณോ เดുเดฃเดจเดซเดฒเด്เดเดณോ เดเตพเดช്เดชെเดുเดจ്เดจ เดชเดฒ เด്เดฏാเดฎിเดคീเดฏ เดช്เดฐเดถ്เดจเด്เดเดณെเดฏും เดฐเดฃ്เดാം เดൃเดคി เดธเดฎเดตാเด്เดฏเด്เดเดณാเด്เดി เดฎാเดฑ്เดฑാเตป เดเดดിเดฏും.
- เด เดธเดฎเดตാเด്เดฏเด്เดเตพ เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เดുเดจ്เดจเดคിเดจ് "เดตเตผเด്เดീเดเดฐเดฃം เดชൂเตผเดค്เดคിเดฏാเด്เดเตฝ" เดเดจ്เดจ เดฐീเดคി ($ (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 $ เด เดฒ്เดฒെเด്เดിเตฝ $ (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 $ เดชോเดฒുเดณ്เดณ เดธเตผเดตเดธเดฎเดตാเด്เดฏเด്เดเตพ เดเดชเดฏോเดിเด്เด്) เดจിเตผเดฃ്เดฃാเดฏเดเดฎാเดฃ്.
- เดเดฐു เดธเดฎเดตാเด്เดฏเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฐുเดตเดถเด്เดเดณുเดെเดฏും เดตเตผเด്เดเดฎൂเดฒം เดเดുเดค്เดค് เดเดฐു เดตേเดฐിเดฏเดฌിเดณിเดจാเดฏി ($x$ เดชോเดฒുเดณ്เดณเดต) เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เดുเดฎ്เดชോเตพ (เดเดฆാเดนเดฐเดฃเดค്เดคിเดจ്, $y^2 = k$), เดงเดจเดตും เดเดฃเดตുเดฎാเดฏ เดตเตผเด്เดเดฎൂเดฒเด്เดเตพ ($y = \sqrt{k}$ เด เดฒ്เดฒെเด്เดിเตฝ $y = -\sqrt{k}$) เดชเดฐിเดเดฃിเด്เดാเตป เดเตผเด്เดുเด.
- เดช്เดฐാเดฏോเดിเด เดช്เดฐเดถ്เดจเด്เดเดณിเตฝ (เดเดฆാเดนเดฐเดฃเดค്เดคിเดจ്, เดจീเดณเด്เดเตพ เดเดฃ്เดെเดค്เดคเตฝ), เดിเดฒ เดฌീเดเดเดฃിเดค เดชเดฐിเดนാเดฐเด്เดเตพ (เดเดฆാเดนเดฐเดฃเดค്เดคിเดจ്, เดจെเดเดฑ്เดฑീเดต് เดฎൂเดฒ്เดฏเด്เดเตพ) เดช്เดฐเดถ്เดจเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดธเดจ്เดฆเตผเดญเดค്เดคിเตฝ เด เดจുเดฏോเด്เดฏเดฎാเดฏിเดฐിเด്เดിเดฒ്เดฒ. เดชเดฐിเดนാเดฐเด്เดเตพ เดฏเดฅാเตผเดค്เดฅ เดฒോเด เดธാเดนเดเดฐ്เดฏเดค്เดคിเตฝ เด เตผเดค്เดฅเดตเดค്เดคാเดฃോ เดเดจ്เดจ് เดเดฒ്เดฒാเดฏ്เดช്เดชോเดดും เดชเดฐിเดถോเดงിเด്เดുเด.
เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เด เดช്เดฐเดถ്เดจം: เดตเตผเด്เดീเดเดฐเดฃം เดชൂเตผเดค്เดคിเดฏാเด്เดി เดเดฐു เดฐเดฃ്เดാം เดൃเดคി เดธเดฎเดตാเด്เดฏം เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เดเตฝ
เดോเดฆ്เดฏം: เดเดฐു เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฐു เดตเดถം เดฎเดฑ്เดฑേ เดตเดถเดค്เดคേเด്เดാเตพ 20 เดฎീเดฑ്เดฑเตผ
เดจീเดณเดฎുเดณ്เดณเดคും เด
เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം 224 เดเดคുเดฐเดถ്เดฐ เดฎീเดฑ്เดฑเดฑുเดฎാเดฃ്. เดตเดถเด്เดเดณുเดെ เดจീเดณം
เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
เดชเดฐിเดนാเดฐം:
- เดฌീเดเดเดฃിเดค เดธเดฎเดตാเด്เดฏം เดฐൂเดชീเดเดฐിเด്เดുเด:
- เดെเดฑിเดฏ เดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം $x$ เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดเดฏിเดฐിเด്เดเด്เดെ.
- เด เดช്เดชോเตพ เดตเดฒിเดฏ เดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം $x + 20$ เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดเดฃ്.
- เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം $x(x + 20) = x^2 + 20x$ เดเดคുเดฐเดถ്เดฐ เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดเดฃ്.
- เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം 224 เดเดจ്เดจ് เดจเตฝเดിเดฏിเด്เดുเดณ്เดณเดคുเดൊเดฃ്เด്, เดธเดฎเดตാเด്เดฏം: $x^2 + 20x = 224$.
- เดตเตผเด്เดീเดเดฐเดฃം เดชൂเตผเดค്เดคിเดฏാเด്เดുเด:
- $x^2 + 20x$ เดจെ $(x + a)^2$ เดเดจ്เดจ เดฐൂเดชเดค്เดคിเตฝ เดเดฐു เดชൂเตผเดฃ്เดฃ เดตเตผเด്เดเดฎാเด്เดാเตป, 20x เดจെ 2ax เดฎാเดฏി เดคാเดฐเดคเดฎ്เดฏം เดെเดฏ്เดฏുเด. เดเดคിเดจเตผเดค്เดฅം $2a = 20$, เด เดคിเดจാเตฝ $a = 10$.
- เดธเดฎเดตാเด്เดฏเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฐുเดตเดถเด്เดเดณിเดฒും $a^2 = 10^2 = 100$ เดൂเด്เดിเด്เดേเตผเด്เดเดฃം.
- $x^2 + 20x + 100 = 224 + 100$
- $(x + 10)^2 = 324$
- $x$-เดจ് เดชเดฐിเดนാเดฐം เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- เดเดฐുเดตเดถเด്เดเดณുเดെเดฏും เดตเตผเด്เดเดฎൂเดฒം เดเดുเด്เดുเด: $x + 10 = \pm\sqrt{324}$.
- $x + 10 = \pm 18$.
- เดเดคിเดจ് เดฐเดฃ്เด് เดธാเดง്เดฏเดคเดเดณുเดฃ്เด്:
- $x + 10 = 18 \implies x = 18 - 10 = 8$.
- $x + 10 = -18 \implies x = -18 - 10 = -28$.
- เดชเดฐിเดนാเดฐเด്เดเตพ เดธเดจ്เดฆเตผเดญเดค്เดคിเตฝ เดต്เดฏാเด്เดฏാเดจിเด്เดുเด:
- $x$ เดเดฐു เดจീเดณเดค്เดคെ เดธൂเดിเดช്เดชിเด്เดുเดจ്เดจเดคുเดൊเดฃ്เด്, เด เดค് เดเดฐു เดงเดจ เดธംเด്เดฏเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം. เด เดคിเดจാเตฝ, $x = -28$ เด เดจുเดฏോเด്เดฏเดฎാเดฏ เดเดค്เดคเดฐเดฎเดฒ്เดฒ.
- เดെเดฑിเดฏ เดตเดถം $x$ เดเดจ്เดจเดค് 8 เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดเดฃ്.
- เดตเดฒിเดฏ เดตเดถം $x + 20$ เดเดจ്เดจเดค് $8 + 20 = 28$ เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดเดฃ്.
เดชเดฐിเดถീเดฒเดจ เดോเดฆ്เดฏเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เดธเดฎเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฐോ เดตเดถเดตും 2 เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดുเดฑเด്เดเดช്เดชോเตพ เดเดฐു เดെเดฑിเดฏ เดธเดฎเดเดคുเดฐം เดเดฃ്เดാเด്เดി, เด เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം 49 เดเดคുเดฐเดถ്เดฐ เดฎീเดฑ്เดฑเดฑാเดฏി. เดฏเดฅാเตผเดค്เดฅ เดธเดฎเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฐു เดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം เดเดค്เดฐเดฏാเดฏിเดฐുเดจ്เดจു?
- 9, 11, 13, ... เดเดจ്เดจ เด เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃിเดฏുเดെ เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ เดเดคാเดจും เดชเดฆเด്เดเตพ เดൂเด്เดിเด്เดേเตผเด്เดുเดเดฏും เดชിเดจ്เดจീเด് เดคുเดเดฏോเด് 16 เดൂเด്เดിเด്เดേเตผเด്เดുเดเดฏും เดെเดฏ്เดคเดช്เดชോเตพ 256 เดฒเดญിเด്เดു. เดเดค്เดฐ เดชเดฆเด്เดเตพ เดൂเด്เดിเด്เดേเตผเดค്เดคു?
- เดเดฐു เดฎเด്เดเดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฒംเดฌเดตเดถเด്เดเดณിเตฝ เดเดจ്เดจ് เดฎเดฑ്เดฑേเดคിเดจേเด്เดാเตพ 5 เดธെเดจ്เดฑീเดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดൂเดുเดคเดฒാเดฃ്. เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം 12 เดเดคുเดฐเดถ്เดฐ เดธെเดจ്เดฑീเดฎീเดฑ്เดฑเดฑാเดฃ്. เด เดตเดถเด്เดเดณുเดെ เดจീเดณം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- เดคുเดเตผเด്เดเดฏാเดฏ เดฐเดฃ്เด് เดเดฑ്เดฑ เดธംเด്เดฏเดเดณുเดെ เดുเดฃเดจเดซเดฒം 195 เดเดฃ്. เดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดคാเดฃ്?
- 99, 97, 95, ... เดเดจ്เดจ เด
เด്เดเดเดฃിเดค เดถ്เดฐേเดฃി เดชเดฐിเดเดฃിเด്เดുเด.
- เดเดฆ്เดฏเดค്เดคെ เดชเดฆം เดฎുเดคเตฝ, เดเดค്เดฐ เดชเดฆเด്เดเตพ เดൂเด്เดിเด്เดേเตผเดค്เดคാเตฝ 900 เดคുเดเดฏാเดฏി เดฒเดญിเด്เดും?
เด
เดง്เดฏാเดฏം 6: เดค്เดฐിเดോเดฃเดฎിเดคി
เดช്เดฐเดงാเดจ เดเดถเดฏเด്เดเตพ:
- 45°, 45°, 90° เดോเดฃുเดเดณുเดณ്เดณ เดเดฐു เดฎเด്เดเดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเตฝ, เดตเดถเด്เดเตพ 1 : 1 : $\sqrt{2}$ เดเดจ്เดจ เด เดจുเดชാเดคเดค്เดคിเดฒാเดฃ് (เดെเดฑിเดฏ เดตเดถം : เดെเดฑിเดฏ เดตเดถം : เดเตผเดฃ്เดฃം).
- 30°, 60°, 90° เดോเดฃുเดเดณുเดณ്เดณ เดเดฐു เดฎเด്เดเดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเตฝ, เดตเดถเด്เดเตพ 1 : $\sqrt{3}$ : 2 เดเดจ്เดจ เด เดจുเดชാเดคเดค്เดคിเดฒാเดฃ് (เดเดฑ്เดฑเดตും เดെเดฑിเดฏ เดตเดถം : เดเดเดค്เดคเดฐം เดตเดถം : เดเดฑ്เดฑเดตും เดตเดฒിเดฏ เดตเดถം).
- เดเดฐു เดฎเด്เดเดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดฒെ $a°$ เดോเดฃിเดจ്:
- เดธൈเตป (sin $a°$) = (เดเดคിเตผเดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം) / (เดเตผเดฃ്เดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം).
- เดോเดธൈเตป (cos $a°$) = (เด เดുเดค്เดค เดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം) / (เดเตผเดฃ്เดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം).
- เดാเด്เดเดจ്เดฑ് (tan $a°$) = (เดเดคിเตผเดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം) / (เด เดുเดค്เดค เดตเดถเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം).
- เด เด เดจുเดชാเดคเด്เดเตพ (sin, cos, tan) เดเดฐു เดช്เดฐเดค്เดฏേเด เดോเดฃിเดจ്เดฑെ เดตเดฒുเดช്เดชเดค്เดคിเดจ് เดธ്เดฅിเดฐเดฎാเดฃ്, เดൂเดാเดคെ เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตเดฒുเดช്เดชം เด เดจുเดธเดฐിเด്เด് เดฎാเดฑുเดจ്เดจിเดฒ്เดฒ.
- เดฐเดฃ്เด് เดตเดถเด്เดเดณും เด เดตเดฏ്เด്เดിเดเดฏിเดฒുเดณ്เดณ เดോเดฃും เด เดฑിเดฏാเดฎെเด്เดിเตฝ เดค്เดฐിเดോเดฃเดฎിเดคി เดเดชเดฏോเดിเด്เด് เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം เดเดฃเด്เดാเด്เดാം (เดเดฆാเดนเดฐเดฃเดค്เดคിเดจ്, (1/2)ab sin C).
- เดเดฐു เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ เดเดคൊเดฐു เดാเดฃിเดจ്เดฑെเดฏും เดจീเดณം เดเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെเดฏും เดേเดจ്เดฆ്เดฐเดോเดฃിเดจ്เดฑെ เดชเดുเดคിเดฏുเดെ เดธൈเดจിเดจ്เดฑെเดฏും เดเดฐเด്เดി เดുเดฃเดจเดซเดฒเดฎാเดฃ്: เดാเตบ เดจീเดณം = 2r sin (เดേเดจ്เดฆ്เดฐเดോเตบ / 2).
- เดเดฐേ เดോเดฃുเดเดณുเดณ്เดณ เดค്เดฐിเดോเดฃเด്เดเดณിเตฝ, เดตเดถเด്เดเตพ เดเดฐേ เด เดจുเดชാเดคเดค്เดคിเดฒാเดฃ്. เด เด เดจുเดชാเดคം เดเดคിเตผ เดോเดฃുเดเดณുเดെ เดธൈเตป เดเดชเดฏോเดിเด്เด് เดช്เดฐเดเดിเดช്เดชിเด്เดാം: เดตเดถം a : เดตเดถം b : เดตเดถം c = sin A : sin B : sin C.
- เดเดจ്เดจเดคി เดോเตบ เดเดจ്เดจเดค് เดคിเดฐเดถ്เดീเดจ เดคเดฒเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดฎുเดเดณിเดฒേเด്เด് เดเดจ്เดคെเด്เดിเดฒും เดാเดฃാเตป เดാเดด്เดเดฐേเด เดเดฏเตผเดค്เดคുเดฎ്เดชോเตพ เดเดฃ്เดാเดുเดจ്เดจ เดോเดฃാเดฃ്.
- เด เดตเดจเดคി เดോเตบ เดเดจ്เดจเดค് เดคിเดฐเดถ്เดീเดจ เดคเดฒเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดคാเดดേเด്เด് เดเดจ്เดคെเด്เดിเดฒും เดാเดฃാเตป เดാเดด്เดเดฐേเด เดคാเดด്เดค്เดคുเดฎ്เดชോเตพ เดเดฃ്เดാเดുเดจ്เดจ เดോเดฃാเดฃ്.
เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เด เดช്เดฐเดถ്เดจം: เดธൈเตป เดเดชเดฏോเดിเด്เด് เดเดฐു เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം เดเดฃเด്เดാเด്เดเตฝ
เดോเดฆ്เดฏം: เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്? (4cm เดം 6cm เดം เดตเดถเด്เดเดณും เด
เดตเดฏ്เด്เดിเดเดฏിเดฒുเดณ്เดณ เดോเตบ 50° เดം เดเดฏ เดเดฐു เดค്เดฐിเดോเดฃം)
เดชเดฐിเดนാเดฐം:
- เดเดฏเดฐം เดเดฃ്เดെเดค്เดคാเตป เดเดฐു เดฒംเดฌം เดตเดฐเดฏ്เด്เดുเด:
- เดฎുเดเดณിเดฒെ เดฎൂเดฒเดฏിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดชാเดฆเดค്เดคിเดฒേเด്เด് (6 cm เดตเดถം) เดเดฐു เดฒംเดฌം เดตเดฐเดฏ്เด്เดുเด. เดเดฏเดฐം h เดเดฏിเดฐിเด്เดเด്เดെ.
- เดเดฏเดฐം เดเดฃ്เดെเดค്เดคാเตป เดธൈเตป เดเดชเดฏോเดിเด്เดുเด:
- เด เดฒംเดฌം 4 cm เดตเดถം เดเตผเดฃ്เดฃเดฎാเดฏും 50° เดോเตบ เดเตพเด്เดൊเดณ്เดณുเดจ്เดจ เดเดฐു เดฎเด്เดเดค്เดฐിเดോเดฃം เดฐൂเดชീเดเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു.
- sin 50° = h / 4.
- h = 4 × sin 50°.
- เดค്เดฐിเดോเดฃเดฎിเดคി เดชเด്เดിเดเดฏിเตฝ เดจിเดจ്เดจ്, sin 50° ≈ 0.7660.
- เด เดคിเดจാเตฝ, h ≈ 4 × 0.7660 = 3.064 cm.
- เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด:
- เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം = (1/2) × เดชാเดฆം × เดเดฏเดฐം.
- เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം = (1/2) × 6 cm × 3.064 cm.
- เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം ≈ 9.192 เดเดคുเดฐเดถ്เดฐ เดธെเดจ്เดฑീเดฎീเดฑ്เดฑเตผ.
เดชเดฐിเดถീเดฒเดจ เดോเดฆ്เดฏเด്เดเตพ:
- เดคാเดดെเด്เดൊเดുเดค്เดค เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐ เดเดคുเตผเดญുเดเด്เดเดณുเดെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด (เดเดฐു เดตเดถം 5cm, 8cm เดം เดോเตบ 40° เดം).
- เดเดฐു เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฐเดฃ്เด് เดตเดถเด്เดเดณുเดെ เดจീเดณം 8 เดธെเดจ്เดฑീเดฎീเดฑ്เดฑเดฑും 10 เดธെเดจ്เดฑീเดฎീเดฑ്เดฑเดฑുเดฎാเดฃ്, เด
เดตเดฏ്เด്เดിเดเดฏിเดฒുเดณ്เดณ เดോเตบ 40° เดเดฃ്.
- (i) เด เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- (ii) เดฐเดฃ്เด് เดตเดถเด്เดเดณുเดെ เดจീเดณം เดเดจ്เดจുเดคเดจ്เดจെเดฏും เด เดตเดฏ്เด്เดിเดเดฏിเดฒുเดณ്เดณ เดോเตบ 140° เดം เดเดฏ เดค്เดฐിเดോเดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดธ്เดคീเตผเดฃ്เดฃം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- 5 เดธെเดจ്เดฑീเดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดจീเดณเดฎുเดณ്เดณ เดเดฐു เดตเดฐเดฏുเดെ เด เดฑ്เดฑเด്เดเดณിเดฒൂเดെ เดเดเดจ്เดจുเดชോเดുเดจ്เดจ เดเดฐു เดตൃเดค്เดคം เดตเดฐเดฏ്เด്เดเดฃം; เดตเดฐ เดเดฃ്เดാเด്เดുเดจ്เดจ เดเดฐു เดญാเดเดค്เดคിเดฒെ เดോเตบ 80° เดเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം. เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฐം เดเดค്เดฐเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം?
- เดเดฐു เดോเดตเดฃി เดเดฐു เดുเดฎเดฐിเตฝ เดാเดฐിเดฏിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു, เด เดคിเดจ്เดฑെ เดชാเดฆം เดുเดฎเดฐിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് 2 เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เด เดเดฒെเดฏാเดฃ്. เดോเดตเดฃിเดฏും เดจിเดฒเดตും เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เดോเตบ 40° เดเดฃ്. เดോเดตเดฃിเดฏുเดെ เดฎുเดเตพเดญാเดം เดจിเดฒเดค്เดคു เดจിเดจ്เดจ് เดเดค്เดฐ เดเดฏเดฐเดค്เดคിเดฒാเดฃ്?
- 1.7 เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เดเดฏเดฐเดฎുเดณ്เดณ เดเดฐു เดต്เดฏเด്เดคി, เดเดฐു เดฎเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดുเดตเด്เดിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് 10 เดฎീเดฑ്เดฑเตผ เด เดเดฒെ เดจിเดจ്เดจുเดൊเดฃ്เด്, เดฎเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฎുเดเตพเดญാเดം 40° เดเดจ്เดจเดคിเดോเดฃിเตฝ เดാเดฃുเดจ്เดจു. เดฎเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดฏเดฐം เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
เด
เดง്เดฏാเดฏം 7: เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ
เดช്เดฐเดงാเดจ เดเดถเดฏเด്เดเตพ:
- เดเดฐു เดคเดฒเดค്เดคിเดฒെ เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเดณെ เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดชเดฏോเดിเด്เด്, เด เดคാเดฏเดค് $(x, y)$ เดเดจ്เดจ เดോเดി เดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดชเดฏോเดിเด്เด് เดธൂเดിเดช്เดชിเด്เดാം.
- $x$-เด เด്เดทം เดคിเดฐเดถ്เดീเดจ เดฐേเดเดฏും $y$-เด เด്เดทം เดฒംเดฌ เดฐേเดเดฏുเดฎാเดฃ്. เดเดตเดฏുเดെ เดธംเดเดฎเดธ്เดฅാเดจം เดเดค്เดญเดตเดธ്เดฅാเดจം $(0,0)$ เดเดฃ്.
- $x$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏ (เด เดฅเดตാ เด เดฌ്เดธിเดธ്เดธ) $y$-เด เด്เดทเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจുเดณ്เดณ เดคിเดฐเดถ്เดീเดจ เดฆൂเดฐเดค്เดคെ เดธൂเดിเดช്เดชിเด്เดുเดจ്เดจു, $y$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏ (เด เดฅเดตാ เดเตผเดกിเดจേเดฑ്เดฑ്) $x$-เด เด്เดทเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจുเดณ്เดณ เดฒംเดฌ เดฆൂเดฐเดค്เดคെ เดธൂเดിเดช്เดชിเด്เดുเดจ്เดจു.
- เด
เด്เดทเด്เดเตพเด്เด് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดฎാเดฏ เดตเดถเด്เดเดณുเดณ്เดณ เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเด്เดเดณുเดെ เดธเดตിเดถേเดทเดคเดเตพ:
- $(x_1, y_1)$ เดം $(x_2, y_2)$ เดം เด เดค്เดคเดฐം เดเดฐു เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดคിเตผ เดฎൂเดฒเดเดณാเดฃെเด്เดിเตฝ, เดฎเดฑ്เดฑ് เดฐเดฃ്เด് เดฎൂเดฒเดเตพ $(x_1, y_2)$ เดം $(x_2, y_1)$ เดം เดเดฏിเดฐിเด്เดും.
- $y$-เด เด്เดทเดค്เดคിเดจ് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดฎാเดฏ เดเดฐു เดฐേเดเดฏിเดฒെ เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเดณുเดെ $x$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดฐേเดชോเดฒെเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดും.
- $x$-เด เด്เดทเดค്เดคിเดจ് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดฎാเดฏ เดเดฐു เดฐേเดเดฏിเดฒെ เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเดณുเดെ $y$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดฐേเดชോเดฒെเดฏാเดฏിเดฐിเด്เดും.
- เด เดค്เดคเดฐം เดเดฐു เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐം เดจിเดฒเดจിเตฝเด്เดുเดจ്เดจเดคിเดจ്, $x$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ $(x_1, x_2)$ เดต്เดฏเดค്เดฏเดธ്เดคเดฎാเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം, เดൂเดാเดคെ $y$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ $(y_1, y_2)$ เดต്เดฏเดค്เดฏเดธ്เดคเดฎാเดฏിเดฐിเด്เดเดฃം.
- เดจീเดณเด്เดเดณും เดฆൂเดฐเด്เดเดณും:
- $x_1$ เดം $x_2$ เดം เดเดเดฏിเดฒുเดณ്เดณ เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดคിเดฐเดถ്เดീเดจ เดตเดถเด്เดเดณുเดെ ($x$-เด เด്เดทเดค്เดคിเดจ് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดฎാเดฏി) เดจീเดณം $|x_1 - x_2|$ เดเดฃ്.
- $y_1$ เดം $y_2$ เดം เดเดเดฏിเดฒുเดณ്เดณ เดฒംเดฌ เดตเดถเด്เดเดณുเดെ ($y$-เด เด്เดทเดค്เดคിเดจ് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดฎാเดฏി) เดจീเดณം $|y_1 - y_2|$ เดเดฃ്.
- $(x_1, y_1)$ เดം $(x_2, y_2)$ เดം เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เดฆൂเดฐം เดฆൂเดฐ เดธൂเดค്เดฐเดตാเด്เดฏം เดเดชเดฏോเดിเด്เด് เดจเตฝเดിเดฏിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു (เดชൈเดค്เดคเดോเดฑเดธ് เดธിเดฆ്เดงാเดจ്เดคเดค്เดคിเตฝ เดจിเดจ്เดจ് เดเดฐുเดค്เดคിเดฐിเด്เดเดค്, เดเดฐു เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดเตผเดฃ്เดฃം เดเดจ്เดจ เดจിเดฒเดฏിเตฝ): $\sqrt{((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)}$.
- เดเดฐു เดฌിเดจ്เดฆു $(x, y)$ เดം เดเดค്เดญเดตเดธ്เดฅാเดจം $(0,0)$ เดം เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เดฆൂเดฐം $\sqrt{x^2 + y^2}$ เดเดฃ്.
- เดเดคെเด്เดിเดฒും เดฐเดฃ്เด് เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเตพ เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เดเดฑ്เดฑเดตും เดตเดฒിเดฏ เดฆൂเดฐം เดฎเดฑ്เดฑ് เดฐเดฃ്เด് เดฆൂเดฐเด്เดเดณുเดെ เดคുเดเดฏ്เด്เด് เดคുเดฒ്เดฏเดฎാเดฃെเด്เดിเตฝ เดฎൂเดจ്เดจ് เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเตพ เดธเดฐเดณเดฐേเดเดฏിเดฒാเดฃ്.
เดชเดฐിเดนเดฐിเด്เด เดช്เดฐเดถ്เดจം: เดเดฐു เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเดณും เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเตพ เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เดฆൂเดฐเดตും เดเดฃ്เดെเดค്เดคเตฝ
เดോเดฆ്เดฏം: เด
เด്เดทเด്เดเตพเด്เด് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดฎാเดฏ เดตเดถเด്เดเดณുเดณ്เดณ เดเดฐു เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดเดคിเตผ
เดฎൂเดฒเดเตพ $(2, 2)$ เดം $(7, 3)$ เดം เดเดฃെเด്เดിเตฝ, เดฎเดฑ്เดฑ് เดฐเดฃ്เด് เดฎൂเดฒเดเดณുเดെ
เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเดณും เด
เดคിเดจ്เดฑെ เดตിเดเตผเดฃ്เดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณเดตും เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด.
เดชเดฐിเดนാเดฐം:
- เดฎเดฑ്เดฑ് เดฐเดฃ്เด് เดฎൂเดฒเดเดณുเดെ เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- เดจเตฝเดിเดฏിเด്เดുเดณ്เดณ เดเดคിเตผ เดฎൂเดฒเดเตพ $A = (2, 2)$ เดം $C = (7, 3)$ เดം เดเดฏിเดฐിเด്เดเด്เดെ.
- เด เด്เดทเด്เดเตพเด്เด് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดฎാเดฏ เดตเดถเด്เดเดณുเดณ്เดณ เดเดฐു เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്, เดเดฐു เดฎൂเดฒเดฏുเดെ $x$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏ เดเดคിเตผ เดฎൂเดฒเดฏുเดെ $y$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดฏുเดฎാเดฏി เดธംเดฏോเดിเดช്เดชിเด്เด് เดธเดฎീเดช เดฎൂเดฒเดเดณെ เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเดจ്เดจു.
- เดฎเดฑ്เดฑ് เดฐเดฃ്เด് เดฎൂเดฒเดเตพ $B = (7, 2)$ เดം $D = (2, 3)$ เดം เดเดฏിเดฐിเด്เดും.
- (เดാเดฐเดฃം: $(2,2)$ เตฝ เดจിเดจ്เดจ് $(7,2)$ เดฒേเด്เด് เดจീเด്เดാเตป, $y$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏ เดเดฐേเดชോเดฒെ เดจിเดฒเดจിเตฝเด്เดുเดจ്เดจു ($x$-เด เด്เดทเดค്เดคിเดจ് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐം), $x$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏ 7 เดเดฏി เดฎാเดฑുเดจ്เดจു. $(2,2)$ เตฝ เดจിเดจ്เดจ് $(2,3)$ เดฒേเด്เด് เดจീเด്เดാเตป, $x$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏ เดเดฐേเดชോเดฒെ เดจിเดฒเดจിเตฝเด്เดുเดจ്เดจു ($y$-เด เด്เดทเดค്เดคിเดจ് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐം), $y$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏ 3 เดเดฏി เดฎാเดฑുเดจ്เดจു.)
- เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตเดถเด്เดเดณുเดെ เดจീเดณം เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด:
- เดคിเดฐเดถ്เดീเดจ เดตเดถเด്เดเดณുเดെ (เดเดฆാเดนเดฐเดฃเดค്เดคിเดจ്, AB) เดจീเดณം: $|7 - 2| = 5$ เดฏൂเดฃിเดฑ്เดฑുเดเตพ.
- เดฒംเดฌ เดตเดถเด്เดเดณുเดെ (เดเดฆാเดนเดฐเดฃเดค്เดคിเดจ്, AD) เดจീเดณം: $|3 - 2| = 1$ เดฏൂเดฃിเดฑ്เดฑ്.
- เดตിเดเตผเดฃ്เดฃเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดจീเดณം เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด:
- เดตിเดเตผเดฃ്เดฃം เดเดจ്เดจเดค് เดเดคിเตผ เดฎൂเดฒเดเดณാเดฏ $A(2,2)$ เดം $C(7,3)$ เดം เดคเดฎ്เดฎിเดฒുเดณ്เดณ เดฆൂเดฐเดฎാเดฃ്.
- เดฆൂเดฐ เดธൂเดค്เดฐเดตാเด്เดฏം เดเดชเดฏോเดിเด്เด്: $\sqrt{((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2)}$.
- เดฆൂเดฐം = $\sqrt{((2 - 7)^2 + (2 - 3)^2)}$.
- เดฆൂเดฐം = $\sqrt{((-5)^2 + (-1)^2)}$.
- เดฆൂเดฐം = $\sqrt{(25 + 1)}$.
- เดฆൂเดฐം = $\sqrt{26}$ เดฏൂเดฃിเดฑ്เดฑുเดเตพ.
เดชเดฐിเดถീเดฒเดจ เดോเดฆ്เดฏเด്เดเตพ:
- $x$-เด เด്เดทเดค്เดคിเดฒെ เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเดณുเดെ $y$-เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด.
- เดിเดค്เดฐเดค്เดคിเดฒെ เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฎเดฑ്เดฑ് เดฎൂเดจ്เดจ് เดฎൂเดฒเดเดณുเดെ เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด (เดคാเดดെ-เดเดเดค് เดฎൂเดฒ $(2,1)$, เดฎുเดเดณിเตฝ-เดตเดฒเดค് เดฎൂเดฒ $(7,3)$).
- เดിเดค്เดฐเดค്เดคിเดฒെ เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดตเดถเด്เดเตพ เด เด്เดทเด്เดเตพเด്เด് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดตും เดเดค്เดญเดตเดธ്เดฅാเดจം เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฎเดง്เดฏเดฌിเดจ്เดฆു (เดตിเดเตผเดฃ്เดฃเด്เดเดณുเดെ เดธംเดเดฎเดธ്เดฅാเดจം) เดตുเดฎാเดฃ്. เดเดฐു เดฎൂเดฒ $(3,2)$ เดเดฃെเด്เดിเตฝ, เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฎเดฑ്เดฑ് เดฎൂเดจ്เดจ് เดฎൂเดฒเดเดณുเดെ เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดค്เดฐเดฏാเดฃ്?
- เด
เด്เดทเด്เดเตพ เดตเดฐเดฏ്เด്เดാเดคെ, เด เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเดณെ เดเดเดค്-เดตเดฒเดค്, เดฎുเดเดณിเตฝ-เดคാเดดെ เดธ്เดฅാเดจเด്เดเตพ
เดถเดฐിเดฏാเดฏി เด
เดเดฏാเดณเดช്เดชെเดുเดค്เดคുเด. เดเดฐോ เดോเดกിเดฏും เดเดคിเตผ เดฎൂเดฒเดเดณാเดฏി เดตเดฐുเดจ്เดจเดคും เดตเดถเด്เดเตพ
เด
เด്เดทเด്เดเตพเด്เด് เดธเดฎാเดจ്เดคเดฐเดตുเดฎാเดฏ เดฆീเตผเดเดเดคുเดฐเดค്เดคിเดจ്เดฑെ เดฎเดฑ്เดฑ് เดฐเดฃ്เด് เดฎൂเดฒเดเดณുเดെ
เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดฃ്เดെเดค്เดคുเด:
- (i) (3,5), (7,8)
- (iii) (−3, 5), (−7,1)
- เดിเดค്เดฐเดค്เดคിเดฒെ เดเดคുเตผเดญുเดเดค്เดคിเดจ്เดฑെ (เดฎൂเดฒเดเตพ $(-2,-2)$, $(2,-2)$, $(3,1)$, $(-1,1)$) เดตเดถเด്เดเดณുเดെเดฏും เดตിเดเตผเดฃ്เดฃเด്เดเดณുเดെเดฏും เดจീเดณം เดเดฃเด്เดാเด്เดുเด.
- เดเดค്เดญเดตเดธ്เดฅാเดจം เดേเดจ്เดฆ്เดฐเดฎാเดฏും เดเดฐം 10 เดเดฏും เดเดฐു เดตൃเดค്เดคം เดตเดฐเด്เดിเดฐിเด്เดുเดจ്เดจു.
- (i) $(6, 9)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$ เดเดจ്เดจീ เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเดณുเดณ്เดณ เดเดฐോ เดฌിเดจ്เดฆുเดตും เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดจുเดณ്เดณിเดฒാเดฃോ, เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดจ് เดชുเดฑเดค്เดคാเดฃോ, เด เดคോ เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒാเดฃോ เดเดจ്เดจ് เดชเดฐിเดถോเดงിเด്เดുเด.
- (ii) เด เดตൃเดค്เดคเดค്เดคിเดฒെ 8 เดฌിเดจ്เดฆുเด്เดเดณുเดെ เดธൂเดเดเดธംเด്เดฏเดเตพ เดเดดുเดคുเด.
